제로 형태론

Zero morphism

수학의 한 분야인 카테고리 이론에서 제로 형태론은 형태론과 같은 특성을 제로 개체와 주고 받는 특별한 종류의 형태론이다.

정의들

C가 범주이고, f : X → Y가 C의 형태론이라고 가정하자. 형태론 f는 C에서 어떤 물체 W와 g에서 어떤 물체, h : W → X, fg = fh에 대해서라면 일정한 형태론(또는 때로는 좌측 제로 형태론)이라고 부른다. C에 있는 어떤 물체 Z와 g, h : Y → Z, gf = hf의 어떤 물체 Z에 대해 f를 cocalstant morphism(또는 때로는 우측 제로 형태주의)이라고 부른다. 제로 형태주의는 일정한 형태주의와 코코넛적인 형태론 둘 다이다.

0 형태론이 있는 범주는 C의 두 물체 A와 B에 대해 고정된 형태론AB 0 : A → B가 있는 범주로, 이 형태론의 집합은 C의 모든 물체 X, Y, Z, G : X → Y, Y, Y, 모든 형태론의 경우 다음과 같은 도표가 통용된다.

ZeroMorphism.png

형태론 0은XY 반드시 영 형태론이며 영 형태론의 양립가능한 체계를 형성한다.

만약 C가 0의 형태론을 가진 범주라면XY, 0의 집합은 독특하다.[1]

이러한 '제로 형태론'과 '제로 형태론을 가진 범주'를 별도로 정의하는 방식은 불행한 일이지만, 각 홈 세트가 has제로 형태론을 갖는다면, 그 범주는 '제로 형태론'을 갖는다.

예

  • 그룹(또는 모듈)의 범주에서 제로 형태론은 모든 G를 H의 정체성 요소에 매핑하는 동형상 f : G → H이다. 그룹의 범주에 있는 0개체는 사소한 그룹 1 = {1}이며, 이는 이형성에 따라 고유하다. 모든 제로 형태론은 1을 통해 인수될 수 있다. 즉, f : G → 1 → H.
  • 보다 일반적으로 C가 0개의 객체를 가진 모든 범주라고 가정한다. 그리고 모든 물체 X와 Y에 대해 독특한 형태변수의 순서가 있다.
    0XY : X → 0 → Y
    모든 형태론의 집단은 형태론이 0인 범주의 구조와 함께 C를 내포한다.
  • 만약 C가 사전 가산 범주라면, 모든 형태론 집합 Mor(X,Y)는 아벨 그룹이기 때문에 0원소를 가진다. 이 제로 원소들은 C가 0 형태론을 가진 범주로 만들기 위해 0 형태론의 호환 가능한 패밀리를 형성한다.
  • 세트 카테고리는 0개 객체가 없지만 초기 객체인 빈 세트 ∅이 있다. Set에서 유일하게 우측 영점 형태는 Set X에 대한 함수 ∅ → X이다.

관련개념

만약 C가 0의 물체 0을 가지고 있다면, 두 개의 물체 X와 Y가 C에 주어진다면, 표준 형태론 f : X → 0, g : 0 → Y가 있다. 그렇다면, gf는 MorC(X, Y)에서 제로 형태론이다. 따라서 0개 객체가 있는 모든 범주는 0XY : X → 0 → Y의 구성으로 주어지는 0의 형태론을 가진 범주가 된다.

만약 범주가 0 형태론을 가지고 있다면, 그 범주의 어떤 형태론에 대한 커널과 코커넬의 개념을 정의할 수 있다.

참조

  • 제1.7절 Pareigis, Bodo (1970), Categories and functors, Pure and applied mathematics, vol. 39, Academic Press, ISBN 978-0-12-545150-5
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Category Theory, Heldermann Verlag.

메모들

  1. ^ "Category with zero morphisms - Mathematics Stack Exchange". Math.stackexchange.com. 2015-01-17. Retrieved 2016-03-30.