구면 섹터

기하학에서 구면 부분은 구면 중심에 꼭지점이 있는 원뿔형 경계로 정의되는 구면 또는 공의 부분이다. 구체의 중심과 캡의 기저에 의해 형성된 구형 캡과 원뿔의 결합이라고 표현할 수 있다.

볼륨

구의 반지름을 r로 나타내고 캡의 높이를 h로 나타내면 구형의 부피는 h로 한다.

${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}\,}$

이것은 또한 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}{3}}}(1-\cos \varphi )\...}$

여기서 φ은 원추각의 절반, 즉 φ은 구체 중심에서 본 바와 같이 캡의 테두리와 캡의 중간까지의 방향 사이의 각이다.

섹터의 V 부피는 다음과 같이 캡의 A 영역과 관련이 있다.

${\displaystyle V={\frac {rA}{3}}\,}$

면적

구면 섹터의 곡면 영역(구면, 원뿔 표면 제외)은 다음과 같다.

$A=2\pi rh\,}$

역시 그렇다.

${\displaystyle A=\Oomega r^{2}}$

여기서 Ω은 스테라디아어로 구면 섹터의 고형 각도, 고형 각도의 SI 단위다. 한 스테라디언은 A = r의² 캡 면적에 의해 하위화된 고체 각도로 정의된다.

파생

차등 볼륨 요소를 통합하여 볼륨을 계산할 수 있음

$\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi d\rho d\phi d\theta }$

구면 섹터의 부피에 걸쳐서

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho d\phi d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi d\phi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,}$

통합이 분리된 경우, 통합은 하나의 더미 변수를 가지고 각각 기능들의 산물로 분리될 수 있기 때문이다.

면적을 차동 구형 면적 요소를 통합하여 유사하게 계산할 수 있다.

$\displaystyle dA=r^{2}\sin \phi d\phi d\theta }$

구면에 걸쳐서, 주는 것.

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }r^{2}\sin \phi d\phi d\theta =r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi d\phi =2\pi r^{2}(1-\cos \varphi )\,,}$

여기서 φ은 경사(또는 고도)이고 θ은 방위(오른쪽)이다. 공지 r은 상수다. 다시 말하지만, 통합은 분리될 수 있다.

참고 항목

• 원형 섹터 - 유사한 2D 그림.
• 구면캡
• 구면 세그먼트
• 구면 웨지

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Spherical sector". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Spherical cone". MathWorld.
• 구면 공식 요약