충전 영역 추측

미하일 그로모프의 채우기 영역 추측에 따르면 반구는 지점들 사이에 지름길을 도입하지 않고 주어진 길이의 닫힌 곡선을 채우는 방향성 표면들 중에서 최소 면적을 가지고 있다.

추측의 정의 및 진술

유클리드 공간의 모든 매끄러운 $표면$ M 또는 곡선은 미터법 공간이며, 두 점 $x,$ y $사이$ 의 ( $내부$ ) 거리 $d$ ( $x$ $, y)$ 는_M $M$ 을 따라 x에서 y까지 이어지는 곡선의 길이에 대한 최소값으로 정의된다. 예를 들어, $길이$ 2L의 $C$ 닫힌 $곡선$ C $C$ 에서, 곡선의 각 지점 $x$ 에 대해, $x$ 로부터 거리 $L$ 에서 곡선의 다른 점( $x$ 의 대척점이라고 함)이 있다.

소형 표면 $M$ 은 그 테두리(경계라고도 하며 $\partial M$ 으로 표시됨)가 곡선 $C$ 인 경우 닫힌 곡선 $C$ 를 채운다. 경계 곡선 $C$ 의 어떤 두 $지점$ x $, y$ 에 $대해$ M을 따라 그 $지점들 M$ 사이의 $거리$ d $(x,$ y)가 $경계$ 를_C $따라$ d(x, $y)$ 와 같을 경우 충만 $M$ 은 등축이라고 한다. 즉 곡선을 등축적으로 채우는 것은 지름길을 도입하지 않고 채우는 것이다.

질문:. 등축적으로 경계 곡선을 채우는 표면적이 주어진 길이의 얼마나 작을 수 있는가?

예를 들어, 3차원 유클리드 공간에서 원은

C=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}=1\}

(2인치 길이) 플랫 디스크로 채워짐

D=\{(x,y,0):\ x^{2}+y^{2}}\leq 1\}

직선의 화음이 지름길이기 때문에 등축 채우기가 아니다. 대조적으로, 반구는

H=\{(x,y,z):\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1{\text{ 및 }z\geq 0\}}}

동일한 원 $C$ 의 등축 충전재로, 평판 원반 면적의 두 배가 된다. 여기가 최소 가능 지역인가?

표면은 유연하지만 견고하지 않은 재료로 만들어져서 유클리드 공간에서 이리저리 움직이고 구부릴 수 있는 것으로 상상할 수 있다. 이러한 변환 중 어떤 것도 표면의 면적이나 그 위에 그려진 곡선의 길이를 수정하지 않는다. 이는 문제와 관련된 크기다. 이 표면은 유클리드 우주에서 모두 제거할 수 있어 리만 표면은 길이와 면적을 인코딩하는 리만 미터법으로 추상적으로 매끄러운 표면이다. 역으로, 내시-쿠이퍼 정리에 따르면, 경계를 가진 모든 리만 표면은 리만 미터법으로 지정된 길이와 면적을 보존하는 유클리드 공간에 삽입될 수 있다. 따라서 충전 문제는 유클리드 우주에 어떤 특정한 방법으로 배치되지 않은 리만 표면에 대한 질문으로서 동등하게 언급될 수 있다.

추측(그로모프의 채우기 영역 추측, 1983): 반구는 주어진 길이의 등축 경계 곡선을 채우는 방향의 소형 리만 표면들 중에서 최소 면적을 가진다.^[1]^{: p. 13}

그로모프의 리만디스크 사건 증거

그로모프가 추측을 진술한 바로 그 신문에서 그는 그 사실을 증명했다.

반구는 리만 표면 중에서 주어진 길이의 원을 등축적으로 채우는 가장 작은 면적을 가지고 있고 원반구와 동형이다.^[1]

