구면 캡

기하학에서, 구면 캡 또는 구면 돔은 평면에 의해 절단된 구면 또는 공의 부분이다.또한 단일 평면에 의해 경계되는 하나의 베이스의 구형 세그먼트이다.평면이 구의 중심을 통과하여(큰 원을 형성하고), 뚜껑의 높이가 구의 반지름과 같다면, 구면 캡을 반구라고 합니다.

부피 및 표면적

구면 캡의 부피와 곡면의 면적은 다음 조합으로 계산할 수 있습니다.

• 구의 $반지름{\displaystyle }$ r$\displaystyle$$$r
• 캡 베이스의 $반지름{\displaystyle }$ a$(디스플레이$ $스타일$ a)
• 캡의 $높이{\displaystyle }$ h$(디스플레이 스타일$ h$$$)$
• 구 중심에서 캡(극)의 꼭대기까지의 광선과 캡의 밑부분을 형성하는 디스크의 가장자리 사이의 $(\displaystyle$ \$theta$$)$

	r$\displaystyle$r$$ $및{\displaystyle }$ h$\displaystyle$h $사용{\displaystyle }$	$\displaystyle$ a$\$$h$ 및 h$\displaystyle$h $사용{\displaystyle }$	r$\displaystyle$r$$ 및 $"\displaystyle \theta"$ $사용{\displaystyle }$
용량	$({displaystyle V=syslogfrac {pi h^{2}} {3}} (3r-h)}$ [1]	$({displaystyle V=black {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})})$	$({displaystyle V=black {pi } {3} (2+\cos \theta) (1-\cos \theta)^{2})$
지역	${\displaystyle A=2\pi rh}$[1]	$(\displaystyle A=\pi (a^{2}+h^{2})}$	${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta)}$

${\$ { $displaystyle$ $\$$phi }$이(가) 지리적 좌표로 위도를 나타내는 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle +}$ +$$ = / 2 $=$ ${\displaystyle {90}^{}}$ ${\displaystyle \{\backslash {}^{}}$ { \ $pi$ / 2$= 90$ ^ { \ $phi$${\displaystyle \}<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash theta\; +\backslash phi\; =\backslash pi\; /2=90^\{\backslash circ\; \}\backslash ,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ba8c36d2b825625026577bf9c65cd3366930c25f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:18.936ex;\; height:2.843ex;">}$ 및 ${\displaystyle \cos }$ $=$ sin = $style$ \ style$\ta$=$sin$ . $ph$ $\}$ 입니다.

h$와$$r{\displaystyle }$ { $displaystyle$h$$}의 관계는 0${\displaystyle h}$ h${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$r { $displaystyle$ 0 \ $leq h$ \ $leq$2r$$}의 경우 관계가 있습니다.예를 들어 그림의 빨간색 부분은 h> { $displaystyle$h >$r$의 구형 캡이기도 합니다.

r$${\$displaystyle$$r$} 및 h {\$displaystyle$ h$}$를 $사용$하는 $공식$은 r {\$displaystyle$ r$\}$이 아닌 캡 베이스의 $반지름{\displaystyle }$a {\$displaystyle$ a$}$를 사용하도록 피타고라스 정리를 사용하여 다시 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},}$

하도록

$({displaystyle r=syslogfrac {a^{2}+h^{2}}}:{2h}),}$

이를 공식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$({displaystyle V=flac {{pi h^{2}}{3}\left\frac {3a^{2}+3h^{2}}){2h}-h\right}=fi h(3a^{2}+h^{2},},$

$({displaystyle A=2\pi {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi(a^{2}+h^{2}),}$

구형 섹터 볼륨에서 직관적으로 표면적을 도출합니다.

아래의 미적분 기반 인수와는 별도로, 구면 캡의 면적은 다음과 같은 직관적인 ^[2]인수에 의해 구면 섹터의 $부피{\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle c_{}}${\$display style$ V_${sec}$에서 도출될 수 있습니다.

