로마표면

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로마표면 또는 슈타이너표면은 실제 투사면을 3차원 공간으로 자분해 매핑한 것으로, 대칭도가 특이하게 높다. 이 매핑은 투영 평면의 몰입을 의미하지는 않지만, 6개의 단수점을 제거함으로써 도출되는 수치는 1이다. 그것의 이름은 야콥 스타이너가 1844년 로마에 있을 때 발견되었기 때문에 생겨났다.^[1]

가장 간단한 구성은 $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( y ${\displaystyle z}$, x ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy)}}$의 원점에 중심을 둔 구의 이미지로 하는 것이다$.$ 이것은 다음과 같은 암묵적인 공식을 준다.

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}+y^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

또한 경도(경도)와 위도(경도)의 관점에서 구의 파라메트리화를 취하면 다음과 같이 로마표면에 파라메트릭 방정식을 제공한다.

${\displaystyle x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \coses ^{2}\varphi }$

기원은 3점이며, xy-, yz-, xz-plane 각각은 그 곳의 표면에 접선한다. 자가 절편의 다른 장소는 이중 점으로, 6개의 핀치 포인트로 끝나는 각 좌표 축을 따라 세그먼트를 정의한다. 전체 표면은 사면 대칭이다. 그것은 스테이너 표면의 특정한 유형(타입 1) 즉 베로니아 표면의 3차원 선형 투영이다.

암묵적 공식의 파생

단순성을 위해 사례 r = 1. 다음과 같은 점(x, y, z)으로 정의된 구를 고려할 때

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

$우리$는 T${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$ z , ${\displaystyle z}$,${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( U${\displaystyle }$, ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$) ,${\$T$(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$에 의해 정의된 변환 T를 적용한다.

하지만 그 다음엔

${\displaystyle {\reasoned}U^{2}V^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}}$

그리고 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ U ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$V ${\displaystyle {}^{}}$ + ${\displaystyle {V\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {W\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$+ W 2 ${\displaystyle {U\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$= ${\displaystyle 0}$ ${\$2}$V^{2$}+$V^{$2}$W^{2}+W^{2$$}}U^{2}-UVW=0\,}$ 원하는 대로$$.

반대로, 우리에게 만족스러운 (U, V, W)이 주어진다고 가정하자.

(*) $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {W\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- U ${\displaystyle V}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\$$2$}$W^{2}+W^{2$$}U^{2}-UVW=0.\,}$

우리는 그러한 (x,y,z)가 존재한다는 것을 증명한다.

(**) $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\$

여기서 $U{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle V}$= ${\displaystyle y}$ z${\displaystyle ,}$ W${\displaystyle }$= ${\displaystyle z,}$ ${\$

한 가지 예외를 제외하고: 아래 3.b의 경우, 우리는 이것이 증명될 수 없음을 보여준다.

1. U, V, W가 0이 아닌 경우 설정 가능

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {W}{V}},\y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\={\sqrt {\frac {VW}}}\,},}$

(*)는 U, V, W의 세 개 모두 양성이거나 또는 정확히 두 개 모두 음성이라는 것을 보장한다는 점에 유의한다. 그래서 이 네모난 뿌리들은 양수로 되어 있다.)

(***) x, y, z의 hold를 이렇게 정의하였음을 확인하는 것은 사용하기 쉽다.

2. W가 0이라고 가정하자. (*) 이는 $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{V}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= 0 ${\$을(를) 의미한다.

따라서 U, V 중 적어도 하나는 0이어야 한다. 이것은 정확히 U, V, W 중 하나가 0이 되는 것이 불가능하다는 것을 보여준다.

3. U, V, W 중 정확히 두 개가 0이라고 가정하자. 일반성의 상실 없이 우리는 추정한다.

(****) ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle V}$= ${\displaystyle \mathrm{W.}}$ ${\$

$그{\displaystyle }$ 뒤에 z${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\$이(가) 있다.