Proof: Let $M$ be a Riemannian disk that isometrically fills its boundary of length $2L$ . Glue each point $x\in \partial M$ with its antipodal point $-x$ , defined as the unique point of $\partial M$ that is at the maximuma 가능한 거리 $L$ ${\$ $displaystyle$ $l}$ 을(를 $)$ x {\ $displaystyle$ $x$ $}$ 과 $L$ ( $그리고$ 역수). 이러한 방식으로 우리는 실제 투영 평면에 대해 동형이고 sysstole $($ 최단 비계약 곡선 길이)이 L ${\displaysty$ L $L$ 과 $M'$ (그리고 역수 $x$ ly, 만약 $L$ 가 길이 L{\ $displaystyle$ L}의 최단 비계약적 루프를 따라 투영 평면을 절단한다면 $L$ 우리는 등축적으로 $2L$ 의 경계인 2 L[\ $displaystyle 2L}$ 을 채우는 디스크를 얻게 된다. $2L$ $따라서$ 등축 채우기 M $M$ 이 가질 수 있는 $M$ 최소 면적은 리만 프로지 한 면적과 같다.sysstole $L$ {\ $displaystyle L$ }의 ective 평면은 다음을 가질 수 있다 $L$ . 그러나 푸의 수축기 불평등은, 주어진 시스톨의 리만 투영 평면이 둥글다면(즉, 유클리드 영역에서 각각의 점을 정반대로 식별하여 얻음) 최소 면적을 갖는다고 정확히 주장한다. 이 둥근 투영 평면의 면적은 반구 면적과 같다(각각 구면적의 절반을 가지기 때문이다).

푸의 불평등 증명은 차례로 획일화 정리에 의존한다.

핀슬러 측정 기준 채우기

2001년, 세르게이 이바노프는 반구가 원반구에 홈모픽으로 채워진 등축 중에서 가장 작은 면적을 가지고 있다는 것을 증명하는 또 다른 방법을 제시했다.^[2]^[3]^[4] 그의 주장은 획일화 정리를 채택하지 않으며, 대신 원반 위의 두 곡선이 경계와 교차하는 경우 교차해야 한다는 위상학적 사실에 기초한다. 더욱이 이바노프의 증거는 핀슬러 지표가 있는 디스크에 더 일반적으로 적용되는데, 이는 극소수 수준에서 피타고라스 방정식을 만족시킬 필요가 없다는 점에서 리만 지표와는 다르다. 핀슬러 표면의 면적은 다양한 불평등 방식으로 정의될 수 있으며, 여기서 고용된 것은 홈즈--이다.측정기준이 리만니아어일 때 흔히 볼 수 있는 영역과 일치하는 톰슨 지역. 이바노프가 증명한 것은

반구는 홈즈가 최소로 존재한다.주어진 길이의 닫힌 곡선을 등축으로 채우는 핀슬러 디스크 사이의 톰슨 영역.

이바노프의 정리 증명

Let ( $M, F)$ 는 등축적으로 길이 $2L$ 의 경계를 채우는 핀슬러 디스크다. 우리는 $M$ 이 $ℝ$ 에서² 표준 원형 디스크라고 가정할 수 있으며, 핀슬러 $미터법$ F $:$ $TM$ = M× $ℝ 2 \to$ $[0,+\infty]$ 은 매끄럽고 강하게 볼록하다.^[5] 홈즈-충전재의 톰슨 영역은 공식으로 계산할 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {Area} _{\mathrm {HT} }}(M,F)={\frac {1}{\pi }}}\iint _{M}B_{x}^{*} \,\mathrm {d}x}\, {d}x_{1}}}{1}} \,\mathrmat {d}x_{1}.

where for each point $x\in M$ , the set $B_{x}^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ is the dual unit ball of the norm $F_{x}$ (the unit ball of the dual norm $F_{x}^{*}$ ), and ${\displaystyle B$ $_{x}^{*}} }$ 은(는) $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\$ 2}}의 부분 집합으로서 통상적인 영역이다 $|B_{x}^{*}|$ $\mathbb {R} ^{2}$

시계 반대 순서로 나열되어 있는 경계점의 $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ P = $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ ( $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ i ) $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ i < $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ ∂ $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ $P=(p_{i})_{0\leq i<n}\subseteq \partial M$ ${\displaystyle$ P $=(p_{i})_{0\leq$ i $<n}\subseteq \partial M}$ 을 선택하십시오. 각 지점 $p_{i}$ $p_{i}$ ${\$ 에 대해 $p_{i}$ M에서 스칼라 함수 f $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$ ) $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$ = d $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$ $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$ $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$ $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$ $){\displaystyle f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i}x$ }x $)}$ 을 정의한다 $f_{i}(x)=\mathrm {dist} _{F}(p_{i},x)$ 이러한 함수는 다음과 같은 속성을 가진다.

