다항식환

수학에서, 특히 대수학에서, 다항식 환(▁or) 또는 다항식 대수학(多ial式數學, )은 하나 이상의 불확정한 (전통적으로 변수라고도 함)의 다항식 집합으로 형성된 환으로, 종종 필드와 같은 다른 환에 계수를 갖는 것입니다.

"다항성 고리"라는 용어는 종종 암시적으로 필드에 대한 하나의 불확정한 다항식 고리의 특수한 경우를 가리킵니다.이러한 다항식 고리의 중요성은 정수의 고리와 공통적으로 갖는 높은 수의 특성에 의존합니다.

다항식 고리는 수론, 교환 대수학, 대수 기하학과 같은 수학의 많은 부분에서 발생하고 종종 기초가 됩니다.고리 이론에서, 고유 인수 분해 영역, 정규 고리, 그룹 고리, 공식 멱급수 고리, 오레 다항식, 등급 고리와 같은 많은 종류의 고리가 다항식 고리의 일부 특성을 일반화하기 위해 도입되었습니다.

밀접하게 관련된 개념은 벡터 공간에 대한 다항식 함수의 고리, 그리고 더 일반적으로 대수 다양성에 대한 정규 함수의 고리입니다.

정의(일변량 대소문자)

필드(또는 더 일반적으로, 교환 링) $K$ 에 대한 $X$ 의 다항식 링 $K [X]$ 는 몇 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있습니다.그 중 하나는 K $[X]$ 를 X의^[1] $다항식$ 이라고 하는 식의 집합으로 $정의$ 하는 것입니다.

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m}

$여기$ 서₀ p $, p 1,$ …, $p m$ , $p$ 의 계수는 $K$ 의 $원소$ 이고_m $,$ m > $0$ 이면 p ≠ $0$ 이고 $,$ $X$ , $X 2,$ …는 X의 " $힘$ "으로 간주되는 기호이며, $일반적$ 인 지수 규칙을 따릅니다. $X 0$ = $1$ , $X 1$ $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$ $X$ , $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$ $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$ $X$ $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$ + $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$ X 표시 $스타일$ X $^{k}\\,$ X^{ $L}=$ {k^+}, K $^+}.$ $X$ 기호는 불확정^[2] 또는 ^[3]변수라고 합니다.(변수라는 용어는 다항식 함수의 용어에서 유래했습니다.그러나 $여기$ 서 X는 다항식 고리의 상수가 되어 (자신 이외의) 값을 가지지 않으며, 변동할 수 없습니다.)

$각 k$ X의 해당 계수가 같을 때 두 다항식은 동일합니다.

$고리$ K $[X]$ 는 K $외부$ 에 있고 K의 $모든$ 요소와 통근하고 다른 특정 특성이 없는 하나의 새로운 $요소$ X를 추가하여 K에서 $발생$ 하는 것으로 생각할 수 있습니다.이것은 다항식 고리의 동등한 정의에 사용될 수 있습니다.

K $위$ 의 X에 $있는$ 다항식 링은 가법, 곱셈 및 스칼라 곱셈을 갖추고 있어 교환 대수입니다.이러한 연산은 대수식을 조작하기 위한 일반적인 규칙에 따라 정의됩니다.구체적으로, 만약에.

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}

그리고.

q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n}

그리고나서

p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k}

그리고.

pq=s_{0}+s_{1}}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},

$여기$ 서 k $= max$ ( $m, n$ ), $l$ = $m$ + $n$ ,

r_{i}=p_{i}+q_{i}

그리고.

{\displaystyle s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.

이러한 공식에서 $다항식$ $p$ 와 q는 계수가 0인 "더미 항"을 추가하여 확장되므로 공식에 나타나는 $모든 i$ $p$ 와_i q가 정의됩니다.구체적으로 $m$ < $n이면$ p = 0 $form i$ < $i$ ≤ $n$ 입니다.

스칼라 곱셈은 p = $p$ 가₀ 상수항( $X$ 와 독립적인 항)으로 $감소$ 하는 곱셈의 특수한 경우입니다.

\"표시 스타일 p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}

이 세 가지 연산이 K에 $대한$ 교환 대수의 공리를 만족하는지 확인하는 것은 간단합니다.따라서 다항식 고리는 다항식 대수라고도 합니다.

