호모토피 구군

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대수적 위상의 수학적 분야에서는 다양한 차원의 구들이 어떻게 서로를 감싸고 다닐 수 있는지를 구들의 호모토피 그룹이 설명한다.그것들은 위상학적 불변성의 예로서, 위상학적 공간으로 보는 구들의 구조를 대수학적으로 반영하여 정확한 기하학을 망각한 것이다.위상학적 불변인 호몰로지 그룹과 달리 호모토피 그룹은 놀라울 정도로 복잡하고 계산하기 어렵다.

간결성을 위해 n-sphere라고 불리고 S로 ⁿ 표시된 n차원 단위 구는 친숙한 원(S¹)과 일반 구(S ²)를 일반화한다.n-sphere는 원점에서 단위 거리에 위치한 차원 n + 1의 유클리드 공간의 점 집합으로 기하학적으로 정의할 수 있다.i-th 호모토피 그룹 π_i (S ⁿ)은 i-차원 구 S를 ⁱ n-차원 구 S로 ⁿ 연속적으로 매핑할 수 있는 다양한 방법을 요약한다.이 요약은 한 매핑이 다른 매핑으로 계속 변형될 수 있는 경우 두 매핑을 구분하지 않으므로 매핑의 동등성 클래스만 요약된다.이러한 동등성 등급에 정의된 "추가" 연산은 동등성 등급 집합을 아벨리안 그룹으로 만든다.

π_i (S ⁿ)를 결정하는 문제는 내가 n:보다 작거나 같거나 큰가에 따라 세 가지 정권에 속한다.

• 0 < i < n의 경우, S에서 ⁱ S까지의 ⁿ 모든 매핑은 동일시적(즉, 연속적으로 변형할 수 있음)이며, 즉 S의 ⁱ 모든 것을 S의 ⁿ 단일 지점에 매핑하는 매핑이다.그러므로 호모토피 집단은 사소한 집단이 된다.
• i = n일 때 S부터 ⁿ 그 자체까지의 모든 지도는 구가 자신을 감싸고 있는 횟수를 측정하는 정도를 갖는다.이 정도는 추가되는 정수 그룹과 함께 호모토피 그룹_n ((S ⁿ)을 식별한다.예를 들어, 원의 모든 점은 다른 원의 한 점에 연속적으로 매핑될 수 있다. 첫 번째 점이 첫 번째 원을 중심으로 이동함에 따라 두 번째 점이 특정 매핑에 따라 두 번째 원을 중심으로 여러 번 순환할 수 있다.
• 가장 흥미롭고 놀라운 결과는 i > n일 때 발생한다.첫 번째 그러한 놀라움은 3-sphere S를 ³ 일반적인 구 S를 ² 비삼각적인 방식으로 감싸고 있는 Hopf fibration이라는 매핑의 발견으로, 원 포인트 매핑과 동등하지 않다.

호모토피 그룹 π_n+k (S ⁿ)을 양의 k로 계산하는 문제는 대수적 위상에서의 중심 질문으로 밝혀져 많은 근본적인 기법의 발전에 기여하고 연구의 자극적인 초점 역할을 해왔다.주요 발견 중 하나는 호모토피 그룹 π_n+k (S ⁿ)이 n ≥ k + 2에 대해 n으로부터 독립적이라는 것이다.이것들은 구들의 안정적인 호모토피 그룹이라고 불리며 k 최대 64의 값으로 계산되었다.안정적 호모토피 그룹은 안정적 호모토피 이론이라고 불리는 비상한 호모학 이론의 계수 링을 형성한다.불안정한 호모토피 그룹(n < k + 2)은 더 불규칙하다. 그럼에도 불구하고, 그들은 k < 20에 대해 표로 작성되었다.대부분의 현대적 계산은 장-피에르 세레에 의해 처음으로 호모토피 세포군에 적용되는 기술인 스펙트럼 시퀀스를 사용한다.몇 가지 중요한 패턴이 확립되었지만, 많은 것들이 알려지지 않고 설명되지 않은 채로 남아 있다.

배경

구들의 호모토피 그룹에 대한 연구는 많은 배경 자료를 기반으로 하고 있다. 여기서 간략하게 검토했다.대수 위상은 그 자체로 위상과 추상 대수 위에 구축된 더 큰 맥락을 제공하며, 기본적인 예로 호모토피 그룹을 들 수 있다.^{[citation needed]}

n-sphere

입체 공간의 평범한 구체, 즉 고체 공이 아닌 표면은 위상에서 구가 무엇을 의미하는지 보여주는 하나의 예일 뿐이다.지오메트리는 구를 형태로서 단단하게 정의한다.여기 몇 가지 대안이 있다.

• 암시적 표면: x²
  ₀ + x²
  ₁²
  ₂ + x = 1

원점에서 정확히 한 단위 떨어진 곳에서 발견된 3차원 유클리드 공간의 점 집합이다.아래에 주어진 이유로 2-sphere S라고² 불린다.같은 생각이 어떤 차원 n에도 적용된다; 방정식²
₀ x + x²
₁ + x²
_n + x = 1은 (n + 1)차원 공간에서 기하학적 물체로 n-sphere를 생성한다.예를 들어 1-sphere S는¹ 원이다.

• 접힌 림이 있는 디스크: 토폴로지로 D²/S로¹ 기록

이 구조는 기하학에서 순수 토폴로지로 이동한다.디스크 D는² 원에 의해 포함된 영역으로, 불평등²
₀ x²
₁ + x ≤ 1로 설명되며, 그 림(또는 "경계")은 등호²
₀ x + x²
₁ = 1로 기술된 원 S이다¹. 풍선이 펑크나 평평하게 펴지면 디스크가 생성된다. 이 구조는 그리기 끈을 당기는 것과 같이 펑크를 수리한다."모둘로"라고 발음되는 슬래시는 왼쪽(디스크)의 위상학적 공간을 차지하고 그 안에서 오른쪽(원)의 모든 점을 하나로 결합하는 것을 의미한다.이 지역은 2차원적이기 때문에 토폴로지는 그 결과의 위상학적 공간을 2-sphere라고 부른다.일반화, Dⁿ/S는ⁿ⁻¹ S를ⁿ 생산한다.예를 들어, D는¹ 선분할이고, 공사는 그 끝을 합쳐 원을 만든다.이와 동등한 설명은 n차원 디스크의 경계가 한 점에 접착되어 CW 콤플렉스를 생성한다는 것이다.

• 적도 정지: 위상 σS로¹ 표기함

이 건축은 간단하지만 이론적으로 매우 중요하다.원¹ S를 적도로 삼고, 그 위의 각 점을 북반구를 생산하며(북극) 위 1점, 그리고 (남극) 아래 1점까지 쓸어 남반구를 생산한다.각 양의 정수 n에 대해 n-sphere²
₀ x + x + x²
₁ + x²
_n = 1은 적도(n - 1)-sphere²
₀ x + x²
₁ + x + x²
_n−1 = 1을 가지며, 서스펜션 σs는ⁿ⁻¹ S를ⁿ 생성한다.

