밀도순서

수학에서 집합 X{X\displaystyle}의 부분적 주문이나 주문 총액<>X{X\displaystyle}모든,){\displaystyle)}및 y{이\displaystyle}에)<> 둔해, 베{\displaystyle x<, y}, X에서 a가 z{z\displaystyle}은 다음과 같이 x&{X\displaystyle}다고 한다.그것은, z<>y$즉$, 어떤 두 가지 원소에 대해서도, 다른 원소에 비해 한 가지 적은 원소는 그 사이에 또 다른 원소가 있다는 것이다총 주문의 경우, 전체 주문의 모든 요소가 유사하기 때문에, 이것은 "두 개의 구별되는 요소에 대해, 그들 사이에 또 다른 요소가 있다"로 단순화할 수 있다.

예

선형적으로 정렬된 집합으로서의 합리적 숫자는 대수적 수, 실수, 이차적 합리성 및 소수 분율과 마찬가지로 이 의미에서의 밀도 높은 순서 집합이다.실제로 정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[x]}$의 모든 아르키메데스 주문 링 확장은 촘촘히 정렬된 집합이다$$.

반면에 정수의 선형 순서는 밀도가 높지 않다.

엔드포인트가 없는 총 밀도 주문에 대한 고유성

게오르크 칸토어는 하한이나 상한이 없는 완전하게 정렬된 두 개의 비빈 밀도가 모두 순서가 이질형이라는 것을 증명했다.^[1]이것은 Ω이 가장 작은 한계 서수인 Ω-범주 이론의 예로서 경계 없는 밀도 선형 순서의 이론을 만든다.예를 들어, 이성적인 숫자와 이차적 합리성과 대수적 숫자를 포함하여 밀도 있게 정렬된 다른 계산 가능한 집합 사이에 순서 이형성이 존재한다.이러한 결과의 증거는 앞뒤로 하는 방법을 사용한다.^[2]

민코프스키의 물음표 함수는 2차 대수적 숫자와 이성적 숫자 사이의 순서 이형성, 이성적 이성들과 이형성 사이의 순서를 결정하는 데 사용할 수 있다.

일반화

모든 R 관련 x와 y에 대해, x와 z와 y와 같은 z가 있고, 또한 z와 y가 R 관련인 경우, 모든 이항 관계 R은 밀도가 높다고 한다.공식:

${\displaystyle \forall x\ xRy\Rightarrow (\exists$$}$ 대안으로$$, 그 자체로 R의 구성 측면에서, 밀도 조건은 R ⊆ R°R로 표현될 수 있다.^[3]

집합 X의 이항 관계 R이 밀도를 갖기에 충분한 조건은 다음과 같다.

• R은 반사적이다.
• R은 코어 플렉시블이다.
• R은 Quasireflex;
• R은 왼쪽 또는 오른쪽 유클리드 또는
• R은 대칭이며 반연결형이며 X는 최소 3개의 원소를 가지고 있다.

그것들 중 어느 것도 필요 없다.예를 들어, 반사적이지 않고 밀도 높은 관계 R이 있다.비어 있지 않고 밀도 높은 관계는 반대일 수 없다.

엄격한 부분 순서 <는 <가 밀도 관계인 경우만>이 밀도 있는 순서다.또한 전이적인 밀도 있는 관계는 공증이라고 한다.

참고 항목

• 밀도 집합 - 닫힘이 전체 공간인 위상학적 공간의 하위 집합
• 자체 밀도 - 위상 공간의 부분$$ $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}($$예{\displaystyle }$: ${\displaystyle A})$에 분리된 점이 포함되지 않음$$
• Kripke 의미론 $—{\displaystyle }$ 밀도 높은 접근성 관계는 공리 ${\displaystyle \mathrm{axi}◻}$ A →$display$ A {\$\Box A\$오른쪽 $화살표 \$Box A}에 해당한다.

참조

추가 읽기

• 데이비드 해럴, 덱스터 코젠, 저지 티우린, 동적 논리, MIT 프레스, 2000, ISBN 0-262-08289-6, 페이지 6ff