각 함수 $f_{i}:M\to \mathbb {R}$ $f_{i}:M\to \mathbb {R}$ : $f_{i}:M\to \mathbb {R}$ → R ${\$ $M\to \mathb {R} }$ 은(는) M의 Lipschitz on $f_{i}:M\to \mathbb {R}$ M이므로 (Rademacher의 정리에 의해) 거의 모든 $x\in M$ x $x\in M$ M $x\in M$ {\ $displaystyle$ x $\in$ M}에서 차별화된다 $x\in M$
$f_{i}$ $f_{i}$ ${\$ $f_{i}}$ 가 내부 $f_{i}$ $x\in M^{\circ }$ x $x\in M^{\circ }$ $x\in M^{\circ }$ ∘ ${\$ M $^{\circ$ 에서 구별이 가능하다면 $p_{i}$ i ${\$ $p_{i}}$ 에서 x(단위 속도로 파라미터됨)까지의 $p_{i}$ 고유한 최단 곡선이 $v_{i}$ 에 도달한다 $v_{i}$ 차동 $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ x $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ ${\$ 은(는) 표준 $\varphi \in B_{x}^{*}$ 을 가지며 $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ , $\varphi \in B_{x}^{*}$ $\varphi (v_{i})=F_{x}(v_{i})$ ( $\varphi (v_{i})=F_{x}(v_{i})$ i ) $\varphi (v_{i})=F_{x}(v_{i})$ = $\varphi (v_{i})=F_{x}(v_{i})$ ( $v$ $){\displaysty \varphi ({i}){$ i $}^{*}}}}}}}}$ 과 $\varphi \in B_{x}^{*}$ 같은 고유한 코브레이터가 된다. $=F_{x}(v_{i})}$ .
In each point $x\in M^{\circ }$ where all the functions $f_{i}$ are differentiable, the covectors $\mathrm {d} f_{i}$ are distinct and placed in counterclockwise order on the dual unit sphere $\partial B_{x}^{*}$ . In증명은 서로 다른 지오디컬이 $x$ 한 속도로 $x$ x $x$ 에 도착할 수 없으므로 구별되어야 한다. 또 이 세가지 covectors의 친절)f, d)fj, d)fkm그리고 4.9초 만{\displaystyle \mathrm{d}_{)}f_{나는},\mathrm{d}_{)}f_{j},\mathrm{d}_{)}f_{k}}(0명의 ≤을 거야. j<>k<>n{\displaystyle 0\leq i<, j<, k<, n}<)의 역 위해, 두개의 3 짧은 곡선에서 점이다. p나는, p $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ , $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ { $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ M {\ $displaystyle p_{i$ }, $p_{$ j}, $p_{k}\$ in \ $partial$ M}에서x {\ $displaystyle$ x}까지 $p_{i},p_{j},p_{k}\in \partial M$ 교차하는 $x$ 것은 가능하지 않지만,

In summary, for almost every interior point $x\in M^{\circ }$ , the covectors $\mathrm {d} _{x}f_{i}$ are vertices, listed in counterclockwise order, of a convex polygon inscribed in the dual unit ball $B_{x}^{*}$ . The area of this polygon is $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ i + $\sum _{i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} _{x}f_{i}\wedge \mathrm {d} _{x}f_{i+1}$ {\ $displaystyle \sum _{i}{\frac$ { $1}{1$ }:{2 $}}:\mathrm {d} _{x}f_{i}\mathrm {d} _{x}f_{i+1}($ 여기서 인덱스 i + 1은 modulo n으로 계산됨). 그러므로 우리는 하한선을 가지고 있다.

c_{P}=\int _{M}\sum _{i}{{1}{{1}:{d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{i+1}\leq \pi,\operatorname {Area}{\mathrmet}HT} }(M,F),

충전 면적을 위해 1-폼 $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ P $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ = $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ i $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ + $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$ ${\$ }{1 $}{$ 2}} $f_{i}\,\mathrm {d}f_{i+1$ }를 정의하면 이 하한을 Stokes 공식을 사용하여 다시 작성할 수 있다 $\theta _{P}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}f_{i}\,\mathrm {d} f_{i+1}$

c_{P}=\int _{M}\mathrm {d} \theta _{P}=\int _{\partial M}\theta _{P}=\dots =2L^{2}-\sum _{i}\delta _{i}^{2}\ {\xrightarrow {P\ {\text{dense}}}}\ 2L^{2}

.