어떤 이론은 쌍(Sphere, point)을 뾰족한 구라고 부르면서 구체에 고정된 점을 선택할 것을 요구한다.어떤 공간에서는 선택이 중요하지만, 구의 경우 모든 포인트가 동등하기 때문에 선택은 편의의 문제다.모든 구의 적도에 있는 점(1, 0, 0, ..., 0)은 기하학적 구에 잘 통한다; 원반의 (붕괴) 림은 또 다른 분명한 선택이다.^{[citation needed]}

호모토피군

위상학적 공간의 구별되는 특징은 연속성 구조로 오픈 세트나 동네 단위로 정형화되었다는 점이다.연속 지도는 연속성을 보존하는 공간 사이의 함수다.호모토피는 연속 지도 사이의 연속적인 경로로, 호모토피에 의해 연결된 두 개의 지도는 동모토피라고 한다.이러한 모든 개념에 공통적인 생각은 관심의 결과에 영향을 미치지 않는 변형을 폐기하는 것이다.중요한 실제적인 예는 복잡한 분석의 잔여 정리인데, 여기서 "폐쇄 곡선"은 원으로부터 복잡한 평면까지의 연속적인 지도이며, 두 개의 폐쇄된 곡선이 평면으로 구성된 위상학적 공간에서 특이점들을 뺀 동일시적이라면 동일한 적분 결과를 산출한다.^{[citation needed]}

따라서 (연결된 경로) 위상학적 공간 X의 첫 번째 호모토피 그룹 또는 기본 그룹인₁ ((X)은 한 쌍에서 다른 한 쌍의 지도가 x로 연결되는 뾰족한 원(S¹,s)에서 뾰족한 공간(X,x)까지 연속적인 지도로 시작된다.이러한 지도(또는 동등하게 닫힌 곡선)는 호모토피("기준점" x 고정)에 기반한 동등성 등급으로 함께 분류되므로, 두 지도가 동일시인 경우 동일한 등급에 있다.하나의 점이 구별되는 것과 마찬가지로 하나의 등급도 구별된다: 상수지도 S¹↦x에 대한 모든 지도(또는 곡선) 동음이의 지도를 null homotopic이라고 한다.클래스는 "등가 핀치"를 통해 정의되는 덧셈의 도입과 함께 추상 대수학 그룹이 된다.이 핀치는 뾰족한 구의 적도를 구별점에 매핑하여 "구체의 부케"를 만들어낸다. 즉, 두 개의 뾰족한 구가 구별점에 결합된다.추가될 두 지도는 상구와 하구를 구분하여 지도하고, 구분점에 동의하며, 핀치와의 구도가 합계를 이룬다.^{[citation needed]}

보다 일반적으로 i번째 호모토피 그룹인 π_i(X)은 뾰족한 i-sphere(Sⁱ,s)로 시작하며, 그렇지 않으면 동일한 절차를 따른다.null homotopic class는 그룹 덧셈의 아이덴티티 역할을 하며, S (긍정ⁿ n의 경우)에 해당하는 X의 경우 - 구들의 호모토피 그룹 - 그룹은 아벨리안적이고 정밀하게 생성된다.일부 i의 경우 모든 지도가 null homotopic이라면, 그룹 π은_i 하나의 요소로 구성되며, 이를 사소한 그룹이라고 부른다.^{[citation needed]}

두 위상학적 공간 사이의 연속적인 지도는 연관된 호모토피 그룹들 사이의 집단 동형성을 유도한다.특히 지도가 연속적 편향(동형사상)이기 때문에 두 공간의 위상이 동일하다면, 그들의 i-th 호모토피 그룹은 모든 i에 대해 이형화된다.그러나 실제 평면은 (어떤 치수의 유클리드 공간과 마찬가지로) 고독점과 정확히 같은 호모토피 그룹을 가지고 있고, 점이 제거된 실제 평면은 원과 같은 그룹을 가지고 있기 때문에 그룹만으로는 공간을 구분하기에 충분하지 않다.비록 차별력의 상실은 불행하지만, 그것은 또한 특정한 계산을 더 쉽게 만들 수 있다.^{[citation needed]}

저차원 예

구들의 호모토피 집단의 저차원적인 예들은 대상의 감각을 제공하는데, 이러한 특별한 경우들은 일반적인 3차원 공간에서 시각화할 수 있기 때문이다(Hatcher 2002).그러나 그러한 시각화는 수학적 증거가 아니며, 구들 사이에 있을 수 있는 지도의 복잡성을 포착하지 못한다.^{[citation needed]}

π₁(S¹) = ℤ

가장 간단한 경우는 원(1-sphere)을 다른 원에 감을 수 있는 방법에 관한 것이다.이것은 고무 밴드를 손가락에 감으면 시각화할 수 있다: 그것은 한 번, 두 번, 세 번 등으로 감을 수 있다.포장은 두 방향 중 하나로 할 수 있으며, 반대 방향으로 포장하면 변형 후 취소된다.따라서 호모토피 그룹 π₁(S¹)은 무한 순환 그룹이며, 추가적으로 그룹$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 정수와 이형성이 있다: 호모토피 클래스의 매핑이 원을 감싸는 횟수를 계산하여 정수로 식별한다.이 정수는 또한 평면에서 원점을 둘러싸고 있는 구불구불한 루프 숫자로도 생각할 수 있다.^{[citation needed]}

정수를 가진 호모토피 그룹의 식별(집단 이형성)은 흔히 동등하게 쓰여진다. 따라서 $\pi$₁(S¹) = Z ${\$^{[citation needed]}

π₂(S²) = ℤ

2-sphere에서 2-sphere로의 매핑은 비닐 봉지를 공에 싸고 밀봉하는 것으로 시각화할 수 있다.밀봉된 가방은 공의 표면과 마찬가지로 토폴로지적으로 2-sphere와 동등하다.가방을 꼬아서 공 위로 다시 감아 두 번 이상 포장을 할 수 있다.(지속적인 지도가 주입될 필요가 없으므로 자루가 스스로 통과할 수 있도록 한다.)트위스트는 두 방향 중 하나에 있을 수 있고, 반대 트위스트는 변형에 의해 취소될 수 있다.취소 후의 총 트위스트 수는 매핑의 정도라고 불리는 정수다.원과 원 사이의 매핑에서와 같이, 이 정도는 정수 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를$)$ 가진 호모토피 그룹을 식별한다$.$

이 두 결과는 일반화된다: 모든 n > 0에 대해, π_n(Sⁿ) = $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$아래 참조).

