대순환거리

Great-circle distance
구 P와 Q의 두 점 사이의 큰 원 거리(빨간색으로 표시)를 나타내는 다이어그램. 대척점인 u와 v 두 개의 노달[disambiguation needed] 포인트도 나타난다.

원형의 거리, 치아교정 거리, 또는 구형거리는 원형의 큰 원을 따라가는 거리다.

구면의 두 사이의 최단 거리로서 구면의 표면을 따라 측정한다(구체의 내부를 통과하는 직선과 반대). 유클리드 공간에서 두 점 사이의 거리는 그들 사이의 직선의 길이지만, 구체에는 직선이 없다. 곡면성이 있는 공간에서는 직선이 지오디컬로 대체된다. 구상의 지오디컬은 구면의 중심과 일치하는 구상의 원이며, '위대한 원'이라고 불린다.

대원거리의 결정은 대원항행의 보다 일반적인 문제의 일부로서, 엔드 포인트와 중간 경유지점의 방위각도 계산한다.

반향점(직접 반대점)이 아닌 구체의 어떤 두 점을 통해서도 독특한 원형이 존재한다. 두 점은 큰 원을 두 개의 호로 구분한다. 더 짧은 호의 길이는 점 사이의 큰 원 거리 입니다. 그런 거리를 부여받은 거대한 원을 리만 기하학에서는 리만 서클이라고 부른다.

대척점 사이에는 무한히 많은 원형이 존재하며, 대척점 사이의 모든 대원호들은 원의 원주(原主)의 절반 길이, 즉 을 가지고 있는데 여기서 r은 구의 반지름이다.

지구거의 구형이기 때문에 원형의 거리 공식은 지구 표면의 점들 사이의 거리를 [1]0.5% 이내로 정확하게 제공한다.

꼭지점은 큰 원의 가장 높은 위도점이다.

포뮬라과

두 점, P와 Q. φ과 φ 사이의 중심각인 Δσ의 그림은 각각 P의 종각과 위도각이다.

Let and be the geographical longitude and latitude in radians of two points 1 and 2, and be their absolute differences; then 이들사이의 중심각인 }}은 극 중 하나가 구의 보조 제3지점으로 사용되는 경우 [2]코사인 구형 법칙에 의해 주어진다.

이 문제는 보통 중심각 Δ {\}을 찾는다는 관점에서 표현된다 이러한 각도를 라디안 단위로 볼 때, r반경의 구에 대한 실제 호 길이 d는 다음과 같이 경미하게 계산할 수 있다.

계산식

부동소수점 정밀도가 낮은 컴퓨터 시스템에서 코사인 공식의 구형 법칙은 거리가 작을 경우(지구 표면에서 두 점이 1km 떨어져 있으면 중심각의 코사인 0.99999999에 가깝다) 큰 반올림 오차를 가질 수 있다. 현대의 64비트 부동소수점 숫자의 경우, 위에 주어진 코사인 공식의 구형 법칙은 지구 표면에서 몇 미터보다 큰 거리에 대해 심각한 반올림 오차를 가지고 있지 않다.[3] Haversine 공식은 작은 거리에 대해 수치적으로 더 나은 조건이다.[4]

역사적으로, haversine 함수에 대한 테이블의 가용성에 의해 이 공식의 사용이 단순화되었다: hav(θ) = sin2(θ/2).

이 공식은 구면 대부분의 거리에 대해 정확하지만, 반향점(반향점)의 특수(그리고 다소 특이한) 사례에 대해서도 반올림 오차를 겪는다. 모든 거리에 대해 정확한 공식은 다음과 같은 주요 축과 부축이 동일한 타원체용 빈센트리 공식의 특별한 경우다.[5]

벡터 버전

위치를 설명하기 위해 위도 및 경도 대신 일반 벡터를 사용하는 유사한 공식의 다른 표현은 도트 제품, 교차 제품 [6]또는 조합을 사용하여 3D 벡터 대수학을 통해 발견된다.

여기서 }}은 두 위치 1과 2에서 타원체의 정규이다. 위도와 경도에 기초한 위의 방정식과 유사하게 아크탄에 기초한 표현은 모든 각도에 대한 조건이 잘 갖추어진 유일한 표현식이다. 아크탄에 기초한 표현은 도트 제품에 대한 교차 제품의 크기를 요구한다.

화음 길이로부터

구형의 지구에서 관심 지점들 사이의 3차원 공간을 통과하는 선은 점들 사이의 큰 원의 화음이다. 두 점 사이의 중심 각도는 현 길이로부터 결정할 수 있다. 원형의 큰 거리는 중심 각도에 비례한다.

길이인C h {\C_{h는) 데카르트 뺄셈을 통해 해당 단위 에 대해 다음과 같이 계산할 수 있다.

중심 각도는 다음과 같다.

구형 지구의 반지름

1984년 세계 측지 시스템 개정에서 정의된 적도(a), 극지(b) 및 평균 지구 반지름. (확대 불가)

지구의 형상은 적도 반지름 6378.137km의 평평한 구()와 매우 흡사하다. spheroid의 중심에서 각 극까지의 는 b 6356.7523142km이다. 적도에서 짧은 남북 선의 길이를 계산할 때, 그 선에 가장 근접한 원의 반지름은 a }}:자오선의 반지름 직장과 같음) 또는 6335.439km이고, 극의 회전은 2 }의 구에 의해 가장 근사하다.2}}{ 또는 6399.594km로 1% 차이가 난다 구면 지구라고 가정하는 한 지구상의 거리에 대한 모든 단일 공식은 0.5% 이내에서만 정확성을 보장한다(공식을 제한된 영역에만 적용하려는 경우 보다 나은 정확도가 가능하다). Using the mean earth radius, (for the WGS84 ellipsoid) means that in the limit of small flattening, the mean square relative error in the estimates for distance is minimized.[7]

참고 항목

참조 및 참고 사항

  1. ^ Admiralty Manual of Navigation, Volume 1, The Stationery Office, 1987, p. 10, ISBN 9780117728806, The errors introduced by assuming a spherical Earth based on the international nautical mile are not more than 0.5% for latitude, 0.2% for longitude.
  2. ^ Kells, Lyman M.; Kern, Willis F.; Bland, James R. (1940). Plane And Spherical Trigonometry. McGraw Hill Book Company, Inc. pp. 323-326. Retrieved July 13, 2018.
  3. ^ "Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude points". Retrieved 10 Aug 2013.
  4. ^ Sinnott, Roger W. (August 1984). "Virtues of the Haversine". Sky and Telescope. 68 (2): 159.
  5. ^ Vincenty, Thaddeus (1975-04-01). "Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with Application of Nested Equations" (PDF). Survey Review. Kingston Road, Tolworth, Surrey: Directorate of Overseas Surveys. 23 (176): 88–93. doi:10.1179/sre.1975.23.176.88. Retrieved 2008-07-21.
  6. ^ Gade, Kenneth (2010). "A non-singular horizontal position representation" (PDF). The Journal of Navigation. Cambridge University Press. 63 (3): 395–417. doi:10.1017/S0373463309990415.
  7. ^ McCaw, G. T. (1932). "Long lines on the Earth". Empire Survey Review. 1 (6): 259–263. doi:10.1179/sre.1932.1.6.259.

외부 링크