여기에 나타나는 경계 적분은 등축 채우기에 의존하지 않는 경계로 제한되는 $f_{i}$ 거리 $f_{i}$ f ${\$ 의 관점에서 정의된다. 따라서 적분체의 결과는 $p_{i}$ 2L의 원에 $p_{i}$ ${\$ 포인트의 위치에만 의존한다. 연산을 생략하고, p $p_{i}$ {\ $displaystyle p_{i}$ 지점에서 다음 p $p_{i+1}$ + $p_{i+1}$ ${\$ 까지의 $p_{i}$ 각 반시계방향 경계 원호의 길이 $\delta _{i}$ $\delta _{i}$ i ${\$ 에 대한 결과를 표현했다 $p_{i+1}$ $\delta _{i}<{\frac {L}{2}}$ 은 $\delta _{i}<{\frac {L}{2}}$ i < $\delta _{i}<{\frac {L}{2}}$ 2 {\ $displaystyle \delta_{$ i}<{\ $frac$ {L $}{2$ 인 경우에만 유효하다.

요약하면, $P\subseteq \partial M$ is ometric $P\subseteq \partial M$ ∂ ∂ ∂ M {\ $displaystyle$ {1}{\ $pi }2$ }} $L^{2}}:$ P \ \ M {\ $displaystyle P\subseteq \partial M}$ 의 밀도가 높아짐에 $P\subseteq \partial M$ 따라 ${\frac {1}{\pi }}2L^{2}$ 핀슬러 등축 영역의 하한이 1 ${\frac {1}{\pi }}2L^{2}$ 2 ${\frac {1}{\pi }}2L^{2}$ ${\frac {1}{\pi }}2L^{2}$ ${\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}$ 로 수렴된다. 라는 뜻을 내포하고 있다.

\operatorname {Area} _{\mathrm {

HT} }}(M,F)\geq

{1

}{\pi }\,2L^{2}=\Operatorname {Area}({\text{hemisphere

우리가 증명해야 했던 것처럼

리만니아 사례와 달리 등축 곡선을 채우고 홈즈가 같은 핀슬러 디스크가 매우 다양하다.반구로서의 톰슨 지역. 대신 하우스도르프 지역을 사용한다면, 반구의 최소성은 여전히 유지되지만, 반구는 독특한 최소화가 된다. 이는 핀슬러 다지관의 하우스도르프 지역이 홈즈보다 결코 작지 않기 때문에 이바노프의 정리에서 따온 것이다.톰슨 지역, 그리고 그 두 지역은 측정기준이 리만인 경우에만 동일하다.

핀슬러 지표를 사용한 합리적인 채우기 중 반구의 비소형성

원을 채우는 유클리드 원반은 경계점 사이의 거리를 줄이지 않고 동일한 원 $N$ =10회(경계가 원 $N회$ 를 감싸고 있다는 의미에서)를 채우는 핀슬러 원반으로 대체할 수 있다.톰슨 면적이 디스크 면적의 $N배$ 보다 적다.^[6] 반구의 경우 비슷한 대체물을 찾을 수 있다. 즉, 방향성 표면(정수 계수가 있는 2-체인으로 간주할 수 있음)이 아닌 합리적인 계수를 가진 핀슬러 2-체인을 채움으로 허용한다면 충만 면적 추측은 거짓이다.

1과 과급성의 리만족 충만

등축적으로 원을 채우는 속 속의 오리엔테이블 리만니아 표면은 반구보다 적은 면적을 가질 수 없다.^[7] 이 경우의 증거는 다시 경계의 반향점들을 붙이는 것으로 시작한다. 이렇게 해서 얻은 비방향성 폐쇄 표면은 2속(속)의 방향성이 있는 이중 표지를 가지며, 따라서 과대망상적이다. 그리고 나서 그 증거는 J에 의한 공식을 이용한다. 일체형 기하학의 허쉬. 즉, 적도에 자기 절개점을 두고 축구에서 그림-8 루프 패밀리를 고려한다. 허쉬의 공식은 축구의 정합계급에서 미터법 영역을 가족으로부터 그림 8 루프의 에너지의 평균으로 표현한다. 허쉬의 공식을 리만 표면의 초고속 지수에 적용한 것은 이 경우에 충만 면적 추정을 증명한다.

거의 평평한 다지관은 경계 거리의 최소 충진이다.