π₁(S²) = 0

원으로부터 일반 구체로의 연속적인 매핑은 원포인트 매핑으로 계속 변형될 수 있으며, 따라서 호모토피 클래스는 사소한 것이다.이것을 시각화하는 한 가지 방법은 마찰이 없는 공에 감긴 고무 밴드를 상상하는 것이다: 그 밴드는 항상 공에서 미끄러져 나올 수 있다.따라서 호모토피 그룹은 식별 요소인 하나의 요소만 있는 사소한 그룹이므로 숫자 0으로만 구성된$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 하위 그룹으로 식별할 수 있다.이 집단은 흔히 0으로 표시된다.그러나 공간을 채우는 곡선이 존재하기 때문에 이를 엄격하게 보여주는 것은 더 많은 주의를 요한다.^{[citation needed]}

이 결과는 더 높은 차원으로 일반화된다.저차원 영역에서 고차원 영역으로의 모든 매핑은 유사하게 사소한 것이다: i < n, 그렇다면 π_i(Sⁿ) = 0. 이것은 세포 근사 정리의 결과로 나타날 수 있다.^{[citation needed]}

π₂(S¹) = 0

구들의 호모토피 그룹의 모든 흥미로운 사례들은 더 높은 차원의 구에서 더 낮은 차원의 구로의 매핑을 포함한다.불행하게도, 쉽게 시각화할 수 있는 유일한 예는 흥미롭지 않다: 평범한 영역에서 원까지의 비종교적인 매핑은 없다.따라서 π₂(S¹) = 0. 이것은 S가¹ 계약 가능한 범용 커버로서 실선을 가지고 있기 때문이다(한 점의 호모토피 타입을 가지고 있다).또한 S는² 단순히 연결되기 때문에 리프팅 기준에^{[citation needed]} 의해 S에서² S까지의¹ 어떤 지도도 실제 선으로의 지도로 들어올릴 수 있고 nullhomotopopy는 아래층 공간으로 내려간다.^{[citation needed]}

π₃(S²) = ℤ

i > n을 사용한 최초의 비경쟁적 예는 3-sphere에서 일반 2-sphere로의 매핑에 관한 것이며, 현재 Hopf Fibration(홉프 1931)으로³ 알려진 S에서 S까지² 비경쟁적 지도를 구축한 Hainz Hopf에 의해 발견되었다.이 지도는 호모토피 그룹 π₃(S²) = $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 생성한다$.$^{[citation needed]}

역사

19세기 후반 카밀 조던은 집단 이론의 언어를 사용하지 않고 호모토피 개념을 도입하여 호모토피 집단의 개념을 사용했다(O'Connor & Robertson 2001).보다 엄격한 접근법은 1895년 논문 분석 시투스에서 Henri Poincaré에 의해 채택되었는데, 여기서 호몰로지 및 기본 그룹의 관련 개념도 소개되었다(O'Connor & Robertson 1996).

상위 호모토피 그룹은 1932년 에두아르 치치에 의해 처음 정의되었다(chech 1932, 페이지 203).(그의 첫 번째 논문은 파벨 세르게예비치 알렉산드로프와 하인츠 홉프의 조언에 따라 철회되었는데, 그 이유는 그 집단이 교화적이어서 근본 집단의 올바른 일반화가 될 수 없다는 이유 때문이었다.)위톨드 후레위츠도 1935년 논문에서 호모토피 집단의 도입과 일부 집단의 계산에 사용할 수 있는 후레위츠 정리(1999a년 5월)에 공로를 인정받고 있다.다양한 집단을 계산하는 중요한 방법은 치수와 독립적인 특성을 찾는 안정적 대수 위상 개념이다.일반적으로 이것들은 더 큰 치수만을 지탱한다.첫 번째 그러한 결과는 1937년에 발표된 한스 프로이덴탈의 보류 정리였다.안정적 대수학적 위상은 1945년부터 1966년 사이에 많은 중요한 성과와 함께 번성했다(1999a년 5월).1953년 조지 W. 화이트헤드는 구들의 호모토피 그룹에 대한 측정 가능한 범위가 있다는 것을 보여주었다.장-피에르 세레는 스펙트럼 시퀀스를 사용하여 이들 그룹의 대부분이 유한하다는 것을 보여주었는데, 예외는 π_n(Sⁿ)과 π_4n−1(S²ⁿ)이다.이 지역에서 일한 다른 사람들로는 호세 아뎀, 히로시 토다, 프랭크 아담스, J. 피터 메이 등이 있다.안정적인 호모토피 그룹 π_n+k(Sⁿ)은 k까지 알려져 있으며, 2007년 현재 더 큰 k에 대해서는 알려져 있지 않다(Hatcher 2002, 스테이블 호모토피 그룹, 페이지 385–393).

일반론

이미 언급한 바와 같이, 내가 n보다 작을 때, trivial_i(Sⁿ) = 0, 사소한 그룹(Hatcher 2002)이다.그 이유는 i-sphere에서 i < n을 가진 n-sphere로의 연속적인 매핑은 언제나 굴욕적이지 않도록 변형될 수 있기 때문이다.결과적으로, 그것의 이미지는 점이 제거된 S에ⁿ 포함되어 있다; 이것은 계약 가능한 공간이며, 그러한 공간에 대한 모든 매핑은 원 포인트 매핑으로 변형될 수 있다.^{[citation needed]}

나는 정도 그 사건 n또한 이미 Hurewicz 정리의 쉬운 결과:이 정리 일반적으로 계산하기가 더 쉬워 진 상동 관계 단체들과 함께, 특히, k을과simply-connected 공간 X, 첫번째 영이 아닌 호모토피 그룹 πk(X),;0,1조금이라도 homol에 같은 모양의 것을 보여 주호모토피 그룹 연결시켜 주목을 받았다.ogy그룹_k H(X)n-sphere의 경우 이는 즉시 n ≥ 2, π_n(Sⁿ) = H_n(Sⁿ) = $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을$($^{[citation needed]}를) 암시한다.

i > n을 가진 호몰로지 그룹 H_i(Sⁿ)는 모두 하찮다.따라서 해당 호모토피 집단이 일반적으로 사소하지 않다는 것은 역사적으로 큰 놀라움으로 다가왔다.이것이 진짜 중요한 경우인데, i > n에 대해 상위 호모토피 그룹인_i ((Sⁿ)은 놀라울 정도로 복잡하고 계산하기 어려우며, 그것들을 계산하려는 노력이 상당량의 새로운 수학을 만들어냈다.^{[citation needed]}

테이블

다음 표는 차원 8 이하의 영역에서도 상위 호모토피 집단의 복잡성에 대한 아이디어를 제공한다.이 표에서, 항목은 사소한 것들은 그룹 0, 무한한 순환 그룹 Z{\displaystyle \mathbb{Z}}, 유한 순환 그룹의 주문 n(Z{\displaystyle \mathbb{Z}}n로 쓰여), 또는 직접 제품의 같은 모임( 쓴, 예를 들면, Z{\displaystyle \mathbb{Z}}24× Z{\displaystyle \mathbb.{$Z} }$ 또는$$₃ Z ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$ {Z} $$$_{2}}.$구들의 호모토피 그룹들의 확장된 표는 기사의 끝에 주어진다.

