구면 외향

"위"에서 본 모린 표면

설명에 따라 구면 이버전 프로세스

종이 구면 외향 및 모린 표면

6각 대칭의 종이 모린 표면(구면 중간)

미분 위상학에서 구면 외향은 3차원 공간에서 구면을 안쪽으로 회전시키는 과정입니다(외향이라는 단어는 "안쪽으로 회전"하는 것을 의미합니다).특이하게도 구체를 자르거나 찢거나 주름을 만들지 않고 (자체 교차로) 이렇게 구체의 안쪽을 부드럽고 연속적으로 회전시킬 수 있습니다.이것은 수학자가 아닌 사람이나 규칙적인 호모토피스를 이해하는 사람에게나 놀랍고, 진실한 역설로 여겨질 수 있다; 그것은 사실이지만 언뜻 보기에는 거짓으로 보이는 것이다.

좀 더 정확히 말하면

\displaystyle f\colon S^{2}에서 \mathbb {R} ^{3}로

표준 매립이다; 그리고 몰입의 규칙적인 호모토피가 있다.

f_{t}\colon S^{2}\to\mathbb {R}^{3}

즉₀₁, = = = = - = = = - = = such.

역사

주름이 없는 구면 외향에 대한 존재 증거는 Stephen Smale(1957)에 의해 처음 만들어졌습니다.이러한 전환의 구체적인 예를 시각화하는 것은 어렵지만, 일부 디지털 애니메이션이 제작되어 어느 정도 쉬워졌습니다.첫 번째 예는 아놀드 S를 포함한 몇몇 수학자들의 노력으로 전시되었다. 샤피로와 시각장애인인 버나드 모린.반면에, 그러한 "회전"이 존재한다는 것을 증명하는 것은 훨씬 더 쉬우며, 그것이 스메일이 한 일이다.

스메일의 대학원 고문인 라울 보트는 스메일에게 결과가 명백히 틀렸다고 말했다.그의 추론은 가우스 지도의 정도는 이러한 "회전"에서 보존되어야 한다는 것이었다. 특히 R에서² S의¹ 회전은 없다는 것이다.그러나 R에 포함된³ f와 -f에 대한 Gauss 맵의 각도는 모두 1이며, 잘못 추측할 수 있는 반대 부호는 없습니다.R에서³ S의 모든² 몰입의 가우스 맵의 정도는 1이므로 장애물이 없다."진본적 역설"이라는 용어는 아마도 이 수준에서 더 적절하게 적용될 것이다: Smale의 작품까지, S의² 외향에 찬성하거나 반대하는 문서화된 시도는 없었고, 이후 노력들은 사후에도 있기 때문에, 구 외향과 관련된 역사적 역설은 전혀 없었고, 단지 그것들에 의해 시각화하는 미묘한 것에 대한 인식만이 있었다.처음으로 그 생각에 직면하게 되었습니다.

자세한 일반화는 h-원칙을 참조하십시오.

증명

스메일의 원래 증거는 간접적이었다: 그는 슈티펠 다양체의 호모토피 그룹과 구의 몰입의 (규칙적인 호모토피) 클래스를 확인했다. $\mathbb {R} ^{3}$ 의 $\mathbb {R} ^{3}$ $(\$ $displaystyle \mathbb {R} ^{3$ })의 $S^{2}$ 몰입에 해당하는 호모토피 그룹은 $\mathbb {R} ^{3}$ 사라지므로 표준 매설기와 내부 매설기는 규칙적인 호모토픽이어야 한다.원칙적으로 증빙을 해제하여 명시적인 규칙적인 호모토피를 생성할 수 있지만, 이는 쉽지 않다.

명시적 예시와 수학적 시각화를 생성하는 방법에는 다음과 같은 여러 가지가 있습니다.

하프웨이 모델: 이것들은 매우 특별한 호모토피로 구성되어 있습니다.이것은 샤피로와 필립스가 보이의 표면을 통해 처음 한 방법이고, 후에 많은 다른 사람들에 의해 개량되었다.원래의 하프웨이 모델 호모토피는 손으로 제작되어 위상적으로 작동했지만 최소는 아니었습니다.넬슨 맥스가 7년에 걸쳐 만든 이 영화는 찰스 푸의 치킨 와이어 모델(이후 버클리 수학부에서 훔친 것)을 바탕으로 한 것으로 당시 컴퓨터 그래픽의 '투어 드 포스'였고, 수년간 컴퓨터 애니메이션의 기준이 되었다.보다 최근적이고 결정적인 그래픽스 개선(1980년대)은 변분법인 미니맥스 에버전(minimax eversions)으로 특별한 호모토피(Willmore 에너지와 관련하여 최단 경로)로 구성되어 있다.차례로, 윌모어 에너지의 행동을 이해하려면 4차 편미분 방정식의 해법을 이해해야 합니다. 그래서 시각적으로 아름답고 환기시키는 이미지는 스메일의 원래 추상적 증거를 넘어 매우 깊은 수학에 대한 믿음을 잃게 합니다.