($z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\$ 0$,\}$은(는) x${\displaystyle }$= y${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\$ 따라서$$ ${\displaystyle \mathrm{U}}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\$이(가) 모순됨$$(***)을 의미함$$).

a. 다음과 같은 경우

${\displaystyle U \leq {\frac {1}{1}:{2}},}$

만약 우리가 x와 y를 기준으로 결정한다면

${\displaystyle x^{2}={\frac {1+{\sqrt{1-4U^{2}}:2}}:}}$

및 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}{}^{}}$= ${\displaystyle \frac{1\sqrt{\mathrm{}}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\sqrt{4}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}}}{\mathrm{}}}$,${\displaystyle y^{2}={\frac {1-{\sqrt{$1-{$1-4U^{2}},},}$

이렇게 하면 (*)이 유지된다. $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\$를 쉽게 확인할 수 있다.$U^{2},\,}$

따라서 x와 y의 기호를 적절히 선택하면 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle U.}$ ${\$이(가) 보장된다.

또한 ${\displaystyle y}$ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle V}$ 및 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$= 0${\displaystyle }$= ${\displaystyle W,}$ ${\$및$}zx=0=W,\,}$

이것은 이 하위 사례가 원하는 대화로 이어진다는 것을 보여준다.

b. 사례 3의 이 나머지 하위 사례에서는 > . ${\displaystyle$U$>{\frac {1}{2$}가 있다$.$$}$

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\$ x$^{2}+y^{2}=1,\,}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \le }$ 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$, ${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{1},}$를 쉽게 확인할 수 있다.

$따라서$ 이 > / 2 = W ${\displaystyle$ U $>1/2,\ V=W$=0$,}$

$U{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \text{v}}$= ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle w}$ = z${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \text{w}}$= ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle U=xy,\V=yz,\W=zx.}$을(를) 만족하는 (x, y, z)는 없다.

U> $(\$U$>{\frac{1}{2}}:$00)의 등식(*)의 솔루션(U, 0, 0)

그리고 로 (0, V, 0) > 2 ${\$ V $>{\frac${1$}{2}}:}$

(0, 0, W) >1 ${\$W$>{\frac {1}{2}}:}$

(각각은 두 조각으로 이루어진 좌표 축의 비 컴팩트 부분)은 로마 표면의 어떤 점과도 일치하지 않는다.

4. If (U, V, W) is the point (0, 0, 0), then if any two of x, y, z are zero and the third one has absolute value 1, clearly ${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$ as desired.

이것은 가능한 모든 경우를 포함한다.

파라메트릭 방정식의 도출

구에 반지름 r, 경도 φ, 위도 θ을 두도록 한다. 그 파라메트릭 방정식은

$\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

$\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

$\displaystyle z=r\,\sin \theta.}$

그런 다음 이 구체의 모든 점에 변환 T를 적용하면 산출된다.

${\displaystyle x'=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \pi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \pi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2},\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

로마 표면에 있는 점들이야 φ의 범위는 0 ~ 2π, θ의 범위는 0 ~ π/2이다.

실제 투영 평면과의 관계

구체는 변형되기 전에 실제 투영면인 RP에 대해² 동형질이 아니다. 그러나 기원을 중심으로 한 구에는 이런 성질이 있는데, 만약 점(x,y,z)이 구에 속한다면, 대척점(-x,-y,-z)과 이 두 점(-x,-y,-z)은 서로 다르다: 구 중심의 반대편에 놓여 있다.

변환 T는 이 두 반향점을 같은 점으로 변환한다.

${\displaystyle T:(x,y,z)\오른쪽 화살표(yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\오른쪽 화살표(-y)(-y)(-z), (-z), (-x)(-y)=(yz,zx,xy)).}$

이것은 S의² 모든 점에 해당하므로, 로마 표면이 "Sphere modulo anthodes"의 연속적인 이미지임이 분명하다. 일부 구별되는 항정신병 쌍은 모두 로마 표면에서 동일한 지점으로 취하기 때문에 RP와² 동질성이 없는 것이 아니라 실제 투영 평면² RP² = S / (x~x)의 몫이다. 더욱이 S에서² 이 지수에 이르는 지도 T(위)는 6쌍의 항정신병 지점에서 벗어나 국소적으로 주입되는 특수성을 가지고 있다. 또는 RP로부터² 얻은 지도는 이를² 3-공간으로 - 6 - 3-공간으로 -몰입시키는 것이다.

(이전에는 로마표면이 RP에² 대해 동형체라고 명시되어 있었지만, 이것은 오류였다. 이후 로마 표면은 RP를² R에³ 담그는 것이라고 진술했지만, 그것 역시 오류였다.)^{[citation needed]}

로마표면의 구조

로마 표면에는 4개의 전구 "로브"가 있는데, 각각은 4면체의 다른 모서리에 있다.