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12	π13	π14	π15
S0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S1	$\displaystyle \mathb {Z} }$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$12	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$3	$\displaystyle \mathb {Z} }$15	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2 2	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$12 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$84 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$	$\displaystyle \mathb {Z} }$22
S3	0	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$12	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$3	$\displaystyle \mathb {Z} }$15	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2 2	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$12 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$84 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2 2
S4	0	0	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2 2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2 2	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$24 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$	$\displaystyle \mathb {Z} }$15	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$3 2	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$120 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$12 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$84 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$
S5	0	0	0	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$24	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$30	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$3 2	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$72 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$
S6	0	0	0	0	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$24	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$60	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$24 ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$	$\displaystyle \mathb {Z} }$3 2
S7	0	0	0	0	0	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$24	0	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$120	$\displaystyle \mathb {Z} }$3 2
S8	0	0	0	0	0	0	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	$\displaystyle \mathb {Z} }$24	0	0	$\displaystyle \mathb {Z} }$2	${\displaystyle \mathbb{Z}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$

이 표의 처음 두 줄은 간단하다.0차원 구의 호모토피 그룹 π_i(S⁰)은 i-sphere에서 0-sphere로 지도를 보존하는 모든 기준점이 원포인트 매핑이기 때문에 i > 0에 대해 사소한 것이다.마찬가지로 1-sphere의 호모토피 그룹 π_i(S¹)은 i > 1에게 사소한 것으로서, 동일한 상위 호모토피 그룹을 가진 범용 커버 $공간$인 R ${\$은 수축이 가능하기 때문이다.^{[citation needed]}

이 두 행을 넘어서면 더 높은 호모토피 그룹(i > n)이 혼란스러워 보이지만, 사실 많은 패턴, 어떤 것은 명백하고 어떤 것은 아주 미묘하다.

• 들쭉날쭉한 검은 선 아래의 그룹은 대각선(빨간색, 초록색, 파란색으로 표시됨)을 따라 일정하다.
• 대부분의 집단은 유한하다.유일한 무한 그룹은 주 대각선 또는 들쭉날쭉한 선 바로 위에 있다(노란색으로 강조 표시됨).
• 표의 세 번째와 네 번째 행은 세 번째 열에서 시작하는 것과 같다(즉, i ≥ 3의 경우² =(S_ii) = starting³(S)).이러한 이형성은 Hopf fibration³² S → S에 의해 유도된다.
• $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3,${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle n=2,3,4,5}$ $및$ i ${\displaystyle \ge n}$ ${\displaystyle i\geq$ n$}$의 경우 호모토피 그룹 π i${\displaystyle {}_{}{Sn}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$(Sn) ${\displaysty \pi _{i}(S^{n})$는 사라지지 않는다$$.$단{\displaystyle {}_{}}$, $n{\displaystyle }$ ≥ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 4_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{S}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \pi _{n+4}(S^{n})=0}$은(는) n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle n\geq 6$

이러한 패턴은 많은 다른 이론적 결과로부터 나타난다.^{[citation needed]}

안정적이고 불안정한 그룹

위 표의 들쭉날쭉한 선 아래의 집단이 대각선을 따라 일정하다는 사실은 한스 프로이덴탈의 보류 정리로 설명되는데, 이는 suspension_n+k(Sⁿ)에서 π_n+k+1(Sⁿ⁺¹)까지의 보류 동형성이 n > k + 1에 대한 이형성임을 암시한다.n > k + 1이 있는 그룹 π_n+k(Sⁿ)을 구들의 안정적 호모토피 그룹이라고 하며, π^S
_k: k 0 0에 대한 유한 아벨리아 그룹이며, 일반 패턴이 아직 이해하기 어렵지만, 수많은 경우에서 계산되었다. (Hatcher 2002, Stabil 호모토피 그룹, 페이지 385–393).n ≤ k+1의 경우, 그 집단을 불안정한 구들의 호모토피 집단이라고 부른다.^{[citation needed]}

호프 섬유

고전적인 호프 진동은 섬유 묶음이다.

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\오른쪽 화살표 S^{2}\,\!}$

섬유다발 F→E→B의 일반적인 이론은 호모토피 집단의 긴 정확한 순서가 있음을 보여준다.

${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(F)\to \pi _{i}(E)\pi _{i-1}(B)\pi \i-1(F)\to \cdots.\,\!}$

이 특정 묶음에 대해, S¹→S³ 포함에 의해 유도된 각 집단 동형성 π_i(S¹)→π_i(S³)은, 저차원 구¹ S가 고차원 S 내부의³ 한 지점으로 변형될 수 있기 때문에, ((S_i¹) 모두를 0으로 매핑한다.이는 π₁(S³)의 소멸에 해당한다.따라서 긴 정확한 순서는 짧은 정확한 순서로 나뉜다.

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \,\!}$

S는ⁿ⁺¹ S의ⁿ 중단이므로 이 시퀀스는 서스펜션 동형성 π_i−1(S¹)→→(S²)에_i 의해 분할되어 이형성을 부여한다.

${\displaystyle \pi _{i}{2}=\pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1})\,\!}$

π_i−1(S¹)는 i에 대해 최소한 3에 대해 소멸하므로, π_i(S²)과 π_i(S³)는 위에서 관찰한 바와 같이 적어도 3이 될 때마다 이형성이 있음을 첫 번째 행에 나타낸다.

다음과 같다 호프 올뭉치:복소수의 쌍 z0 2+z1 2=1형태는3-sphere 그들의 비율 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num, .mw-parser-output(z0,z1)건설될 수 있다..mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}z0/z1 복잡한 평면에 무한대,2-sphere을 덮고 있다.Hopf map³ S² → S는 그러한 쌍을 그것의 비율로 보낸다.^{[citation needed]}

마찬가지로 일반화된 Hopf 섬유도 있다.

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\오른쪽 화살표 S^{4}\,\!}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\오른쪽 화살표 S^{8}\,\!}$

복잡한 숫자 대신 쿼터니온 또는 옥톤 쌍을 사용하여 구성된다(Hatcher 2002).여기에서도 π₃(S⁷)와 π₇(S¹⁵)는 0이다.따라서 이 긴 정확한 순서는 다시 분열된 짧은 정확한 순서의 가족으로 나뉘며, 이는 두 가족의 관계를 암시한다.

${\displaystyle \pi _{i}{4}=\pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3}),\,\!}$

${\displaystyle \pi _{i}{8}=\pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).\,\!}$

3개의 섬유에는 nⁿ = 2^m, m = 1, 2, 3. S(m = 0)에는¹ 진동이 존재하지만 S¹⁶(m = 4) 이상에는 존재하지 않는다.S와의¹⁶ 관계의 일반화는 종종 사실이지만, 그것들은 때때로 실패한다. 예를 들면,

${\displaystyle \pi _{30}(S^{16})\neq \pi _{30}(S^{31})\oplus \pi _{29}(S^{15}).\,\!}$

따라서 진동이 있을 수 없다.

