유니터리 연산자

기능분석에서 유니터리 연산자는 내제품을 보존하는 힐버트 공간의 허탈적 경계 연산자다. 유니터리 연산자는 대개 힐버트 공간에서 운용하는 것으로 간주되지만, 동일한 개념은 힐버트 공간 사이의 이소모르피즘의 개념을 정의하는 역할을 한다.

단일 원소는 단일 운영자의 일반화다. 단수대수학에서 대수의 원소 U는 U*U = UU* = I, 여기서 나는 정체요소다.^[1]

정의

정의 1. 유니터리 연산자는 U*U = UU* = I를 만족시키는 힐버트 공간 H의 경계 선형 연산자 U : H → H이며, 여기서 U*는 U의 부선이고, I : H → H는 ID 연산자다.

약한 조건 U*U = I은 등위계를 정의한다. 다른 조건인 UU* = I는 동위계를 정의한다. 따라서 단일 측정 시스템은 등측과 동측량 또는 ^[2]동등하게 굴절성 등측량인 경계 선형 측정 시스템이다.^[3]

동등한 정의는 다음과 같다.

정의 2. 단일 운영자는 Hilbert 공간 H의 경계 선형 운영자 U : H → H이며, 이 연산자에는 다음이 포함된다.

• U는 처절하고
• U는 Hilbert 공간의 내부 제품인 H를 보존한다. 즉, H의 모든 벡터스와 y를 위해 우리는 다음을 가지고 있다.

  $\displaystyle \langle Ux, Uy\rangele _{H}=\langle x,y\rangele _{H}.}$

힐버트 공간의 범주에 있는 이소모르피즘의 개념은 이 정의에서 영역과 범위가 다를 수 있다면 포착된다. Isometries는 Cauchy 시퀀스를 보존하기 때문에 Hilbert 공간의 완전성 특성이 보존된다^[4].

겉보기에는 약해 보이는 다음과 같은 정의도 동등하다.

정의 3. 단일 운영자는 Hilbert 공간 H의 경계 선형 운영자 U : H → H이며, 이 연산자에는 다음이 포함된다.

• U의 범위는 H로 밀집되어 있고,
• U는 Hilbert 공간의 내부 제품인 H를 보존한다. 즉, H의 모든 벡터 x와 y에 대해 우리는 다음을 가지고 있다.

  $\displaystyle \langle Ux, Uy\rangele _{H}=\langle x,y\rangele _{H}.}$

Definitions 1과 3이 동등하다는 것을 알기 위해, 내부 제품을 보존하는 U는 등위계(즉, 경계 선형 연산자)임을 의미한다. U가 밀도 범위를 가지고 있다는 사실은 경계 역 U를⁻¹ 가지고 있다는 것을 보장한다. U⁻¹ = U*라는 것은 분명하다.

따라서, 유니터리 연산자는 힐버트 공간의 자동화일 뿐이다. 즉, 그들은 자신이 작용하는 공간의 구조(이 경우 선형 공간 구조, 내부 생산물, 그리고 따라서 위상)를 보존한다. 주어진 Hilbert 공간 H에서 그 자체로 모든 단일 운영자 집단을 Hilb(H) 또는 U(H)로 표시된 H의 Hilbert 그룹이라고 부르기도 한다.

예

• 신분 함수는 사소한 일체의 운영자일 뿐이다.
• R의² 회전은 단일 사업자의 가장 단순한 비독점적 예다. 회전은 벡터의 길이나 두 벡터 사이의 각도를 바꾸지 않는다. 이 예는 R로³ 확장될 수 있다.
• 복잡한 숫자의 벡터 공간 C에서 절대값 1의 숫자, 즉 multi ∈ R에 대한 형식 e의^iθ 숫자에 의한 곱셈은 단일 연산자다. θ을 위상이라 하고, 이 곱셈을 위상별로 곱셈이라고 한다. θ modulo 2π의 값은 곱셈의 결과에 영향을 미치지 않으므로 C의 독립적 단일 연산자는 원에 의해 파라메트릭된다. 세트로써 원이 되는 해당 그룹을 U(1)라고 한다.
• 더 일반적으로, 유니터리 매트릭스는 한정된 차원 힐버트 공간의 유니터리 연산자여서, 유니터리 연산자의 개념은 유니터리 매트릭스의 개념을 일반화한 것이다. 직교 행렬은 모든 항목이 실제인 단일 행렬의 특별한 경우다. 그들은 R의ⁿ 단일 군사 운영자들이다.
• 정수에² 의해 지수화된 시퀀스 공간의 양방향 변화는 단일하다. 일반적으로 힐버트 공간에서 정형외과적 기준을 허용함으로써 행동하는 모든 운영자는 단일 조직이다. 유한 치수 사례에서 그러한 연산자는 순열 행렬이다.
• 일방적인 시프트(우측 시프트)는 등측량법이고, 그 결합(좌측 시프트)은 등측량법이다.
• 푸리에 연산자는 단일 연산자, 즉 푸리에 변환을 수행하는 연산자(적절한 정규화)이다. 이것은 파르세발의 정리에서 따온 것이다.
• 단일 운영자는 단일 대표에 사용된다.
• 양자 논리 관문은 단일 연산자다. 모든 관문이 에르미트인은 아니다.

선형성

단일 운영자의 정의에서 선형성 요건은 스칼라 제품의 선형성과 양의 정의에서 도출될 수 있기 때문에 의미를 변경하지 않고 삭제할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\ \lambda U())-U(\lambda))\ ^{2}&, =\langle \lambda U())-U(\lambda)),\lambda U())-U(\lambda))\rangle \\&, =\ \lambda U())\ ^{2}+\ U(\lambda))\ ^{2}-\langle U(\lambda)),\lambda U())\rangle -\langle \lambda U()),U(\lambda))\rangle \\&^\lambda ^{2}\ U())\ ^{2}+\ U(\lambda))\ ^{2}-{\overline{\lambda}}\l.각도 U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\&= \lambda ^{2}\ x\ ^{2}+\ \lambda x\ ^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\&=0\end{aligned}}}$

유사하게 당신은 얻는다.

${\displaystyle \ U(x+y)-(Ux+Uy)\ =0.}$

특성.

• 유니터리 연산자 U의 스펙트럼은 단위 원 위에 있다. 즉, 스펙트럼의 모든 복합수 for에 대해 = = 1을 갖는다. 이는 정상 연산자에 대한 스펙트럼 정리의 결과로 볼 수 있다. 정리에 따르면 U는 일부 유한 측정 공간(X, μ)에 대해 L²(μ)에 대한 보렐 측정 f에 의한 곱셈과 단위적으로 동등하다. 이제 UU* = I는 f(x) = 1, μ-a.e를 의미한다. 이는 f의 필수 범위, 즉 U의 스펙트럼이 단위 원 위에 있음을 보여준다.
• 선형 지도는 굴절적이고 등축적이면 단일하다. (분광 정체성을 사용하여 단일한 부분만 표시한다.)

참고 항목

• 반유니터리
• 구부러진 호
• 양자 논리 게이트 – 양자 컴퓨팅의 기본 회로
• 단일 행렬 – 결합이 역행하는 복잡한 행렬
• 단일변환 – 내적생물을 보존하는 내형성

각주

참조

• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.

• Doran, Robert S.; Belfi (1986). Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.

• Halmos, Paul (1982). A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics. 19 (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.