호몰로지 영역

대수적 위상에서 호몰로지 구체는 $n-sphere$의 호몰로지 그룹을 가진 n-manifold X로, 일부 정수 n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$에 대해$.$ 즉,

${\displaystyle H_{0}(X,\mathb {Z} )=H_{n}(X,\mathb {Z})=\mathb {Z}}}$

그리고

${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle X\mathbb{}}$, Z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 다른 모든 i에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle \{}$ 0 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle H_{i}(X,\mathb {Z} )=\{0\}}.$

따라서 X는 하나의 0이 아닌 더 높은 베티 수, ${\displaystyle \mathrm{즉}}$ ${\displaystyle {bn}_{}}$= 1 ${\displaystyle b_{n}=1}$를 가진 연결된 공간이다$.$ X가 단순히 연결되어 있다는 것을 따르는 것이 아니라 그 기본 그룹이 완벽하다는 것만을 따른다(Hurewicz 정리 참조).

이성적 동종학 영역은 유사하게 정의되지만 이성 계수가 있는 동종학을 사용한다.

푸앵카레 호몰로지 구

푸앵카레 호몰로지 구체(Poincaré dodecaheadral space라고도 알려져 있음)는 앙리 푸앵카레가 처음 시공한 호몰로지 구의 특별한 예다. 구면 3-매니폴드인 그것은 유한한 기본 집단을 가진 유일한 호몰로지 3-sphere(3-sphere 그 자체)이다. 그것의 기본 그룹은 2진수 이등면체 그룹으로 알려져 있고 120개의 순서를 가지고 있다. 3-sphere의 기본 그룹은 사소한 것이기 때문에, 이것은 3-sphere와 동일한 호몰로지 그룹을 가진 3-manifolds가 존재한다는 것을 보여준다.

건설

이 공간의 간단한 건축은 도데카드로 시작한다. 도데카헤드론의 각 면은 반대 면으로 식별되며, 최소 시계방향으로 돌려 얼굴 일렬로 정렬한다. 이 식별 정보를 사용하여 각 반대면 쌍을 함께 붙이면 닫힌 3-매너폴드가 발생한다. (더 많은 "트위스트"를 사용하여, 쌍곡선 3-매너폴드가 발생하는 유사한 구조는 Seifert-Weber 공간을 참조하십시오.)

또는, Poincaré homology 구체는 I가 이도사면군(즉, 일반 이도사면체와 도데카면체의 회전대칭군, 교류군 A$${\$displaystyle A_{5})$인 몫 공간 SO(3)/I로 구성될 수 있다.$$ 보다 직관적으로, 이것은 푸앵카레 호몰로지 구가 유클리드 3-공간에서 (중앙과 직경이 고정된) 이코사면체의 모든 기하학적으로 구별할 수 있는 위치의 공간이라는 것을 의미한다. 또한 단위 쿼터니온의 그룹으로 실현될 수 있고 3-sphere에 동형인 SO(3)의 범용 커버로 대신 통과할 수 있다. 이 경우 푸앵카레 호몰로지 구체는 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ $3{\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle I\stackrel{}{}}$~ ${\$에 이형성이며, 여기서$$ $I{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$는 2진 IChedral ${\displaystyle {그룹}^{}}$으로서 S 3 ${\\$$3}}}}$에 내장된 I의 완벽한 이중 커버가 된다$$.

또 다른 접근법은 딘 수술이다. 푸앵카레 호몰로지 영역은 오른손 트레포일 매듭에 대한 +1 수술에서 비롯된다.

우주론

2003년 WMAP 우주선에 의해 1년간 관측된 우주 마이크로파 배경에서 가장 큰 규모(60도 이상)의 구조물의 부족은 파리의 관측소의 장 피에르 루미넷과 동료들에 의해 우주의 모양이 푸앵카레 구체라는 제안으로 이어졌다.^[1][2] 2008년에 천문학자들은 이 모델에 대한 최상의 방향을 발견했고 WMAP 우주선의 3년간의 관측을 이용하여 이 모델의 예측 중 일부를 확인하였다.^[3] 2016년 현재 플랑크 우주선의 데이터 분석 공표를 보면 우주에 관측할 수 있는 비종속 위상이 없다는 것을 알 수 있다.^[4]

구성 및 예제

• 프레임 +1 또는 -1이 있는 3-sphere S의³ 매듭에 대한 수술은 호몰로지 영역을 제공한다.
• 더 일반적으로, 링크에서의 수술은 교차로 번호(대각선 바깥쪽)와 프레이밍(대각선 위)에 의해 주어진 행렬이 결정인 +1 또는 -1을 가질 때마다 동음이의 구를 제공한다.
• p, q, r이 쌍으로 비교적 주요한 양의 정수인 경우, 특이점^p x + y^q + z^r = 0의 링크(즉, 이 복잡한 표면과 0 주위에 작은 5-sphere의 교차점)는 브리스코른 다지관으로, 브리스코른 3-sphere라고 하는 호몰로지 3-sphere이다. p, q, r 중 하나가 1이면 표준 3-sphere와 동형이며, and(2, 3, 5)는 푸앵카레 구체다.
• 두 개의 지향적 호몰로지 3-space의 연결된 합은 호몰로지 3-sphere이다. 두 개의 호몰로지 3-spres의 연결 합으로 쓸 수 없는 호몰로지 3-sphere를 불가침 또는 프라임이라고 하며, 모든 호몰로지 3-sphere는 본질적으로 고유한 방법으로 프라임 호몰로지 3-spres의 연결된 합으로 쓸 수 있다(3-manifold 참조).
• ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$이(가) 2개 이상 모두 정수여서$$ 두 개 모두 동일하다고 가정합시다. 그리고 세이퍼트 섬유 공간