${\displaystyle A=picfrac {3}{r}V_{sec}=picfrac {3}{r}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh,}$

직관적인 주장은 무한 삼각 피라미드의 총 섹터 부피를 합산하는 것에 기초한다.V ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {}^{}}$ h $′$ { $displaystyle$ V =$fr$ { } { } $'$}의 피라미드(또는 원뿔) 체적식을 이용하여 $(\displaystyle$b$$)는 각 피라미드 베이스(구 표면에 위치)의 극소 $면적$이고${\displaystyle {}^{}}$h$(\$ h$')$는 각 피라미드 베이스(t)에서 꼭대기(t)까지의 높이이다.구체).한계 내의 각 $h{\displaystyle {}^{}}$µ {$displaystyle$ h$\text{'}\}$는 일정하고 $구의{\displaystyle }$ 반지름$r$ {\$displaystyle$r}과$$ 같기 때문에 극소 피라미드 베이스의 합계는 구면 섹터의 면적과 같으며 다음과 같습니다.

${{sec}=\sum {V}=\sum {frac {1} {3}}br=\sum {frac {r}{3}br=sum b=sum frac {r}{3}}A}$

미적분을 이용한 부피 및 표면적 도출

부피 및 면적 공식은 함수의 회전을 검사하여 도출할 수 있습니다.

${\displaystyle f(x)=snaprt {r^2}-(x-r)^{2}}=snaprt {2nap-x^{2}}}$

x ${\displaystyle [}$ [${\displaystyle 0}$ , $]$ {$style$ x$\in [ 0$ , $h$ $x{\displaystyle }$ 。영역에 대한 회전 표면과 볼륨에 대한 회전의 솔리드 공식을 사용합니다.그 지역은

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\displayrt {1+f'(x)^2}}},pi}$

$f\displaystyle$f의$$ 도함수는

${\displaystyle f'(x)=syslogfrac {r-x}{\syslogrt {2syslog-x^{2}}}}$

그렇기 때문에

$({displaystyle 1+f'(x)^{2}=black {r^{2}}{2black-x^{2}}})$

따라서 면적의 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}{\displayrt {2grc-x^{2}}{\displayrt {2grc-x^{2}}}}}},closs=2\pi \int _{0}{h}r,clos=2\pi r\left[x\right]_{0}^{0} rh} rh}r} rh} rh} rh} rh} rh=$

볼륨은

$({displaystyle V=\pi \int _{0}^{h(x)^2}, pi \int _{0}^{h}(2gc-x^{2}), pi \left[glap^{1}-{\frac {3})x^{3}\right]^{0}{0}{f(x}){3}}{fac}{f(x})}{h(x})}}}}{h(x})})}{f(xclac})})$

적용들

두 개의 교차하는 구의 결합 부피 및 교차점

반지름 $({$과 ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$2({$display$ style $r_{2})$의 교차하는 두 구체의 결합 부피는 다음과 같습니다.

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)},}$

어디에

${\displaystyle V^{(1)}=flac {4\pi}{3}+{\frac {4\pi}{3}r_{2}{3}$

두 개의 분리된 구체의 부피를 합한 값입니다.

${{displaystyle V^{(2)}=harc frac {{3}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {{2}{3}}(3r_{2}-h_{2})$

교차점을 형성하는 두 구면 캡의 부피의 합계.d${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$1 + ${\displaystyle {}_{}}$ ( \ $displaystyle$d \ $leq r$_ { 1$$} + $r _$ {$$} )가 2개의 구 중심 사이의 $거리$인 경우 ${\displaystyle {변수h\mathrm{}}_{}}$1 ( \ $displaystyle h_{$1} )와 h$$ ( \ $displaystyle h_{2$}})가$$ 삭제되면^[4][5] 다음과 같이 됩니다.

