분배 범주

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수학에서 범주는 표준 지도인 물체 $,$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}${\디스플레이 스타일 A,B,$C}$의 모든 선택 항목에 대해 유한 제품과 유한 결합물을 갖는 경우 분배적이다$.$

${\displaystyle [{\mathit{id}}_{A}\time \iota _{1},{\mathit {id}_{}}A}\time \iota _{2}]:A\time B+A\time C\to A\time (B+C)}$

이형성(Isomorphism)이며$,$ 모든 물체 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$에 대해 표준 $지도{\displaystyle \mathrm{}}$ 0${\displaystyle }$→ A ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ 0$\to A\time$ 0$}$은 이형성(여기서 0은 초기 물체를 나타낸다)이다$$. 모든 A{A\displaystyle}Equivalently, endofunctor×−{\displaystyle A\times-}B로 인해 A×B↦ 정의된{B\mapsto A\times B\displaystyle}그 f{\displaystyle f}고 앞에서 언급한 정준 지도 각에 대한 동등한 명령{\displaystyle f}.[1]f isomorphisms까지 coproducts을 보존한다.c물체의 높이

특히 functor $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$- ${\displaystyle A\times -}$이(가) 오른쪽 부선(즉, 범주가 카르테시안 폐쇄인 경우)을 갖는$$ 경우 모든 콜리미트를 보존해야 하며, 따라서 유한한 콤프로덕트(즉, 모든 바이카르트 폐쇄 범주)를 갖는 데카르트 폐쇄 범주는 분배적이다.

예

세트의 범주는 분배적이다. 내버려두다 A, B그리고 C 정해지다 그러면

${\displaystyle {\reasoned}A\times (B\amalg C)&=\{(a,d) a\in A{\text{ and }}d\in B\amalg C\}\\&\cong \{(a,d) a\in A{\text{ and }}d\in B\}\amalg \{(a,d) a\in A{\text{ and }}d\in C\}\\&=(A\times B)\amalg (A\times C)\end{aligned}}}$

여기서 $⨿{\displaystyle }$ ${\displaystyle \amalg }$은 세트의 조합물, 즉 분리 결합을 나타내며$$, $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$은 편차를 나타낸다$$. 다음과 같은 경우 A, B그리고 C $유한$ 집합이며, 이 결과는 분배 속성을 반영한다: 위의 집합은 각각 ${\displaystyle 카디널리티}$ A ${\displaystyle \cdot }$ $B$+$C$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle A}$ $⋅$ ${\displaystyle B}$+ ${\displaystyle A}$ $⋅ C를 가지고 있다$

Grp와 Ab 카테고리는 제품과 결합재를 모두 가지고 있음에도 불구하고 분배성이 없다.

제품과 결합재를 모두 가지고 있지만 분배성이 없는 더욱 단순한 범주는 뾰족한 세트의 범주다.^[2]

참조

추가 읽기

• Cockett, J. R. B. (1993). "Introduction to distributive categories". Mathematical Structures in Computer Science. 3 (3): 277. doi:10.1017/S0960129500000232.
• Carboni, Aurelio (1993). "Introduction to extensive and distributive categories". Journal of Pure and Applied Algebra. 84 (2): 145–158. doi:10.1016/0022-4049(93)90035-R.