모누스

수학에서, 모누스는 그룹이 아닌 특정한 상호 작용 모노이드에 대한 연산자다.모누스 연산자가 정의되는 정류 단면체를 모누스 또는 CMM으로 하는 정류 단면체라고 한다.모누스 연산자는 자연수가 감산 중인 CMM이기 때문에 - 기호로 나타낼 수 있으며, 표준 감산 연산자와 구별하기 위해 -$˙$ {\$displaystyle \mathop{\dot{-}}$기호로$$ 표시되기도 한다.

표기법

글리프	유니코드명	유니코드 코드 포인트[1]	HTML 문자 도면요소 참조	HTML/XML 숫자 문자 참조	TEX
∸	도트 빼기	U+2238		∸	\dot -
−	마이너스 부호	U+2212	−	−	-

정의

$({\displaystyle M}$,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (M,+,0)}$을(를) 쉼표 단면체로 한다$$.${\displaystyle 이}$ 모노이드에서 이진$$ 관계${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle \leq }$을$($를) 다음과 같이 정의하십시오. ${\displaystyle a}$ 및 $b$ ${\displaystyle$ $b$$}$에${\displaystyle }$+$$c = b = ${\displaystyle a+c=b$과 같은 $요소$가 있는 경우$$ ${\displaystyle \le }$ b ${\$$displaystyleq$ b$}$를 $정의$하십시오.$≤{\displaystyle \leq }$이(^[3]가) 반사적이고^[2] 전이적인지 쉽게 확인할 수 있다.${\displaystyle }$$\{{\displaystyle }${\$displaystyle \leq }$ 관계가$$ 추가적으로 대칭적이지 않고 따라서 부분 순서인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ M {\displaystyle $M}$은 자연 순서라고 불린다$$.를 ≤ b+c{\displaystyle a\leq b+c}, 그때 Mmonus[4]로 가환 monoid라고 불린다:129와 monus− ˙ ⁡ b{\displaystyle a\mathop{\dot{-}}b}o. 또한, 요소가{\displaystyle}과 b{\displaystyle b}의 각 쌍에 대해, 독특한 smallest 요소 c{\displaystyle c}존재하f어떤 two $요소{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$ $및$ b ${\displaystyle b}$은(는) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a\leq b+c}$과(는) 같은 고유한 최소 요소 $c{\displaystyle }$ {\$displaystystyle c}$로 정의할 수 있다$$$.$

An example of a commutative monoid that is not naturally ordered is ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0)}$, the commutative monoid of the integers with usual addition, as for any ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ there exists ${\displaystyle c}$ such that ${\displaystyle a+c=b}$, so${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$은(는) $임의$의${\displaystyle }$a , ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}${\$displaystyle a,b\$in \$mathb$ {$Z}$에 대해 고정되므로$$so${\displaystyle \leq }$은(는) 부분적인 순서가 아니다$$.모노이드의 경우 자연적으로 순서가 정해지지만 모노이드와 반감되지 않는 사례도 있다.^[5]

기타 구조물

모노이드 외에도 모노이드의 개념은 다른 구조물에 적용될 수 있다.예를 들어 자연적으로 순서가 정해진 의미(dioid라고도^[6] 함)는 추가 연산자에 의해 유도된 정류 단모형이 자연적으로 순서가 정해진 의미인 것이다.이 모노이드(monoid)가 모노이드(monus)와 교합된 모노이드(monus)인 경우, 그 의미(semining)는 모노스를 가진 모노이드(m-symming)라고 한다.

예

부울대수에서 M이 이상이라면, M은 + b = a${\displaystyle a}$ b${\displaystyle }$= a$+b=a\vee$ b$},$${\displaystyle \stackrel{}{}}a$ - ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\displaystyle b}$ = a ∧ b {\$displaystyle$a+b=a\$ve$ b${\displaystyle \},}$ a - ${\displaystyle \dot{}}$ b = ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\dot {-}b=a\wedge\ng} 아래$의 모노이드로 된 정류형이다$.$^{[4]: 129}

자연수

0을 포함한 자연수는 모누스와 교합하는 모노이드를 형성하며, 그 순서는 일반적인 자연수의 순서가 되고 모누스 연산자는 표준 뺄셈의 포화 변종이며, 다양한 명칭은 잘린 뺄셈,^[7] 제한된 뺄셈, 적절한 뺄셈, 도스(차이나 0), 모누스(^[8]monus)이다.^[9]잘린 감산은 일반적으로^[7] 다음과 같이 정의된다.

${\\style a\mathop {-}b={\dot}b={\\case}0&{\mbox{{}a<b\a-b&{\mbox{{}}}}{a\geq b,\end{case}}}}}}$

여기서 - 표준 감산을 나타낸다.예를 들어, 5 - 3 = 2 및 3 - 5 = -2를 정규 뺄셈에서, 반면에 잘린 뺄셈에서 3 ∸ 5 = 0. 잘린 뺄셈은 다음과^[9] 같이 정의될 수 있다.

${\style a\mathop {\dot {-}b=\max(a-b,0) 표시}$

페아노 산술에서 잘린 뺄셈은 전임 함수 P(후계함수의 역수)의 관점에서 정의된다.^[7]

${\displaystyle{\begin}P(0)&=0\\P(a)&\a\a\a\mathop {-}0&=a\a\mathop {\}S(b)&=P(a\mathop {\dot {-}b).\end{정렬}}}$

잘린 뺄셈은 음수에 대해 정의되지 않은 원시 재귀 함수와 같은 맥락에서 유용하다.^[7]잘린 뺄셈은 멀티셋 차이 연산자의 정의에도 사용된다.

특성.

모뉴스를 가진 모든 유사 모노이드의 등급은 다양하다.^{[4]: 129} 모든 CMM의 다양성에 대한 등가기준은 다음과 같은 공리와 함께 정류 모노이드에 대한 공리로 구성된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a+(b\mathop {\dot {-}} a)&=b+(a\mathop {\dot {-}} b),\\(a\mathop {\dot {-}} b)\mathop {\dot {-}} c&=a\mathop {\dot {-}} (b+c),\\(a\mathop {\dot {-}} a)&=0,\\(0\mathop {\dot {-}} a)&=0.\\end{aigned}}$

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