${{displaystyle V^{(2)}=black {pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\오른쪽),}$

베이스가 곡면인 구형 캡의 부피

베이스가 곡면인 구형 캡의 부피는 ${\displaystyle {반경\mathrm{}}_{}}$1({$displaystyle r_{$1$$})과$$r 2({$displaystyle r_{$2$\})$의 두 개의 구가 일정 거리 d({$displaystyle$ d$\})$로 분리되어 있고 표면이 x ${\displaystyle =}$({$displaystyle$ x$=h$에서 교차하는 것을 고려하여 계산할 수 있습니다.즉, 베이스의 곡률은 구 2에서 나옵니다.따라서 볼륨은 구 2의 캡(높이$({\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$1)${\displaystyle }$- (${\displaystyle d}$ -${\displaystyle h}$ )$${ $displaystyle (r_{2}-r_{1$} - ($d-h$과 구 1의 캡($높이{\displaystyle }$h {$displaystyle$h})$$의 차이입니다.

$디스플레이 스타일V&=sqfrac {{2}}{3}}(3r_{1}-{\frac {pi [(r_{2}-r_{1}-(d-h))]{2}{3}}[3r_{2}-(r_{2}-r_{1}-(d-h)],\frac,\frac,\end { aligned}}$

이러한 r2≫ r1{\displaystyle r_{2}\gg r_{1}}, 따라서 d≫ h{\displaystyle 만약 영역 2개의 매우 큰 이 공식은고 삭제 0<>d<>r2{0<, d<, r_{2\displaystyle}}−(r2− r1)<>을 충족하는 구성, h≤ r1{\displaystyle d-(r_{2}-r_{1})<,h\leq r_{1}}에 대해서만 유효합니다.d\gg h}과 ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}\mu }$d \ $displaystyle r_{2$} \ $abrox$ d$（$ base ,ibleibleibleibleibleibleibleibleibleible ） r, with, with with with with with with with with with with with with with with with , , , , , , , , ,, , , , , ,

교차하는 구의 영역

반지름 ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ $({$1$$})과 r$$2({$displaystyle r_{2$의 2개의 교차구(중심부가 $거리$d({$displaystyle$d$\})$로 구분되어 있다고 합니다.그들은 만약

$\displaystyle r_{1}-r_{2} \leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

코사인 법칙에서 $반지름{\displaystyle {}_{}}$ $(\$$})$ 구면 캡의 극각은 다음과 같다.

${\displaystyle \cos \theta = flac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}}{2r_{1}d}}}$

이를 이용하여 $반경{\displaystyle {}_{}}$ $({$1$$}) 구면 캡의 표면적은

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right}$

평행 디스크로 둘러싸인 표면적

두 개의 평행 디스크로 둘러싸인 구면 세그먼트의 곡면적은 각각의 구면 캡의 표면적 차이입니다.$반지름{\displaystyle }$r(\$displaystyle$ r$)$의 구 및 ${\displaystyle {높이\mathrm{}}_{}}$h1(\$displaystyle h_{$1$$}) ${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}}$h2(\$displaystyle h_{$2$\})$의 대문자의 경우 영역은 다음과 같습니다.

$({displaystyle A=2\pi r h_{1}-h_{2} , , )$

또는 위도$$(\$displaystyle\phi_{$1}) 및$$ $(\$^[6]의 지리적 좌표를 사용하여

${\displaystyle A=2\pi r^{2} \sin \phi _{1}-\sin \phi _{2} \,}$

예를 들어, 지구가 반경 6371km의 구라고 가정할 때, 북극(북극권 북쪽, 2016년 8월^[7] 기준 위도 66.56°)의 표면적은 2µ·6371² sin 90° - sin 66.56° = 2104만² km로 지구 전체 면적의 0.5·sin 90° - sin 66.56° = 4125%이다.