${\displaystyle S^{15}\hookrightarrow S^{31}\오른쪽 화살표 S^{16}\,\!}$

그러한 진동은 실패한 관계가 사실임을 의미할 것이기 때문에, Hopf 불변 한 문제의 첫 번째 비견례.^{[citation needed]}

틀에 박힌 거미줄

구들의 호모토피 그룹은 다지관의 거미줄 계급과 밀접한 관련이 있다.1938년 레프 폰트랴긴은 호모토피 그룹 π_n+k(Sⁿ)과 S의^n+k 서로 다른 k-submanifolds의 거미류 계급 Ω^framed
_k(S^n+k) 사이에 이소모르페르시즘을 확립했으며, 이는 "framed" 즉, 사소하게 정상적인 묶음을 가지고 있다.모든 지도 ƒ:S^n+k → ${\displaystyle \mathrm{S}}$는ⁿ $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0,}$ … ,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$+ k ${\$ M$^{k}=f^{-1}(1,0,\dots ,0)\subset S^{n+k}}}$ 틀의$$ k차원 서브매니폴드로 동일시된다.예를 들어, ((S_nⁿ)= ${\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {Z}}$은ⁿ(는) S의 0차원 서브매니폴드의 코보디즘 그룹으로, 점의 대수적 합계로 계산되며, 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$→ ${\displaystyle S^{}}$ ${\$$S^{n}\to$ S$^{n$그 호프 올뭉치의 돌출부 S3→ S2{\displaystyle S^{3}\rightarrow S^{2}}을 나타내는 발전기의 π3(S2))Ωframed1(S3)= Z{\displaystyle \mathbb{Z}}은 해당합니다던 액자1-dimensional submanifold의 S3에 의해 정의된 표준을 묻어 두는 S1⊂ S3{\displaystyle S^{1}\subset S^{3}}. 이 비와 함께일반 2-평면 번들의 표준 사소한 작업.1950년대 초(세레) 보다 정교한 대수학 방법이 등장하기 전까지 폰트르자긴 이소모르프리즘은 구들의 호모토피 그룹을 계산하는 주요 도구였다.1954년에 레네 톰에 의해 폰트르자긴 이소모르피즘이 공간과 스펙트럼의 호모토피 그룹으로 다른 거미류 계급 그룹(예: 모든 다지관 그룹)을 표현하는 이소모르피즘으로 일반화되었다.보다 최근의 연구에서는 대개 주장이 뒤집히는데, 코보디즘 그룹은 호모토피 그룹(Scorpan 2005)의 관점에서 계산된다.

미세성과 비틀림

1951년 장-피에르 세레는 spheres(S) 또는 π_n4n−1(S²ⁿ) 형태의 것을 제외하고 모두 유한한 구들의 호모토피 집단이 유한한 아벨리아 집단(세르 1951)을 가진 무한 순환 집단의 산물일 때(양수ⁿ n의 경우)이라는 것을 보여주었다.특히 호모토피 그룹은 모든 primes p에 대한 그들의 p-component에 의해 결정된다.2-성분은 계산하기 가장 어려우며, 여러 가지 방법으로 홀수 p-성분과는 다르게 행동한다.^{[citation needed]}

세레는 같은 논문에서 k < 2p - 3일 경우 π_n+k(Sⁿ)가 p-torion이 없고, n 3 3과 k = 2p - 3일 경우 p-torsion의 고유한 부분군을 갖는다는 것을 보여줌으로써 n차원 구들의 호모토피 그룹에서 p-torion이 가장 먼저 발생하는 곳을 발견했다.2차원 구의 경우는 약간 다르다: 첫 번째 p-torion은 k = 2p - 3 + 1에 발생한다.기형 토션의 경우 더 정확한 결과가 있다. 이 경우 기형과 짝수 치수의 구간에 큰 차이가 있다.p가 홀수 프라임이고 n = 2i + 1이면 π_n+k(Sⁿ)의 p-구성요소의 원소는ⁱ 최대 p(Cohen, Moore & Neisendorfer 1979)이다.이는 어떤 의미에서 가장 좋은 결과인데, 이들 집단은 k의 일부 가치에 대해 이 순서의 요소를 가지고 있다고 알려져 있기 때문이다(Ravenel 2003, 페이지 4).더욱이 이 경우 안정범위를 확장할 수 있는데, n이 홀수일 경우 π_k(Sⁿ)에서 π_k+2(Sⁿ⁺²)까지의 이중 정지는 k < p(n + 1) - 3일 경우 p-구성요소의 이형성이고, 평등이 유지될 경우 인식성(Sere 1952)이다.중간 그룹 π_k+1(Sⁿ⁺¹)의 p-torion은 엄격히 더 클 수 있다.^{[citation needed]}

이상 비틀림에 대한 위의 결과는 홀수 차원 구에 대해서만 적용된다. 짝수 차원 구에 대해 제임스 진동(James fibration)은 홀수 p로 비틀림을 제공한다.

${\displaystyle \pi _{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi _{2m+k-1}(p)\oplus \pi _{2m+k}(S^{4m-1)(p)}$

(여기서 (p)는 p-구성요소를 취함을 의미한다(Ravenel 2003, 페이지 25).이 정확한 순서는 호프 진동에서 나오는 순서와 유사하다. 다른 점은 비록 2-torsion을 무시하는 대가를 치르더라도 모든 고차원적인 구에서 작동한다는 것이다.홀수 및 짝수 치수 구에 대한 결과를 결합하면 불안정한 호모토피 그룹의 이상 비틀림 대부분이 안정적인 호모토피 그룹의 이상 비틀림에 의해 결정된다는 것을 알 수 있다.^{[citation needed]}

안정적인 호모토피 그룹의 경우 p-torsion에 대한 더 정확한 결과가 있다.예를 들어, prime p에 대해 k < 2p(p - 1) - 2가 되면, k + 1이 2(p - 1)로 분할되지 않는 한, 안정적 호모토피 그룹의 p-primary 성분 π은^S
_k 사라지는데, 이 경우 순서 p (Fuks 2001) harv error: no target: CITREFFks2001 (도움말)^{[citation needed]}이다.

J동형주의

π_n+k(Sⁿ)의 중요한 부분군은 k ≥ 2에 대해 J-호모형성 J: ((SO_k(n) → ((S_n+kⁿ)의 이미지로, 여기서 SO(n)는 특수직교군(Adams 1966)을 나타낸다.안정적인 범위 n ≥ k+2에서 호모토피 그룹 π_k(SO(n))은 k(mod 8)에만 의존한다.이 8주기 패턴은 Bott periodicity로 알려져 있으며, J-homoporphism의 이미지를 통해 안정적인 호모토피 그룹 구에 반영되어 다음과 같다.

• k가 0 또는 1 modulo 8에 일치하는 경우 순서 2의 순환 그룹
• k가 2, 4, 5, 6 modulo 8에 해당하는 경우 사소한 경우
• b_2m/4m의 분모와 동일한 주기적 순서 그룹, 여기서 b는_2m 베르누이 수(k = 4m - 1 ≡ 3 (mod 4)일 경우)

이 마지막 사례는 k의 그러한 값에 대해 π_n+k(Sⁿ)에서 비정상적으로 큰 유한 질서의 요소를 설명한다.예를 들어, 안정 그룹 π_n+11(Sⁿ)은 주기적인 부분군 순서가 504이고, B₆/12 = 1/504의 분모가 있다.^{[citation needed]}

