조각상 선형 다지관
Piecewise linear manifold수학에서 조각 선형(PL) 다지관은 조각으로 된 선형 구조와 함께 위상학적 다지관이다.그러한 구조는 도표를 통해 정의될 수 있으며, 이는 부분적인 선형 함수에 의해 도표에서 도표로 전달될 수 있다.이것은 삼각측량이라는 위상학적 개념보다 약간 강하다.[a]
PL 다지관의 이형성을 PL 동형성이라고 한다.
다지관의 다른 범주와의 관계
PL 또는 보다 정확히 말하면 PDIFF는 DIF(매끄러운 다지관의 범주)와 TOP(위상학적 다지관의 범주) 사이에 위치한다. 예를 들어 일반화 푸앵카레 추측이 PL에서는 사실이지만 DIF에서는 일반적으로 거짓이다.F — 그러나 수술 이론에서 상세히 기술된 것처럼 TOP보다 "더 나쁜 행동"이다.
매끄러운 다지관
매끄러운 다지관에는 표준적인 PL 구조가 있는데, 이는 화이트헤드의 삼각 측정에 대한 정리(Whitehead 1940)[1][2]에 의해 독특하게 삼각측정이 가능하다. 그러나 PL 다지관은 항상 매끄러운 구조를 가지지는 않는다. 항상 매끄러운 것은 아니다.DIFF와 PL을 모두 포함하고 있으며 PL에 해당하는 범주를 소개함으로써 이러한 관계를 상세히 설명할 수 있다.
PL이 DIF보다 더 잘 행동하는 한 가지 방법은 PL에서는 원뿔을 취할 수 있지만 DIF에서는 그렇지 않다는 것이다. 즉, 원뿔 점은 PL에서는 허용된다.그 결과 일반화된 푸앵카레 추측이 4개 이상의 치수에 대해 PL에서 사실인 것이다. 그 증거는 호모토피 구를 취하고, 두 개의 공을 제거하고, h-코보르디즘의 정리를 적용하여 이것이 원통이라고 결론을 내린 다음, 구를 회복하기 위해 원뿔을 부착하는 것이다.이 마지막 단계는 PL에서는 작동하지만 DIFF에서는 작동하지 않아 이국적인 구를 만들어낸다.
위상 다지관
모든 위상학적 다지관이 PL 구조를 인정하는 것은 아니며, PL 구조가 고유할 필요는 없다. PL 구조는 무한히 많을 수 있다.이것은 Hauptvermutung에서 자세히 설명되어 있다.
위상학적 다지관에 PL 구조를 배치하는 데 방해가 되는 것은 Kirby-Siebenmann 등급이다.정확히 말하면, Kirby-Siebenmann 등급은 PL 구조를 M x R에 배치하는 것을 방해하는 것이며, 치수 n > 4에서 KS 등급은 M이 최소한 하나의 PL 구조를 가지고 있는 경우에만 소멸된다.
실제 대수 집합
PL 매니폴드의 A 구조는 PL 매니폴드를 부드러운 매니폴드로 분해하는 유도 방식을 제공하는 구조물이다.소형 PL 다지관은 A-구조물을 수용한다.[3][4]컴팩트 PL 다지관은 동형체에서 실제 골격체까지 있다.[5][6]다른 방법으로, A 범주는 리프팅 방해 없이 보다 풍부한 범주로 PL 범주 위에 위치한다. 즉, BA → BPL은 BA = BPL × PL/A로 제품 교정을 하는 것이고, PL 다지관은 실제 대수 집합이기 때문에 PL 다지관은 실제 대수 집합이다.
결합 다지관 및 디지털 다지관
- 결합 다지관은 다지관의 한 종류로 다지관의 탈색이다.그것은 보통 단순한 콤플렉스에 의해 만들어진 조각처럼 생긴 선형 다지관을 의미한다.
- 디지털 다지관은 디지털 공간에서 정의되는 특별한 종류의 결합 다지관이다.디지털 토폴로지를 참조하십시오.
참고 항목
메모들
참조
- ^ Lurie, Jacob (February 13, 2009), Whitehead Triangulations (Lecture 3) (PDF)
- ^ M.A. Shtan'ko (2001) [1994], "Topology of manifolds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- ^ Akbulut, S.; Taylor, L. (1980). "A topological resolution theorem". Bulletin of the American Mathematical Society. (N.S.). 2 (1): 174–176. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14709-6.
- ^ Akbulut, S.; Taylor, L. (1981). "A topological resolution theorem". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 53 (1): 163–196. doi:10.1007/BF02698689. S2CID 121566364.
- ^ Akbulut, S.; King, H. C. (1980). "A topological characterization of real algebraic varieties". Bulletin of the American Mathematical Society. (N.S.). 2 (1): 171–173. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14708-4.
- ^ Akbulut, S.; King, H. C. (1981). "Real algebraic structures on topological spaces". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 53 (1): 79–162. doi:10.1007/BF02698688. S2CID 13323578.
- Whitehead, J. H. C. (October 1940). "On C1-Complexes". The Annals of Mathematics. Second Series. 41 (4): 809–824. doi:10.2307/1968861. JSTOR 1968861.
- Rudyak, Yuli B. (2001). "Piecewise linear structures on topological manifolds". arXiv:math.AT/0105047.