이 공식은 또한 지구 표면적의 절반이 모든 열대 지방을 아우르는 구형 구역에서 남위 30°와 북위 30° 사이에 있다는 것을 입증하는 데 사용할 수 있다.

일반화

기타 고형물의 단면

타원 돔은 타원체의 일부를 분할하여 얻은 돔이 원형 대칭(회전 축을 가지며)이 되도록 하며, 타원 돔은 타원체에서 파생된다.

초구형 모자

일반적으로 높이 h{h\displaystyle}과 반지름 r{r\displaystyle}의 n에서 초구의. 캡의 n{n\displaystyle}-dimensional 볼륨{n\displaystyle}-dimensional 유클리드 공간[표창 필요한]V:)에 의해π n− 12rnΓ(n+12)∫ 0arccos ⁡(r− hr을 주어진다 )죄 n ${\displaystyle )}$ ($$ ) d t { $displaystyle V =$ pi$frac$ { n - $1 }$ , r ^ { $n$} , r } { , \$Gamma$\ left \$frac${ n +$1$ } { } \ $right$}}}} \$int$ \ { $0$}^{\ } { 0 } \$}$ \ $right$ \ frac { n } { $n$}$mma (z)=\int$ _${0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e}^{-t},\mathrm {d} t$

$V(\displaystyle$ V$)$의 공식은 단위 $n-ball{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ n${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ n / 2${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ [$1$ + n 2$$](\$displaystyle C_{n$} =$script$style \$pi$^{$n/2}/\Gamma$[$1+{\frac {n}}}})$의 부피와 단위$2$의 F로 나타낼 수 있습니다.에타 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$x (${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$) {$style$ I_${x}(a , b$ ) as$$

$1$${1}{2}},-,{\frac {r-h}{r}},{\frac {Gamma [1+{\frac {n}{2}}},\Gamma$[{\$frac {n+1}{2}}}}}}}{,{,}_,{frac$ {$1}{$frc$},{$frc$}{$fr}

$면적식{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$)$는 단위 $n-ball{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle {\mu n}^{}}$ ${\displaystyle {/}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ [ ${\displaystyle n\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$](\$displaystyle A_{n$} =$script style$2\$pi ^{n$/2$}/\Gamma [{\frac {n}})$로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2 ${\displaystyle A{}_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$n - ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$I ( ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {r{}^{}}_{}}$ - h${\displaystyle {{}^{}{2\mathrm{}}^{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {{r\mathrm{}}^{}}_{}}$2 (${\displaystyle \frac{}{}n\frac{}{}}$ - 1 ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$) / r 2$$) ( n - ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ) （ $display$ A =$snfrac {1}$ { n _ { $n$} , r^ { n - 1 } I _ { ( 2 $rh$^ { $2$} / $r^$ { $2 }$ } \ $left($ \ $frac$- { n )

$여기$서 0${\displaystyle h}$ h ${\displaystyle 、}$ { $display$ 0 \ $leq$h \ $leq$ r$$} 。

앞서 (1986년, 소련 아카데미).프레스) 다음과 같은 공식이 도출되었습니다.${\displaystyle A}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathrm{n}}_{}}$ - 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle q}$) 、 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ $C$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle p{}_{}}$n ($q$ )$$（ $display$ A =$A$_ { n } p _ { n - $2 （$ q ; $V$${\displaystyle }$$= C$_ { n } p _ { n } $（$ $q$） 。여기서 ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle ={}_{}}$ -${\displaystyle h}$ / ${\displaystyle r}$ ( ${\displaystyle 0}$≤${\displaystyle \mathrm{q}}$ ${\displaystyle \le }$ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle （}$ ${\displaystyle 1_{}}$)

${\displaystyle G_{}}$n (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$q (${\displaystyle 1}$ - ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}{}^{}}$2${\displaystyle {}^{}}$) (${\displaystyle n^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$) / ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t}${ $style$ G$_${ $n$} ( q ) = \$int$\ $int$ \$q$} ( 1 - t$^{2}^{n-1)$ /$2 dt$

