초점면

3차원 표면의 경우 중심 표면, 중심 표면 또는 환각 표면은 곡률 구들의 중심을 취하여 형성된다. 곡률 구들은 접선 지점에서 주된 곡선들 중 하나의 왕복선인 반경을 가지고 있다. 마찬가지로 곡률 선을 오스카하는 원의 중심에 의해 형성된 표면이다.^[1][2]

주된 곡선은 두 번째 기본 형태의 고유값이기 때문에 각 지점마다 2개가 있으며, 이는 표면으로 향하는 각 정상 방향의 초점 표면의 두 점을 발생시킨다. 탯줄 점으로부터 떨어져서 초점 표면의 이 두 점은 구별된다; 탯줄 점에서는 두 장의 시트가 합쳐진다. 표면이 융기할 때 초점 표면의 가장자리는 돌출부를 가지며, 그러한 가장자리 세 개는 타원형 탯줄을 통과하고, 단 하나의 탯줄은 쌍곡선 탯줄을 통과한다.^[3] 가우스 곡률이 0인 지점에서 초점 표면의 한 장에는 원곡률 0에 해당하는 무한대의 점이 있을 것이다.

$p{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$이(가) 지정된 표면의 점이라면$$ $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$ →${\${n$}단위$ 정규$$ 및 k ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, k${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}: $p$ → ${\$에서 주요 곡선을 그 다음

${\displaystyle {\vec {b}}_{1}({\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{1}}}\quad }$ and ${\displaystyle \quad {\vec {b}}_{2}({\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{2}}}\ }$

초점 표면의 해당 두 지점이다.

특례

1. 구의 초점 표면은 그것의 중심인 단일 점으로 구성된다.
2. 회전 표면의 초점 표면의 한 부분은 회전 축으로 이루어져 있다.
3. 토러스의 초점 표면은 다이렉트릭스 원과 회전 축으로 구성된다.
4. 듀핀 사이클라이드의 초점 표면은 초점 원뿔 한 쌍으로 구성되어 있다.^[4] 듀핀 사이클리드는 초점 표면이 두 곡선으로 변질되는 유일한 표면이다.^[5]
5. 채널 표면의 초점 표면의 한 부분은 그것의 다이렉트로 변질된다.
6. 표면의 초점 표면으로 두 개의 공초점 사각형(예: 타원체 및 한 장의 하이퍼볼로이드)을 고려할 수 있다.^[6]

참고 항목

• 초점(광학)
• 에볼루트

메모들

참조

• Chandru, V.; Dutta, D.; Hoffmann, C.M. (1988), On the Geometry of Dupin Cyclides, Purdue University e-Pubs.