채널 표면

수로나 운하 표면은 중심부가 우주 곡선에 놓여 있는 구들의 집단의 외피인 그것의 직접적 외피로서 형성된 표면이다. 생성되는 구의 반지름이 일정하면 운하 표면을 파이프 표면이라고 한다. 간단한 예는 다음과 같다.

• 우측 원형 실린더(파이프 표면, Directrix는 선, 실린더의 축)
• 토러스(파이프 표면, 다이렉트릭스는 원,
• 우측 원형 원뿔(직렬 표면, 다이렉트릭스는 선(축)이며 구가 일정하지 않은 반지름),
• 회전 표면(수평 표면, 다이렉트릭스는 선입니다),

직교 투영법의 경우 등고선 곡선이 원의 외피로 그려질 수 있기 때문에 운하 표면은 기하학적 형상을 묘사하는 데 필수적인 역할을 한다.

• 기술 영역에서 운하 표면을 매끄럽게 혼합하는 데 사용할 수 있다.

암시적 표면의 연필 봉투

암시적 표면의 연필이 주어진 경우

${\displaystyle {}_{}\phi \mathbf{}}$ ${\displaystyle c_{}}$: ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$, c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ c ${\displaystyle \in }$[ c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$] ${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x}}},c)=0,c\in [c_{1},c_{2$

${\displaystyle {neighboring}_{}}$ c {\$displaystyle \Phi _{c}$ 및$$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{}}$ c ${\$ 두 개의 인접 표면이 방정식을 충족하는 곡선에서 교차한다$$.

${\displaystyle \mathrm{f}}$( ${\displaystyle x}$, c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f({\mathbf {x}}},c)=$${\displaystyle 0}$$}$ $및$ f${\displaystyle (x\mathbf{},}$ ${\displaystyle c}$ + ${\displaystyle \mathrm{\Delta c})}$ = 0$${\$displaystyle f({\mathbf {x},c+\Delta$ c$)=0}$.

For the limit ${\displaystyle \Delta c\to 0}$ one gets ${\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\$$델타$ c$}=0}$. 마지막 방정식은 다음과 같은 정의의 이유다.

• Let ${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$ be a 1-parameter pencil of regular implicit ${\displaystyle C^{2}}$ surfaces (${\displaystyle f}$ being at least twice continuously differentiable). 두 방정식에 의해 정의된 표면

  ${\displaystyle f({\mathbf {x}},c=0,\mathbf_{c}({\mathbf {x}},c)=0}$

주어진 표면의 연필의 봉투다.^[1]

운하 표면

)c(u)=(a(u), b(u), c(u))⊤{\displaystyle \Gamma:{\mathbf{)}}={\mathbf{c}}(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top}}정기적으로 공간 곡선과 r을과 C1{\displaystyle C^{1}}-function{\displaystyle r(t)}r(t);0{\displaystyle r>0}과 r˙<>‖ Γ:x자.c˙$‖{\dot}{\dot{r}}<\\dot {\mathbf {c$ 마지막 조건은 곡선의 곡률이 해당 구체의 곡률보다 작다는 것을 의미한다. 구들의 1-모수 연필의 봉투

${\displaystyle f({\mathbf {x} };u:={\big \}{\mathbf {x}-{\mathbf {c}{}{}(u){\big \{}^{2}-r^{2}(u)=0}$

canal {\$displaystyle \Gamma }$의 다이렉트릭스라고 불린다. 반지름이 일정하면 파이프 표면이라고 한다.

운하 표면의 모수적 표현

봉투조건

${\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}$

위의 운하 표면은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$${\displaystyle \}}$의 모든 값에 대한 것이며, 이는 다이렉트릭스의$$ 접선 c ˙ ($u$) ${\dot{\mathbf{c}}}}}$에 직교한다. 그러므로 그 봉투는 원의 집합이다. 이 특성은 운하 표면의 파라메트릭 표현에 대한 핵심이다. 원(에 대한 매개 변수 u{\displaystyle 너})의 중심;r{\displaystyle d:={\frac{r{\dot{r}}}{){\dot{\mathbf{c}}}년}}<>해당 구의 중심에서 r}(위 상태를 보)과 그 반경은 r2− d2{\displaystyle{\sqrt 거리 d:=rr˙ ‖ c˙ ‖<>다.{r^{$2}-d^{2$ 그래서

• ${\displaystyle {\mathbf {x}={\mathbf {x}}(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\ {\dot {\mathbf {c} }}(u)\ ^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\ {\dot {\mathbf {c} }}(u)\ ^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},}$

where the vectors ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$ and the tangent vector ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}/\ {\dot {\mathbf {c} }}\ }$ form an orthonormal basis, is a parametric representation of the canal surface.^[2]

$r{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\dot{r}=0}$의 경우 파이프 표면의 파라메트릭 표현을 얻는다.

• ${\displaystyle {\mathbf {x}={\mathbf {x}}(u,v):={\mathbf {c}{}(u)+r{\big (}{\mathbf {e}}}_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e}{{2}(u)\sin(v){\big )}.}$

예

a) 첫 번째 그림은 다음과 같은 운하 표면을 보여준다.

1. 나선형$({\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle u}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle \sin \mathrm{}}$ ${\displaystyle (\mathrm{u}}$)${\displaystyle }$, 0.${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (\cos(u),\sin(u),$0$.25u), u\in$ [$0,4]$의 다이렉트릭스 및
2. $r{\displaystyle (u}$) ${\displaystyle :=\mathrm{}}$0.${\displaystyle 2}$+ ${\displaystyle 0.}$8 ${\displaystyle u}$/ 2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle r(u):=0.2+0.8u/2\pi$ $\}.$
3. $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$}}: 선택 항목은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\ \cdots \ ,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\ \cdots \ }$.

b) 두 번째 그림의 경우 반지름은 $$하다: r${\displaystyle }$( ${\displaystyle u}$) ${\displaystyle \mathrm{:=\; 0.}}$2 $(\displaystyle r(u):=0.$2$\},$ 즉, 운하 표면은 파이프 표면이다.

c) 3. 그림의 경우, 배관 표면 b)에는 매개변수 $u{\displaystyle \in }$[${\displaystyle 0}$, 7.5 ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle u\in [0,7.5]}$이(가) 있다$.$

d) 4. 그림은 파이프 매듭을 보여준다. 그것의 다이렉트릭스는 토러스 위의 곡선이다.

e) 5. 그림은 듀핀 사이클라이드(캐널 표면)를 보여준다.

참조

• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. p. 219. ISBN 0-8284-1087-9.

외부 링크

• M. Peternell과 H. Pottmann: 운하 표면의 합리적인 매개변수 계산