$홀수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{2k}}$+${\displaystyle 1}$의 경우$:$ {{$displaystyle$ n$=2k+1:}$

${\displaystyle {}_{}G{}_{}}$n (${\displaystyle }$q ) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ i ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$( -${\displaystyle {}^1}$) i (${\displaystyle k\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle i\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ )${\displaystyle \frac{q^{}}{}}$2 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{i}}^{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{1}{}}$2 i$$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ( \ $displaystyle G _$ { $n$} ( - 1 ) = \ $sum$_ { $i$}^{ $k }$ { \ $binom${ $k$} { i } { \ $frac { q 2$+ $1$

점근학

n ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ n$${\ \ $displaystyle$n \ $to$\ $infty$} $및$ ${\displaystyle \text{q}}$ n ${\displaystyle =}$const이면 다음과 $같이{\displaystyle }$ 표시됩니다.${\displaystyle qsvrt {n}}= 텍스트{const.$$\}\},$ ${\displaystyle \mathrm{pn}}$(q ${\displaystyle )\to }$ ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle F}$ ($q$n ){ $displaystyle p_{n$}(q$$$)\ to 1-F$$({$q${\sqrt$ {n$}}})$ ($F()$는 표준 정규 분포의 정수).

보다 정량적인 바운드는 $A{\displaystyle }$/ ${\displaystyle A_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{\Omega \mathrm{}}}$ (${\displaystyle {}^{}1}$ ${\displaystyle )\cdot }$[ ( ${\displaystyle 2}$-${\displaystyle }$h /${\displaystyle r}$ )${\displaystyle h}$ /${\displaystyle {}^{}r}$ ]${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {/}^{}}$ ( \ $displaystyle A$ / A _ { n } = n$^$ { \$Theta$ ($1)$\ $cdot$[ ( 2 - h /$$${\displaystyle r}$ ) h / $r$]^{$n/2$ 대문자(${\displaystyle \mathrm{즉},}$ ( ( ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle }$h /${\displaystyle {}^{r\mathrm{}}}$ ) 4${\displaystyle {}^{}n}$ n ${\displaystyle =O}$ (${\displaystyle 1}$ $){$ $displaystyle$( 1 -$h$ /$r$ )^$4$}\$cdot$ n $= O$ ( 1$)$는 n$$ $display style n$→ O ( 1 ) \ $infty$ $$$}$ $로서{\displaystyle }$ 단순하게 됩니다.$Theta (1)\cdot$ e$^{-(1-h/r)^{2}n/2$

「 」를 참조해 주세요.

• 원형 세그먼트 - 유사한 2D 객체
• 솔리드 각도 - n-sphere 캡의 공식을 포함합니다.
• 구면 세그먼트
• 구면 섹터
• 구면 쐐기

레퍼런스

추가 정보

• Richmond, Timothy J. (1984). "Solvent accessible surface area and excluded volume in proteins: Analytical equation for overlapping spheres and implications for the hydrophobic effect". Journal of Molecular Biology. 178 (1): 63–89. doi:10.1016/0022-2836(84)90231-6. PMID 6548264.
• Lustig, Rolf (1986). "Geometry of four hard fused spheres in an arbitrary spatial configuration". Molecular Physics. 59 (2): 195–207. Bibcode:1986MolPh..59..195L. doi:10.1080/00268978600102011.
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula". The Journal of Physical Chemistry. 91 (15): 4121–4122. doi:10.1021/j100299a035.
• Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii". Molecular Physics. 62 (5): 1247–1265. Bibcode:1987MolPh..62.1247G. doi:10.1080/00268978700102951.
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외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Spherical cap". MathWorld. 파생 및 몇 가지 추가 공식.
• 구형 캡 부피 및 면적에 대한 온라인 계산기.
• 구면 공식의 요약입니다.