The stable homotopy groups of spheres are the direct sum of the image of the J-homomorphism, and the kernel of the Adams e-invariant, a homomorphism from these groups to ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$. Roughly speaking, the image of the J-homomorphism is the subgroup of "well understood" or "easy" elements of the stab호모토피 집단 집단 집단 집단 집단 집단 집단 집단 집단 집단 집단 집단 집단들이러한 잘 이해된 요소들은 작은 차원으로 이루어진 안정적인 구들의 호모토피 그룹의 대부분의 요소들을 차지한다.J-호모형주의 이미지에 의한 of의^S
_n 몫은 구들의 안정적 호모토피 집단(Adams 1966)의 "하드" 부분으로 간주된다.(아담스는 또한 n 1 1 또는 2 (mod 8)에 대해 일정한 순서 2 μ의 μ를_n^S
_n 도입하였으며, 이것들도 "잘 이해된" 것으로 간주된다.)구들의 호모토피 그룹 표는 공간을 절약하기 위해 "쉬운" 부분을 생략하는 경우가 있다.^{[citation needed]}

링 구조

직접합계

${\displaystyle \pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}}}}}$

구들의 안정적인 호모토피 그룹들 중에서는 초확률적인 그라데이션 링이 있는데, 여기에선 대표 지도의 구성으로 곱셈이 주어지고, 0도가 아닌 어떤 요소도 질포텐트(니시다 1973), 복잡한 거미줄에 대한 영포텐스 정리는 니시다의 정리를 내포하고 있다.^{[citation needed]}

예:만일 η이 π^S
₁ (순서 2의)의 발전기라면, is은² nonzero이고 η은^S
₂³ nonzero이며 π의^S
₃ 발전기는 12배인 반면, η은⁴ 그룹 π은^S
₄ 사소한 것이기 때문에 0이다.^{[citation needed]}

f와 g와 h가 f g = 0, g⋅h = 0인 π의^S
_* 원소라면, 이들 원소의 토다 브라켓 〈f,g,h〉가 있다(토다 1962).토다 브래킷은 다른 특정 요소의 제품 추가까지만 정의되기 때문에 안정적인 호모토피 그룹의 요소가 아니다.토다 히로시는 합성 제품과 토다 괄호를 사용하여 호모토피 그룹의 많은 요소들에 라벨을 붙였다.또한 적절한 하부 Toda 대괄호가 사라질 때 정의되는 여러 원소의 Toda 대괄호가 더 높다.이것은 코호몰로지에서의 매시 제품 이론과 유사하다.^{[citation needed]}안정적인 구들의 호모토피 그룹의 모든 요소들은 구성 제품과 높은 토다 괄호를 사용하여 Hopf 요소라고 불리는 어떤 잘 알려진 요소들의 관점에서 표현될 수 있다(Cohen 1968).^{[citation needed]}

계산 방법

만약 X가 유한한 기본 집단을 가진 유한한 단순화 복합체라면, 특히 X가 적어도 2차원의 구면이라면, 그것의 호모토피 집단은 모두 미세하게 생성된 아벨 그룹이다.이러한 그룹을 계산하기 위해, 그들은 종종 각각의 prime p에 대한 그들의 p-component에 인수되고, 각각의 p-group을 개별적으로 계산한다.처음 몇 개의 호모토피 구 그룹은 위의 생각들의 임시 변형을 사용하여 계산할 수 있다. 이 점을 넘어서, 구들의 호모토피 그룹을 계산하는 대부분의 방법은 스펙트럼 시퀀스에 기초한다(Ravenel 2003).이것은 보통 적절한 섬유질을 구성하고 연관되는 길고 정확한 호모토피 그룹 순서를 취함으로써 이루어진다. 스펙트럼 시퀀스는 이 과정이 생성하는 복잡한 정보를 체계적으로 정리하는 방법이다.^{[citation needed]}

• 카탄과 세레(1952a, 1952b)로 인한 '호모토피 집단을 죽이는 방법'은 후레위츠 정리를 반복적으로 사용하여 최초의 비종교적 호모토피 집단을 계산한 다음 에일렌버그-맥레인 공간을 포함하는 교정으로 죽이는(제거)을 포함한다.원칙적으로 이것은 유한한 단순 연결 단순화 복합체의 모든 호모토피 그룹을 계산하는 효과적인 알고리즘을 제공하지만, 실제로는 호모토피 그룹을 죽일 때마다 단순화 복합체가 훨씬 더 복잡해지기 때문에 처음 몇 개 비독성 호모토피 그룹 이외의 어떤 것도 계산하는 데 사용하는 것이 너무 번거롭다.
• 세레 스펙트럼 시퀀스는 세레가 앞서 언급한 결과의 일부를 입증하기 위해 사용했다.그는 잘 행동된 공간의 루프 공간을 차지하면 모든 호모토피 집단이 1씩 내려간다는 사실을 이용했기 때문에, 스페이스 X의 n번째 호모토피 집단은 후레위츠 정리에 의한 (n-1)폴드 루프 공간의 첫 번째 호모토피 집단과 같다.이는 반복 루프 공간의 호모토피 그룹 계산으로 X의 호모토피 그룹 계산을 감소시킨다.세레 스펙트럼 시퀀스는 공간의 호몰로지(homology)와 그것의 루프 공간의 호몰로지(homology)를 연관시키므로, 때때로 루프 공간의 호몰로지(homology)를 계산하는 데 사용될 수 있다.세레 스펙트럼 시퀀스는 제어하기 어려운 0이 아닌 차이가 많은 경향이 있으며, 상위 호모토피 그룹에 대해서는 모호성이 너무 많이 나타난다.결과적으로, 그것은 더 많은 정보를 제공하는 0이 아닌 미분차가 더 적은 더 강력한 스펙트럼 시퀀스로 대체되었다.^{[citation needed]}
• EHP 스펙트럼 시퀀스는 많은 호모토피 구군을 계산하는 데 사용될 수 있다; 그것은 토다가 호모토피 그룹 계산에서 사용한 일부 섬유에 기초한다(Mahowald 2001 harvnb error: no target: CITREFMahowald2001 (도움말), Toda 1962).
• 고전적인 아담스 스펙트럼 시퀀스에는 Ext 그룹^∗,∗
  _A(p) Ext(${\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {Z$_p ${\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {Z$_p가 mod p Steenrod 대수 A(p)를 통해 부여한₂ E 용어가 있으며, 안정적인 호모토피 그룹의 p 성분과 밀접하게 관련된 것으로 수렴된다.아담스 스펙트럼 시퀀스의 초기 항은 그 자체로 계산하기가 상당히 어렵다. 이것은 때때로 5월 스펙트럼 시퀀스(Ravenel 2003, 페이지 67–74)라고 불리는 보조 스펙트럼 시퀀스를 사용하여 이루어진다.
• 홀수 시간에서 아담스-노비코프 스펙트럼 시퀀스는 일반적인 코호몰로지 모드의 p를 복잡한 코보디즘이나 보다 일반적으로 브라운-피터슨 코호몰로지라고 하는 일반적인 코호몰로지 이론으로 대체하는 아담스 스펙트럼 시퀀스의 보다 강력한 버전이다.초기 항은 다시 계산하기가 꽤 어렵다. 이를 위해 색도 스펙트럼 시퀀스를 사용할 수 있다(Ravenel 2003, 5장).^{[citation needed]}

