구의 원

구의 원은 구 위에 놓여 있는 원을 말한다. 그러한 원은 구와 평면의 교차점 또는 두 구의 교차점으로서 형성될 수 있다. 비행기가 구의 중심을 통과하는 구상의 원을 큰 원이라고 한다. 그렇지 않으면 작은 원이다. 구의 원은 구 반지름보다 작거나 같은 반경을 가지며, 원이 큰 원일 때 평등하다.

지구상에서

지구상의 지리 좌표계에서 위도의 평행선은 작은 원이며, 적도는 유일한 큰 원이다. 이와는 대조적으로, 경도의 모든 경맥은 다른 반구에서 그들의 반대 경맥과 짝을 이루며 거대한 원을 형성한다.

관련 용어

원의 중심을 통과하는 구의 지름을 축이라고 하고, 이 지름의 끝점을 극이라고 한다. 구체의 원은 또한 주어진 극으로부터 주어진 각거리에서 점들의 집합으로 정의될 수 있다.

구면 교차점

구와 평면의 교차점이 비어 있거나 하나의 점이 아닐 때는 원이다. 이는 다음과 같이 볼 수 있다.

S를 중심 O, P와 교차하는 평면이 있는 구가 되게 한다. P에 수직으로 OE를 그리고 E에서 P를 만난다. A와 B를 교차로에서 서로 다른 두 점으로 하자. 그러면 AOE와 BOE는 공통면인 OE와 하이포테누스 AO와 BO가 같은 직삼각형이다. 따라서 나머지 면 AE와 BE는 동일하다. 이것은 교차로 내 모든 점이 평면 P의 E 지점으로부터 같은 거리라는 것을 증명한다. 즉, 교차로 내 모든 점들은 중심 E와 함께 원 C에 놓여 있다.^[1] 이것은 P와 S의 교차점이 C에 포함되어 있음을 증명한다. OE는 원의 축이라는 점에 유의하십시오.

이제 C 원의 D 점을 고려하십시오. C는 P에 있기 때문에 D도 마찬가지다. 반면, AOE와 DOE는 공통 면이 있는 직각 삼각형이며, 다리 EA와 ED가 같다. 따라서 하이포테뉴스는 AO와 DO가 같고, S의 반지름과 같으므로 D는 S에 위치한다. 이것은 C가 P와 S의 교차점에 포함되어 있다는 것을 증명한다.

원곡선으로서 구체에는 주어진 세 점을 통해 그려질 수 있는 원형이 정확히 하나 있다.^[2]

원 위의 점들이 모두 그것의 극들 중 하나로부터 공통적인 각도 거리라는 것을 보여주기 위해 증빙을 확장할 수 있다.^[3]

구-sphere 교차점

두 개의 구가 서로 다른 교차점이 원임을 나타내려면 하나의 구(반경 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 포함$)$가 원점에 중심이라고 가정하십시오. 이 영역의 포인트가 충족됨

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$

또한 일반성을 상실하지 않고, $반지름{\displaystyle }$ r ${\displaystyle$r$}$을(를) 가진 두 번째 구가 출발지로부터$$ {\$displaystyle a}$의 거리에서 양의 x 축의 한 점에 중심화되어 있다고 가정한다. 그 점이 만족스럽다.

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

구들의 교차점은 두 방정식을 모두 만족시키는 점들의 집합이다. 방정식을 빼면 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{a)^{2}-x^{2}-x^{2}-R^{2}-R^{2}-R^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-R^{2a}.\end{정렬}}}$

단수 사례 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a=0}$에서 구들은 동심원이다$.$ 두${\displaystyle }가지{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{가능성}}$이 있다$:$ $만약$ R = r {\$displaystyle$ R=$r$ 구들이 일치하고 교차점이 전체 구체인 경우, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R\not =r$ 구들은 분리되고 교차점은 비어 있다. a가 0이 아닐 때 교차점은 이 x 좌표가 있는 수직면에 놓여 있는데, 이 x 좌표는 양쪽 구를 교차할 수도 있고 양쪽 구에 접할 수도 있고 양쪽 구에 외부일 수도 있다. 그 결과는 구면 교차점에 대한 이전의 증거에서 나온 것이다.

참고 항목

• 선면 교차점
• 선-sphere 교차점

참조

• Hobbs, C.A. (1921). Solid Geometry. G.H. Kent. pp. 397 ff.

추가 읽기

• Sykes, M.; Comstock, C.E. (1922). Solid Geometry. Rand McNally. pp. 81 ff.