Thurston의 코러지션을 사용하여 sphere eversion. 비디오 콘텐츠에 대한 설명은 비디오의 Wikimedia Commons 페이지를 참조하십시오.

Thurston의 모순: 이것은 토폴로지적인 방법이고 일반적이다; 그것은 호모토피를 가지고 그것을 교란시켜서 그것이 규칙적인 호모토피가 되도록 한다.이는 실비오 레비, 델레 맥스웰, 타마라 먼즈너의 ^[2]지휘 아래 지오메트리 센터에서 개발된 컴퓨터 그래픽스 애니메이션 Outside In에 설명되어 있습니다.
위의 방법들을 조합하여, 완전한 구면 외향은 최소한의 위상 복잡성을 제공하는 일련의 닫힌 방정식으로 설명할 수 있다.

바리에이션

7차원 유클리드 $\mathbb {R} ^{7}$ $\mathbb {R} ^{7}$ 의 $\mathbb {R} ^{7}$ 6차원 $S^{6}$ $($ $표시$ $스타일$ $S^{6})$ 은 $S^{6}$ $\mathbb {R} ^{7}$ ^{[citation needed]}에버전을 허용한다.0차원 $S^{0}$ $S^{0}$ 0 $(\$ S $^{0})($ 두 개의 $\mathbb {R}$ 점)이 실선 R(\ $displaystyle \mathbb$ ${R$ $})$ 에 $\mathbb {R}$ 있는 경우 및 R $\mathbb {R} ^{3}$ 3(\ $displaystyle$ \ $mathbb {$ R $} ^{$ 3 $\mathbb {R} ^{3}$ }})에 있는 2차원 구면 $S^{n}$ (\ $S^{n}$ S $\$ $displaystyle$ S $\$ displaystyle S^{0} $S^{n}$ ^})의 경우 세 가지 경우만 있다.유클리드 $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ n + $\mathbb {R} ^{n+1}$ (\ $style \mathbb {R}$ ^{ $n+1})$ 에 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 내장되어 있습니다.

eversion 스텝 갤러리

표면도
4배 점의 중간 지점에 대한 규칙 모형 상면도 대각선도 측면도	중도에 폐쇄 상면도 대각선도 측면도	삼중점 사망의 법칙 모형 상면도 대각선도 측면도
중앙 교차로 루프 끝의 규칙 모형 상면도 대각선도 측면도	마지막 단계의 규칙 모형 상면도 대각선도 측면도

나일론 스트링 오픈 모델

하프탑

중간측

트리플 데스 톱

삼사면

교차로 엔드 탑

교차로 끝

「」를 참조해 주세요.

휘트니-그루스타인 정리

참조

^ ^a ^b Bednorz, Adam; Bednorz, Witold (2019). "Analytic sphere eversion using ruled surfaces". Differential Geometry and Its Applications. 64: 59–79. arXiv:1711.10466. doi:10.1016/j.difgeo.2019.02.004. S2CID 119687494.
^ "Outside In: Introduction". The Geometry Center. Retrieved 21 June 2017.

참고 문헌

Iain R. Aitchison (2010) Holiverse: R^3에서 2-구의 전체론적 외향, 프리프린트.arXiv: 1008.0916.
John B. Etnyre (2004) "기하학의 h원리와 유연성" 리뷰, MR1982875 .
Francis, George K. (2007), A topological picturebook, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-34542-0, MR 2265679
조지 K.Francis & Bernard Morin (1980년) "아놀드 샤피로의 구면 변화", 수학 지능기 2(4): 200-3.
Levy, Silvio (1995), "A brief history of sphere eversions", Making waves, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-049-2, MR 1357900
Max, Nelson(1984) "Turning a Sphere Inside Out", https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941
Anthony Phillips(1966년 5월) "표면 뒤집기", Scientific American, 페이지 112–120.
Smale, Stephen (1958), "A classification of immersions of the two-sphere", Transactions of the American Mathematical Society, 90 (2): 281–290, doi:10.2307/1993205, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993205, MR 0104227

외부 링크

구면 이버의 역사
"구체 안쪽으로 회전"
구면 외전을 시각화하는 소프트웨어
수학 시각화: 토폴로지.홀리버스 구면 외향(Povray 애니메이션)
deNeve/Hills sphere eversion: 비디오 및 인터랙티브 모델
희박정리프로버에서 증명을 공식화하는 패트릭 마쏘의 프로젝트
Adam Bednorz와 Witold Bednorz의 구면외향법에 대한 대화형 탐구
Outside In: 미네소타 대학의 지오메트리 센터에서 만든 구면 외향 비디오입니다.

[sev-eq-1] Bednorz, Adam; Bednorz, Witold (2019). "Analytic sphere eversion using ruled surfaces". Differential Geometry and Its Applications. 64: 59–79. arXiv:1711.10466. doi:10.1016/j.difgeo.2019.02.004. S2CID 119687494.

[2] "Outside In: Introduction". The Geometry Center. Retrieved 21 June 2017.

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