로마 표면은 세 개의 쌍곡 포물선 파라볼로이드를 스플라이싱한 다음 필요에 따라 가장자리를 다듬어 원하는 모양(예: 파라메트리조화)에 맞도록 하여 구성할 수 있다.

세 가지 쌍곡선 포물선(paraboloid)이 있게 하라.

• x = yz,
• y = zx,
• z = xy.

이 세 쌍곡선 포물선들은 사면체의 여섯 가장자리를 따라 외부로 교차하고 세 개의 축을 따라 내부로 교차한다. 내부 교차점은 이중 점으로 되어 있다. x = 0, y = 0, z = 0 등 이중 점의 세 개의 loci는 원점에서 세 개의 점에서 교차한다.

예를 들어 x = yz 및 y = zx로 지정되면 두 번째 파라볼로이드는 x = y/z와 동일하다. 그러면

${\displaystyle yz={y \over z}}$

그리고 y = 0 또는 z² = 1을 z = ±1로 설정한다. 그들의 두 개의 외부 교차점은

• x = y, z = 1;
• x = -y, z = -1

마찬가지로, 다른 외부 교차로는

• x = z, y = 1;
• x = −z, y = −1;
• y = z, x = 1;
• y = -z, x = -1

조각들이 조립되는 것을 봅시다. 파라볼로이드 y = xz 및 x = yz를 결합하십시오. 그 결과는 그림 1에 나와 있다.

파라볼로이드 y = x z는 파란색과 주황색으로 표시된다. 파라볼로이드 x = y z는 청록색과 보라색으로 표시된다. 이미지에서 파라볼로이드는 z = 0 축을 따라 교차하는 것으로 보인다. 파라볼로이드가 연장된 경우 선을 따라 교차하는 모습도 보여야 한다.

• z = 1, y = x;
• z = −1, y = −x.

두 파라볼로이드가 한데 어우러져 마치 난초 한 쌍이 앞뒤로 붙어 있는 것 같다.

이제 세 번째 쌍곡선 포물선인 z = xy를 그것들을 통해 실행하십시오. 그 결과는 그림 2에 나와 있다.

그림 2의 서남서 방향과 동북 방향에는 쌍의 개구부가 있다. 이 구멍들은 로브들이기 때문에 닫아야 한다. 개구부가 위로 닫히면 그 결과는 그림 3에 나타난 로마 표면이다.

로브 한 쌍은 그림 3의 서쪽 방향과 동쪽 방향에서 볼 수 있다. 또 다른 한 쌍의 로브는 세 번째 (z = xy) 파라볼로이드 아래에 숨겨져 있고 남북 방향에 놓여 있다.

교차하는 쌍곡선 포물선 3개가 사면체의 가장자리를 따라 교차할 정도로 충분히 멀리 그려지면 그 결과는 그림 4와 같다.

로브 중 하나는 그림 4에서 정면(앞면)으로 보인다. 로브는 사면체의 네 귀퉁이 중 하나라고 볼 수 있다.

그림 4의 연속 표면이 날카로운 모서리를 둥글게 처리한 경우(스무팅 아웃) 그 결과는 그림 5의 로마 표면이다.

로마 표면의 로브 중 하나는 그림 5에서 정면에 나타나며, 그 전구는 풍선처럼 생겼다.

그림 5의 표면을 180도 돌린 다음 뒤집으면 결과는 그림 6과 같다.

그림 6은 옆으로 보이는 세 개의 로브를 보여준다. 각 로브 쌍 사이에는 좌표 축에 해당하는 이중 점의 위치가 있다. 세 개의 loci는 원점에서 세 개의 지점에서 교차한다. 네 번째 로브는 숨겨져 있고 시청자와 정반대 방향의 방향을 가리킨다. 이 글의 맨 위에 보이는 로마 표면에도 측면도 3개의 로브가 있다.

단면도

로마 표면은 방향성이 없다, 즉 한쪽으로 치우쳐 있다. 이것은 그다지 명백하지 않다. 이를 보려면 그림 3을 다시 보십시오.