${\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\properties,(a_{r},b_{r}}\,},}$

a₁, ...의 예외적인 섬유질을 가진 구를 넘어 a는_r 호몰로지 구이며, 여기서 b를 선택해서 b를 선택하게 된다.

${\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}$

(b′s를 선택하는 방법은 항상 있고, 호몰로지 영역은 b′s의 선택에 따라 (이소모르프리즘에 따라) 좌우되지 않는다.) r이 최대 2인 경우 이것은 일반적인 3-sphere일 뿐이고, 그렇지 않은 경우 그들은 뚜렷한 비종교적 동질학 영역이다. a′s가 2, 3, 5이면 이것이 푸앵카레 구를 준다. 2, 3, 5가 아니라 최소 3 a′s가 있는 경우, 이는 무한 기본 그룹을 가진 Acyclic homology 3-sphere로, SL₂(R)의 범용 커버를 모델로 Thurston 기하학을 가지고 있다.

불변제

• Rokhlin 불변량은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ -$$균질학$$ 3-spres의 값 불변량이다.
• 카손 불변제는 호몰로지 3-spres의 정수 가치 불변제로, 감소모드 2는 Rokhlin 불변성이다.

적용들

A가 표준 3-sphere에 대해 동형성이 아닌 호몰로지 3-sphere인 경우, A의 정지는 위상학적 다지관이 아닌 4차원 호몰로지 다지관의 예다. A의 이중 정지는 표준 5-sphere에 대해 동형이지만, 그 삼각측량(A의 일부 삼각측정에 의해 유도됨)은 PL 다지관이 아니다. 즉, 이는 위상학적 다지관이지만 PL 다지관은 아닌 유한한 단순화 복합체의 예를 제시한다.(점 링크가 항상 4-sphere는 아니기 때문에 PL 다지관은 아니다.)

게일브스키와 스턴은 최소 5개의 치수의 모든 콤팩트 위상학적 다지관(경계 없음)은 Rokhlin 불변성 1이 있는 호몰로지 3 구체 σ이 있는 경우에만 단순화 콤플렉스에 대한 동형체임을 보여 주었다. 2013년^[update] 현재 그러한 호몰로지 3-sphere의 존재는 해결되지 않은 문제였다. 2013년 3월 11일, Ciprian Manolescu는 ArXiv에^[5] 주어진 재산에 그러한 호몰로지 영역이 없으며, 따라서 단순화 단지에는 동형식이 아닌 5개의 마니폴드가 있다는 것을 증명한다고 주장하는 사전 인쇄물을 게재했다. 특히 Galewski와 Stern이 원래 제시한 예(Galewski and Stern, Galewski and Stern, Georgia, 1977, Architective Press, pp 345–350)는 기하학적 위상(Georgia Topology Conference, Georgia, Pp 345~350)에서 삼각측정에 관한 범용)은 삼각측량이 아니다.

참고 항목

• 에일렌베르크-매클레인 공간
• 무어 공간(알지브라질 위상)

참조

선택된 판독치

• Dror, Emmanuel (1973). "Homology spheres". Israel Journal of Mathematics. 15: 115–129. doi:10.1007/BF02764597. MR 0328926.
• 데이비드 게일프스키, 로널드 스턴의 위상학 다지관의 단순 삼각측량 분류, 수학 연보 111호(1980), 제1호, 페이지 1~34호.
• 로비온 커비, 마틴 샬레만 푸앵카레 호몰로지 3-sphere의 여덟 얼굴 기하학적 위상(Proc). 조지아 토폴로지 컨프, 아테네, 가, 1977), 1979년 뉴욕-런던 학술지 113–146페이지.
• Kervaire, Michel (1969). "Smooth homology spheres and their fundamental groups". Transactions of the American Mathematical Society. 144: 67–72. JSTOR 1995269. MR 0253347.
• 니콜라이 사벨리에프, 호몰로지 3-스페어의 불변자, 수학 과학 백과사전, 제140권. 저차원 위상, I. Springer-Verlag, 2002년 베를린. MR1941324 ISBN 3-540-43796-7

외부 링크

• 안데르스 비외르너와 프랭크 H. 루츠가 정점이 거의 없는 푸앵카레 호몰로지 3-sphere와 비-PL 구들의 16-Vertex 삼각측량
• 푸앵카레의 호몰로지 영역 최고의 그림에 대한 데이비드 길먼의 강의