구-실린더 교차로

이 글에는 출처가 없다 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "Sphere-Cylinder Intersection" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR(2011년 7월) (이 템플릿 메시지 제거 방법과 시기 학습)

실제 3차원 공간에 대한 해석 기하학 이론에서 구와 원통 사이의 교차점에서 형성된 곡선은 원, 점, 빈 세트 또는 특별한 형태의 곡선이 될 수 있다.

이 상황을 분석하기 위해 (일반성을 잃지 않고) 실린더의 축이 z축과 일치한다고 가정하십시오. 실린더의 지점(반경 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 포함$)$은 만족한다고 가정하십시오.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}}}=r^{2}.}$

또한 반지름 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 가진 구가 포지티브 x축의 포인트$, 0, 0$)에서 중심에 있다고$$ 가정한다$.$ 그 $포인트$는 만족한다$.$

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$

교차점은 두 방정식을 모두 만족시키는 점들의 집합이다.

사소한 경우

구체는 전적으로 실린더 안에 있다.

< ${\displaystyle a+R<r}$인 경우, 구는 전적으로 실린더 내부에 놓여 있다. 교차로는 빈 집합이다.

구가 한 점에서 실린더에 닿음

구가 실린더(< ${\$$displaystyle R<r})$보다 작을 경우${\displaystyle ,}$ 구가 1점을 제외하고 ${\displaystyle \mathrm{실린더}}$ 내부에 놓여 있다$.$ 교차는 단일 점$({\displaystyle \mathrm{r},}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$ ) ${\디스플레이$ 스타일$(r,0,0)}$ 입니다$.$

실린더 축을 중심으로 한 구체

$구의{\displaystyle }$ 중심이 실린더의 축인 a${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a=0$ 이 경우 교차점은 반지름 r ${\displaystyle$ r$\}$의 원 $2개$로 $구성$된다. 이 원들은 비행기에 놓여 있다.

${\displaystyle z=\pm {\sqrt {R^{2}-r^{2}}:};}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r=R}$인 경우$,$ 교차점은 평면 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z=0}$의 단일 원입니다$.$

비사건

위에 주어진 두 방정식을 빼면 알 수 있다.

${\displaystyle z^{2}+(r^{2}-R^{2}+a^{2}=2ax.}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$$}$은(는$)$ $z{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ z}의 2차 함수이므로$$ xz 평면에 교차점을 하는 것은 직교 포물선의 단면이며 - r< $[\displaystyle -r<r}$라는 사실 때문에 단면일 뿐이다 포물선의 꼭지점은 (${\displaystyle }$- b${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle(-b,0,0$ 여기서

${\displaystyle b={\frac {R^{2}-r^{2}-a^{2}}:{2a}}.}$

교차로는 두 개의 닫힌 곡선으로 구성됨

> + ${\displaystyle R>r+a$인 경우 조건 < < r ${\displaystyle x<r}$는 포물선을 두 개의 세그먼트로 절단한다. 이 경우 구체와 실린더의 교차점은 두 개의 닫힌 곡선으로 구성되는데, 이 곡선은 서로 거울에 비친 영상이다. xy-plane에서 이들의 투영은 $반경{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$의 원이다$.$

교차로 각 부분은$an{\displaystyle }$ {\$displaystyle \pi$}: 각도로 파라메트리할 수 있다$.$

${\displaystyle (x,y,z)=\왼쪽(r\cos \pi,r\sin \phi,\pm) {2a(b+r\cos \phi )}\오른쪽.}$

곡선은 다음과 같은 극한점을 포함한다.

${\displaystyle \left(-r,0,\pm {\sqrt {R^{2}-(r+a)^{2}}}\오른쪽)\quad \left(0,\pm r,\pm {R^{2}-(r-a)(r+a)}}\pm {\sqrt {R^{2}-(r-a)^{2}}\오른쪽).}$

교차로(교차로)는 단일 닫힌 곡선이다.

< + ${\displaystyle R<r+a}$인 경우 구체와 실린더의 교차점은 하나의 닫힌 곡선으로 구성된다. It can be described by the same parameter equation as in the previous section, but the angle ${\displaystyle \phi }$ must be restricted to ${\displaystyle -\phi _{0}<\phi <+\phi _{0}}$, where ${\displaystyle \cos \phi _{0}=-b/r}$.

곡선은 다음과 같은 극한점을 포함한다.

${\displaystyle \left(-b,\pm {\sqrt {r^{2}-b^{2}}},0\right);\quad \left(0,\pm r,\pm {\sqrt {R^{2}-(r-a)(r+a)}}\right);\quad \left(+r,0,\pm {\sqrt {R^{2}-(r-a)^{2}}}\right).}$

제한사례

사례 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$+ ${\displaystyle a}$ ${\$$displaystyle$ $R=r+a$에서 실린더와 구는 점$($$, 0,$ 0 ${\displaystyle )}$에서 서로 접선된다. 교차점은 그림 8과 닮았다: 그것은 스스로 교차하는 닫힌 곡선이다. 위의 파라메트리제이션은

${\displaystyle(x,y,z)=\왼쪽(r\cos \phi,r\sin \phi,2{\sqrt{ar}}}\cos {\fract{}{2}}\오른쪽),}$

$여기$서 $\displaystyle \phi$ }은$($는) 두 번의 완전한$$ 회전을 거친다.

특별한 경우 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle r,}$ R${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a=R,R=2R}$의 경우 교차점을 비비안리의 곡선이라고 한다$.$ 매개변수 표현은

${\displaystyle (x,y,z)=\왼쪽(r\cos \phi,r\sin \phi,R\cos \\coses {\frac {}{2}}\오른쪽).}$

참고 항목

• 비비안니의 곡선