"제3" 쌍곡선 포물선 위에 있는 개미, z = x y를 상상해 보라. 이 개미를 북쪽으로 옮기게 하라. 그것이 움직이면서 마치 벽을 통과하는 유령처럼 나머지 두 개의 파라볼로이드를 통과할 것이다. 이 다른 파라볼로이드들은 몰입의 자기 교란적인 성격 때문에 장애물처럼 보일 뿐이다. 개미가 더블, 트리플 포인트를 모두 무시하고 그대로 통과하게 하라. 그래서 개미는 북으로 옮겨가 세상 가장자리에서 떨어진다는 것이다. 그것은 이제 그림 3의 세 번째 파라볼로이드 아래에 숨겨진 북쪽 로브에 있다. 개미는 로마 표면의 "밖"에 거꾸로 서 있다.

개미를 남서쪽으로 옮기게 하라. 그것은 서양의 로브 안쪽에 있는 것을 발견할 때까지 비탈을 오를 것이다. 이제 개미가 항상 x-y 평면 위로, z = 0 축을 향해 서엽 내부를 따라 남동쪽으로 움직이게 한다. 개미가 z = 0축을 통과하는 순간, 개미는 우측으로 서 있는 동측엽의 "외측"에 위치하게 된다.

그리고 나서 그것이 북쪽으로 "언덕"을 넘어 북서쪽으로 이동하게 하여 x = 0 축을 향해 미끄러져 내려가기 시작한다. 개미가 이 축을 가로지르는 순간, 오른쪽 위를 향해 서 있는 북엽 내부로 자신을 발견할 것이다. 이제 개미가 북쪽을 향해 걷게 하라. 그것은 벽을 타고 올라갔다가 북엽의 "지붕"을 따라 올라갈 것이다. 개미는 다시 세 번째 쌍곡선 포물선 위로 올라갔지만 이번에는 그 밑에 거꾸로 서 있다.(클라인 병과 비교)

더블, 트리플, 핀칭 포인트

로마 표면에는 네 개의 "로브"가 있다. 각 로브의 경계는 이중 점의 세 줄로 이루어진 세트다. 각각의 로브 사이에는 이중 점선이 있다. 표면에는 좌표 축에 (앞서 주어진 파라메트리제이션에서) 놓여 있는 총 3개의 이중 점 선이 있다. 이중 점의 세 선은 원점에 놓여 있는 세 개의 점에서 교차한다. 세 개의 점은 이중 점의 선을 두 개의 반선으로 자르고, 각 반선은 한 쌍의 로브 사이에 놓여 있다. 어떤 사람은 앞의 진술에서 좌표면으로 나누어진 공간의 8진수마다 하나씩 최대 8개의 로브가 있을 수 있다고 예상할 수 있다. 그러나 로브는 교대로 점유한다: 네 옥타트는 비어 있고 네 옥타트는 로브가 차지하고 있다.

만약 로마 표면이 가능한 최소 부피로 4면체 안에 새겨져 있다면, 4면체의 각 가장자리가 어느 지점에서 로마 표면에 접하고, 이 6개의 점들이 각각 휘트니 특이점이라는 것을 발견할 수 있을 것이다. 이러한 특이점, 즉 핀칭 점은 모두 이중 점의 세 선 가장자리에 놓여 있으며, 이 특성으로 정의된다: 특이점에는 어떤 표면에도 접하는 평면이 없다는 것이다.

참고 항목

• 소년의 표면 – 크로스 캡이 없는 투영 평면의 몰입도.
• 테트라헤미헥사헤드론 – 로마 표면과 매우 유사한 다면체.

참조

일반참조

• A. Coffman, A. 슈워츠, 그리고 C. 스탠튼: Steiner와 다른 2차 파라메트리징 표면의 대수 및 기하학. 컴퓨터 보조 기하학적 설계(3) 13(1996년 4월), 페이지 257-286
• Bert Jütler, Ragni Piene: 기하학적 모델링과 대수학적 기하학. Springer 2008, ISBN 978-3-540-72184-0, 페이지 30(Google Books의 제한 온라인 사본, 페이지 30)

외부 링크

• A. 커피맨, "스티너 표면"
• Weisstein, Eric W. "Roman Surface". MathWorld.
• 내셔널 커브 뱅크의 로마 표면(캘리포니아 주립 대학교의 웹사이트)
• Ashay Dharwadker, Heptahedron 및 Roman Surface, Electronic Geometry Models, 2004.