• 이 마지막 접근법의 변동은 브라운-피터슨 코호몰로지(Brown-Peterson cohomology)에 대해 애덤스-노비코프 스펙트럼 시퀀스의 역 버전을 사용한다. 즉, 한계는 알려져 있으며, 초기 용어에는 자신이 찾으려고 하는 구들의 알려지지 않은 안정적인 호모토피 그룹이 포함된다(Kochman (1990).^{[citation needed]}

• 동기 애덤스 스펙트럼 시퀀스는 동기가 있는 안정적인 구들의 호모토피 그룹으로 수렴된다.복잡한 숫자에 대한 동기부여를 고전적인 숫자와 비교함으로써, Isaksen은 59-steam (Isaksen (2019))까지의 계산에 대한 엄격한 증거를 제공한다.특히 이삭센은 56계통의 코커 J를 0으로 계산하고 있으며, 따라서 케르베레-밀노르의 작업에 의해 구 S는⁵⁶ 독특한 부드러운 구조를 가지고 있다.^{[citation needed]}

• 칸-프리디 지도는 무한 실제 투사 공간의 서스펜션 스펙트럼에서 구 스펙트럼으로 아담스 스펙트럼 시퀀스 지도를 유도한다.그것은 긍정적인 줄기의 아담스₂ E 페이지에 있는 절망적이다.왕과 쉬는 칸-프리디 지도를 이용하여 구 스펙트럼에 대한 애덤스 차이를 귀납적으로 추론하는 방법을 개발한다(왕앤슈(2017).그들은 몇몇 애덤스 차이에 대해 상세한 논거를 제시하고 60과 61-스템을 계산한다.그 결과의 기하학적 윤곽은 구체 S가⁶¹ 독특한 부드러운 구조를 가지고 있고, 그것은 마지막 홀수 치수인 S¹, S³, S⁵, S, 그리고 S밖에⁶¹ 없다.^{[citation needed]}

• τ법의 동기 코피버는 지금까지 프라임 2에서 가장 효율적인 방법이다.τ 등급은 동기부여 영역 사이의 지도다.게오르게-왕-수 정리(Gheorghe, Wang & Shu(2021))는 τ의 코피버에 대한 동기 애덤스 스펙트럼 시퀀스를 BP에_* 대한 대수 노비코프 스펙트럼 시퀀스로 식별하는데, 이는 순수 대수 데이터에서 τ의 코피버에 대한 동기 애덤스 차이를 추론할 수 있게 한다.그런 다음, 이러한 동기적인 아담스의 차이를 동기적인 영역으로 되돌린 다음, 베티 실현 펑터를 사용하여 그것들을 고전적인 영역으로 밀고 나갈 수 있다.이 방법을 사용하여 이삭센, 왕앤슈(2020)는 90계까지 계산한다.^{[citation needed]}

S의² 호모토피 집단의 연산은 결합 집단 이론 문제로 축소되었다.베릭 외 (2006) 이러한 호모토피 집단을 S의² 브룬어 땋은 집단의 특정 인용구로 식별한다.이 통신에 따르면 n > 2에 대한 π_n(S²)의 모든 비경쟁 요소는 디스크 D에² 대한 브룬니안이 아닌 S에² 대해 브룬니어로 표현될 수 있다.예를 들어, Hopf map S³ → S는² 보로미아 링에 해당한다.^{[citation needed]}

적용들

• 구불구불한 수(π₁(S¹) = $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}\}$ )는 모든 비정수 복합 다항식이 0을 갖는다는 대수학의 기본 정리를 증명하는 데 사용할 수 있다.^{[citation needed]}
• π_n−1(Sⁿ⁻¹) = $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 있다는 사실은 n차원 공에서 그 자체로 이어지는 모든 연속 지도에는 고정점이 있다는 브루워 고정점 정리를 내포하고$$ 있다.^{[citation needed]}
• 매끄러운 지도나 대수적 품종의 단수점 구조를 연구하는 특이성 이론에서 안정적인 호모토피군은 중요하다.그러한 특이점들이 원활한 지도의 임계점, R{\displaystyle \mathbb{R}}mn. R{\displaystyle \mathbb{R}에}에서 비롯된다그러한 지도가 임계점 근처에 있는 기하학 πm−1(Sn−1)의 요소로, 위상적인 n− 1s로 가장 중요한 시점 지도 주변의 작은 m− 1구체는 방법을 고려하여 묘사될 수 있임계값을 이리저리 ^{[citation needed]}살피다
• 세 번째 안정적인 호모토피 집단이 블라디미르 로클린이 처음 입증한 순서 24의 순환이라는 사실은 콤팩트한 매끄러운 스핀 4-매니폴드의 서명이 16(스코판 2005)로 분할된다는 로클린의 정리를 내포하고 있다.
• 안정적인 호모토피 그룹은 지향적인 호모토피 n-spers의 h-코보르디즘 등급의 그룹 θ을_n 설명하기 위해 사용된다(n ≠ 4의 경우 이것은 n-space에 대한 매끄러운 구조의 그룹이며, 방향을 보존할 수 있는 차이점형성까지이며, 이 그룹의 비경쟁 요소는 이국적인 구들로 표현된다).더 정확히 말하면, 주입 지도가 있다.

${\displaystyle \theta _{n}/bP_{n+1}\pi _{n}^{S}/J,\,\!}$

여기서 bP는_n+1 평행할 수 있는 다지관을 묶은 호모토피구로 대표되는 주기적인 부분군이고, π은^S
_n n번째의 안정적인 호모토피 그룹이며, J는 J-호모형성의 이미지다.n이 2-2형식이^k 아닌 한 이는 이형상이며, 이 경우 이미지에는 지수 1이나 2가 있다(Kervaire & Milnor 1963).^{[citation needed]}

• 위 groups_n 그룹과 따라서 안정적인 구들의 호모토피 그룹은 위상학적 또는 부분적인 선형 다지관의 가능한 매끄러운 구조물의 분류에 사용된다(Scorpan 2005).^{[citation needed]}
• 케르베어 불변성 문제는 케르베어 불변성 1의 다지체가 2^k - 2 치수에서 존재한다는 것을 구들의 안정적인 호모토피 그룹에 대한 질문으로 줄일 수 있다.예를⁶ 들어, 차원 2 - 2 = 62(Baratt, Jones & Mahowald 1984)에서 케르베어 불변성 문제를 해결하기 위해 48급까지의 안정적인 호모토피 그룹에 대한 지식이 사용되어 왔다.(이것은 그 당시에 문제가 열린 k의 가장 작은 값이었다.)^{[citation needed]}
• Barratt-Priddy 정리에서는 구들의 안정적인 호모토피 집단을 대칭 집단의 분류 공간에 적용되는 플러스 구조로 표현할 수 있으며, 이에 따라 안정적인 호모토피 집단을 가진 한 요소(Deitmar 2006)로 필드의 K이론을 식별할 수 있게 된다.^{[citation needed]}

호모토피 그룹 표

구들의 호모토피 그룹 표는 π_n+k(Sⁿ)를 보여줌으로써 가장 편리하게 정리되어 있다.

