흡수원소
Absorbing element수학에서 흡수원소(또는 전멸원소)는 그 집합의 이진 연산에 관한 집합의 특별한 유형이다. 흡수 원소와 집합의 어떤 원소를 결합한 결과는 흡수 원소 그 자체다. 세미그룹 이론에서 흡수 요소는 0의 다른 개념과 혼동할 위험이 없기 때문에 0 원소라고[1][2] 불리는데, 주목할 만한 예외는, 적층 표기법 0에 의거하면 아주 자연스럽게 단조 원소의 중성 원소를 나타낼 수 있다는 것이다. 이 글에서 "영원소"와 "흡수요소"는 동의어다.
정의
형식적으로 (S, •) 닫힌 이항 연산 • 그 위에 (마그마라고 한다)가 설정된 S가 되도록 한다. 0 원소는 모든 s에 대해 S, z • s = s • z = z의 원소 z이다. 정교함은[2] z • s = z, 그리고 오른쪽 0, 여기서 s • z = z만 필요로 하는 왼쪽 0의 개념이다.
흡수 요소는 특히 세미그룹, 특히 세미링의 승법적인 세미그룹에 흥미롭다. 0과 같은 의미인 경우, 0을 흡수할 필요가 없도록 흡수 원소의 정의가 완화되는 경우가 있다. 그렇지 않으면 0이 유일한 흡수 원소가 될 것이다.[3]
특성.
- 마그마가 왼쪽 0 z와 오른쪽 0 z′을 모두 가진 경우, z = z • z′ = z′이기 때문에 0을 가진다.
- 마그마는 기껏해야 하나의 0 원소를 가질 수 있다.
예
- 흡수 원소의 가장 잘 알려진 예는 어떤 숫자에 0을 곱하면 0이 되는 초등 대수에서 온다. 따라서 0은 흡수원소다.
- 어떤 고리의 0도 흡수원소다. 링 R의 요소 r의 경우, r0=r(0+0)=r0+r0의 경우, 0=r0은 링 R의 어떤 r에 대해서도 r-r=a가 되는 고유한 요소다. 이 특성은 승법정신이 필요하지 않기 때문에 rng에서도 유효하다.
- IEEE-754 표준에 정의된 부동소수 산술에는 Not-a-Number("NaN")라는 특수 값이 포함되어 있다. 모든 작업에 대한 흡수 요소, 즉 x + NaN = NaN + x = NaN, x - NaN = NaN - x = NaN 등이다.
- 집합 X에 대한 이항 관계 집합과 관계 구성과 함께 0을 가진 단노이드(monoid)를 형성하며, 여기서 0 요소는 빈 관계(빈 집합)이다.
- 닫힌 간격 H = [0, 1] x • y = min(x, y)도 0을 가진 모노이드로, 0 원소는 0이다.
- 자세한 예:
| 도메인 | 작전 | 흡수기 | ||
|---|---|---|---|---|
| 실수 | ⋅ | 곱하기 | 0 | |
| 정수 | 최대공통점 | 1 | ||
| n-by-n 제곱 행렬 | 행렬 곱하기 | 0의 행렬 | ||
| 연장실수 | 최소/최소 | −∞ | ||
| 최대/최대 | +∞ | |||
| 놓다 | ∩ | 교차로 | ∅ | 빈 세트 |
| 집합 M의 하위 집합 | ∪ | 유니온 | M | |
| 부울 논리학 | ∧ | 논리적 및 | ⊥ | 가성 |
| ∨ | 논리 또는 | ⊤ | 진실 | |
참고 항목
- IDempotent(링 이론) – x2 = x와 같은 링의 요소 x
- 아이덴티티 요소
- Null sem그룹
메모들
참조
- Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories, De Gruyter Exposions in Mathical vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
- Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.
외부 링크
- PlanetMath에서 흡수 요소