If a Riemannian manifold $M$ (of any dimension) is almost flat (more precisely, $M$ is a region of $\mathbb {R} ^{n}$ with a Riemannian metric that is $C^{2}$ -near the standard Euclidean metric), then $M$ is a volume minimizer: it cannot be replaced by an orientable Riemannian manifold that fi같은 경계선을 사용하며 일부 경계점 사이의 거리를 줄이지 않고 부피가 작다.^[8] 이것은 하나의 구체가 충분히 작으면(따라서 거의 평평하면), 볼륨 최소화제라는 것을 의미한다. 만약 이 정리가 넓은 지역(명칭, 반구 전체)까지 확장될 수 있다면 충만 영역 추측이 참이다. 모든 단순한 리만 다양체(그 경계에서 볼록한 볼록한 것, 그리고 두 지점마다 독특한 지오데틱이 결합되는 것)가 부피 최소화제라는 추측이 나왔다.^[8]

The proof that each almost flat manifold $M$ is a volume minimizer involves embedding $M$ in $L^{\infty }(\partial M)$ , and then showing that any isometric replacement of $M$ can also be mapped into the same space $L^{\infty }(\partial M)$ , and projected onto $M$ , without increasing 그 부피 이는 교체가 원래 매니폴드 $M$ 보다 부피가 작다는 것을 의미한다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b Gromov, Mikhail (1983). "Filling Riemannian Manifolds". J. Diff. Geom. 18 (1): 1–147. doi:10.4310/jdg/1214509283. MR 0697984.
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^ Ivanov, Sergei V. (2002). "On two-dimensional minimal fillings". St. Petersburg Math. J. 13 (1): 17–25. MR 1819361.
^ Ivanov, Sergei V. (2011). "Filling minimality of Finslerian 2-discs". Proc. Steklov Inst. Math. 273 (1): 176–190. arXiv:0910.2257. doi:10.1134/S0081543811040079.
^ 만약 원래의 측정지표가 매끄럽고 강하게 볼록하지 않다면, 우리는 이러한 특성을 즐기는 측정지표를 대략 추정한다.
^ Burago, Dmitri; Ivanov, Sergei V. (2002). "On Asymptotic Volume of Finsler Tori, Minimal Surfaces in Normed Spaces, and Symplectic Filling Volume". Ann. of Math. 2. 156 (3): 891–914. CiteSeerX 10.1.1.625.3347. doi:10.2307/3597285. JSTOR 3597285. MR 1954238.
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Katz, Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology, Mathematical Surveys and Monographs, 137, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4177-8

[gromov1983filling-1] Gromov, Mikhail (1983). "Filling Riemannian Manifolds". J. Diff. Geom. 18 (1): 1–147. doi:10.4310/jdg/1214509283. MR 0697984.

[2] Ivanov, Sergei V. (2001). "On two-dimensional minimal fillings". Algebra i Analiz (in Russian). 13 (1): 26–38.

[3] Ivanov, Sergei V. (2002). "On two-dimensional minimal fillings". St. Petersburg Math. J. 13 (1): 17–25. MR 1819361.

[4] Ivanov, Sergei V. (2011). "Filling minimality of Finslerian 2-discs". Proc. Steklov Inst. Math. 273 (1): 176–190. arXiv:0910.2257. doi:10.1134/S0081543811040079.

[5] 만약 원래의 측정지표가 매끄럽고 강하게 볼록하지 않다면, 우리는 이러한 특성을 즐기는 측정지표를 대략 추정한다.

[6] Burago, Dmitri; Ivanov, Sergei V. (2002). "On Asymptotic Volume of Finsler Tori, Minimal Surfaces in Normed Spaces, and Symplectic Filling Volume". Ann. of Math. 2. 156 (3): 891–914. CiteSeerX 10.1.1.625.3347. doi:10.2307/3597285. JSTOR 3597285. MR 1954238.

[7] Bangert, Victor; Croke, Christopher B.; Ivanov, Sergei; Katz, Mikhail G. (2005). "Filling area conjecture and ovalless real hyperelliptic surfaces". Geom. Funct. Anal. 15 (3): 577–597. arXiv:math/0405583. doi:10.1007/S00039-005-0517-8. MR 2221144.

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[8]

v t 수축기하학
표면의 1-성형	루우너의 토러스 부등식 푸의 부등식 충전 영역 추측 볼자 표면 표면의 점 아이젠슈타인 정수
다지관의 1-성	필수 다지관에 대한 그로모프의 수축기 불평등 필수다지관 충전 반지름 헤르미트 상수
윗몸통	그로모프의 복잡한 투영공간에 대한 불평등 수축기 자유 수축기 범주

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