다음 표는 많은 그룹 ((S_n+kⁿ). (이 표들은 토다(1962)에 있는 구들의 호모토피 그룹 표에 기초한다.)안정적인 호모토피 집단은 파란색으로, 불안정한 집단은 빨간색으로 강조된다.각 호모토피 그룹은 다음 규약을 사용하여 표에 제시된 주문의 순환 그룹의 산물이다.

• 항목 "⋅"은 사소한 그룹을 나타낸다.
• 항목이 정수, m인 경우 호모토피 그룹은 해당 순서의 순환 그룹이다(일반적으로 $작성$된 Z$${\$displaystyle \mathb {Z}).$_m
• 항목이 ∞인 경우 호모토피 그룹은 무한 순환 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 입니다$.$
• 입력이 제품인 경우 호모토피 그룹은 해당 주문의 주기적 그룹의 데카르트 제품(동등하고 직접적인 합계)이다.파워는 반복된 제품을 나타낸다.(a와 b에 공통 요인이 없는 경우, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\times$_a ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 이형성이 있다는$$_b 점에 유의하십시오.)$$_ab

예: π₁₉(S¹⁰) = $\pi$₉₊₁₀(S¹⁰) = Z ${\$ Z ${\$₂× ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$Z}$₂$}$ × ${\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystytype$ \$mathb {Z}$₂$}}}}}}}}}}}}}}}}}.$ 이 표에³ 표시된다.

Sn → →	S0	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	S8	S9	S10	S11	S12	S≥13
π<n(Sn)		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π0+n(Sn)	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π1+n(Sn)	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π2+n(Sn)	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π3+n(Sn)	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π4+n(Sn)	⋅	⋅	12	2	22	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π5+n(Sn)	⋅	⋅	2	2	22	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π6+n(Sn)	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π7+n(Sn)	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π8+n(Sn)	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	23	24	23	22	22	22	22
π9+n(Sn)	⋅	⋅	2	22	23	23	23	24	25	24	∞⋅23	23	23	23
π10+n(Sn)	⋅	⋅	22	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	242⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π11+n(Sn)	⋅	⋅	12⋅2	84⋅22	84⋅25	504⋅22	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π12+n(Sn)	⋅	⋅	84⋅22	22	26	23	240	⋅	⋅	⋅	12	2	22	참조 아래에
π13+n(Sn)	⋅	⋅	22	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π14+n(Sn)	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π15+n(Sn)	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅23	120⋅25	240⋅23	240⋅22	240⋅2	240⋅2
π16+n(Sn)	⋅	⋅	30	6⋅2	62⋅2	22	504⋅22	24	27	24	240⋅2	2	2
π17+n(Sn)	⋅	⋅	6⋅2	12⋅22	24⋅12⋅4⋅22	4⋅22	24	24	6⋅24	24	23	23	24
π18+n(Sn)	⋅	⋅	12⋅22	12⋅22	120⋅12⋅25	24⋅22	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅22	8⋅4⋅2	480⋅42⋅2
π19+n(Sn)	⋅	⋅	12⋅22	132⋅2	132⋅25	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅23	264⋅25

Sn → →	S13	S14	S15	S16	S17	S18	S19	S20	S≥21
π12+n(Sn)	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π13+n(Sn)	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π14+n(Sn)	16⋅2	8⋅2	4⋅2	22	22	22	22	22	22
π15+n(Sn)	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞⋅480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π16+n(Sn)	2	24⋅2	23	24	23	22	22	22	22
π17+n(Sn)	24	24	25	26	25	∞⋅24	24	24	24
π18+n(Sn)	82⋅2	82⋅2	82⋅2	24⋅82⋅2	82⋅2	8⋅4⋅2	8⋅22	8⋅2	8⋅2
π19+n(Sn)	264⋅23	264⋅4⋅2	264⋅22	264⋅22	264⋅22	264⋅2	264⋅2	∞⋅264⋅2	264⋅2

안정적 호모토피 그룹 표

안정적 호모토피 그룹 ${\displaystyle {\pi k}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$_{$k}^{S}}$는 표에 나타난 무한 또는 프라임 전력 질서의 순환 집단들의 산물이다.(대부분 역사적 이유로 안정적 호모토피 그룹은 대개 프라임 전력 질서의 순환 집단들의 산물로 주어지는 반면 불안정한 호모토피 그룹들의 테이블은 종종 그것들을 준다.가장 적은 수의 순환 그룹을 생산한 제품)주요 복잡성은 2-, 3-, 5-요소에 있다. p > 5의 경우 표의 범위에 있는 p-요소는 J-호몰피즘에 의해 회계처리되며, 2(p-1)가 k+1과 0(Fuks 2001) harv 오류: no target: CITREFUKS2001 (도움말)을 나누는 경우 순서 p의 순환이다.(2성분은 이사크센, 왕앤슈(2020), 3성분과 5성분은 라베넬(2003)에서 찾을 수 있다.표의 mod 8 동작은 이미지가 밑줄 친 J-homorphism을 통해 Bott periodic에서 나온다.

n →	0	1	2	3	4	5	6	7
π0+nS	∞	2	2	8⋅3	⋅	⋅	2	16⋅3⋅5
π8+nS	2⋅2	2⋅22	2⋅3	8⋅9⋅7	⋅	3	22	32⋅2⋅3⋅5
π16+nS	2⋅2	2⋅23	8⋅2	8⋅2⋅3⋅11	8⋅3	22	2⋅2	16⋅8⋅2⋅9⋅3⋅5⋅7⋅13
π24+nS	2⋅2	2⋅2	22⋅3	8⋅3	2	3	2⋅3	64⋅22⋅3⋅5⋅17
π32+nS	2⋅23	2⋅24	4⋅23	8⋅22⋅27⋅7⋅19	2⋅3	22⋅3	4⋅2⋅3⋅5	16⋅25⋅3⋅3⋅25⋅11
π40+nS	2⋅4⋅24⋅3	2⋅24	8⋅22⋅3	8⋅3⋅23	8	16⋅23⋅9⋅5	24⋅3	32⋅4⋅23⋅9⋅3⋅5⋅7⋅13
π48+nS	2⋅4⋅23	2⋅2⋅3	23⋅3	8⋅8⋅2⋅3	23⋅3	24	4⋅2	16⋅3⋅3⋅5⋅29
π56+nS	2	2⋅22	22	8⋅22⋅9⋅7⋅11⋅31	4	⋅	24⋅3	128⋅4⋅22⋅3⋅5⋅17
π64+nS	2⋅4⋅25	2⋅4⋅28⋅3	8⋅26	8⋅4⋅23⋅3	23⋅3	24	42⋅25	16⋅8⋅4⋅26⋅27⋅5⋅7⋅13⋅19⋅37
π72+nS	2⋅27⋅3	2⋅26	43⋅2⋅3	8⋅2⋅9⋅3	4⋅22⋅5	4⋅25	42⋅23⋅3	32⋅4⋅26⋅3⋅25⋅11⋅41

참조

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일반 대수 위상 참조

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역사 논문

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외부 링크

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• Hatcher, Allen, Stable homotopy groups of spheres, retrieved 2007-10-20
• O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1996), A history of Topology, retrieved 2007-11-14 맥튜터 수학사 기록 보관소.
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