다른 동등한 정의는 종종 선호되지만 덜 직관적입니다. 왜냐하면 다항식을 $K$ 의 요소들의 무한한 $수열 0$ ( $p 1,$ $p 2,$ p $,$ …)로 정의하는 것이 더 쉽기 때문입니다.n > $m$ 에 $대해$ p = 0이 되도록_n $m$ 이 존재하는 수열. $이 0$ 경우, $p$ 와 X는 각각 $시퀀스 0 (p, 0,$ 0 $,$ …)와 $(0, 1, 0,$ 0 $,$ …)의 대체 표기법으로 간주됩니다.작업 규칙을 직접 사용하면 다음 식을 사용할 수 있습니다.

p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m}

그러면 시퀀스에 대한 대체 표기법입니다.

(p 0, p 1, p 2, \dots, p m, 0, 0, \dots)

.

용어.

허락하다

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m}

$p_{m}\neq 0$ $p_{m}\neq 0$ $({displaystyle p_{m}\neq$ 0 $)$ 인 0이 아닌 다항식입니다.

p의 $항$ $p_{0}.$ 는 p $.{{displaystyle p_{0}$ 입니다 $p_{0}.$ . 0 다항식의 경우 0입니다.

$p$ , 기록된 deg $(p)$ 의 $정도$ 는^k m $,$ \" $displaystyle$ m $\"$ 으로 $m,$ $X$ 의 계수가 ^[4]0이 아닐 정도로 가장 큰 k입니다.

p의 $선행$ $p_{m}.$ 는 $p_{m}.$ 입니다 $.$ {\ $displaystyle p_{m}.$

계수가 모두 0인 제로 다항식의 특수한 경우, 선행 계수가 정의되지 않고 정도가 다양하게 ^[6]정의되지 않은 채로 방치되거나 $-1$ 로 ^[7]정의되거나^[8]-1로 정의되거나 또는 -1로 정의됩니다.

상수 다항식은 0 다항식이거나 0 차수의 다항식입니다.

0이 아닌 다항식은 선행 계수가 $1$ 이면 다항식입니다 $.$ {\ $displaystyle$ 1 $}$

두 $다항식$ $p$ 와 q가 주어졌을 때, 하나는

\displaystyle \displaystyle(p+q)\leq \max(\display(p),\display(p+q)),

그리고, 한 분야에 걸쳐, 또는 더 일반적으로 통합된 ^[9]영역에 걸쳐,

\displaystyle(pq)=\display(p)+\display(q)

따라서 K가 적분 $도메인$ 이면 $K [$ ^[10]X]도 적분 도메인입니다.

또한 K가 적분 $도메인$ 이라면 다항식은 상수이고 $K$ 의 단위인 경우에만 단위(즉, 곱셈 역수를 가진다)입니다.

두 다항식 중 하나가 단위에 의해 다른 다항식의 곱이면 두 다항식이 연관됩니다.

필드에서 0이 아닌 모든 다항식은 고유한 모닉 다항식과 연관됩니다.

$p$ 와 $q$ 라는 두 다항식이 주어졌을 때, $q$ = pr과 $같은$ $다항식$ r이 있으면 $p$ 가 q, $p$ 가 $q$ 의 제수 $또는$ q가 $p$ 의 $배수$ 라고 말합니다.

다항식은 두 개의 비 상수 다항식의 곱이 아니거나, 그 약수가 상수 다항식이거나 동일한 정도를 갖는 경우에 환원할 수 없습니다.

다항식 평가

K를 필드 또는 더 일반적으로 교환 링으로 $하고$ , R은 K를 $포함$ 하는 링이라고 $합니다$ .K $[X]$ 의 $임의$ 의 다항식 $P$ 와 $R$ 의 임의의 원소 a에 $대해$ , X를 $P$ 의 a로 치환하면 R의 $원소$ 가 정의되며, 이는 P $(a)$ 로 $표시$ 됩니다.이 요소는 다항식의 식으로 표시된 연산을 치환한 후 $R$ 에서 수행함으로써 얻어집니다.이 계산을 $파타$ 의 $평가$ 라고 합니다.예를 들어, 만약 우리가.

P=X^{2}-1,

우리는 가지고 있다.

표시({stylebegin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\P(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}}

(첫 번째 $예제$ 에서는 R = $K$ , 두 번째 $예제$ 에서는 R = $K [X$ ]).X를 그 자체로 $대체$ 하면 다음과 같은 결과가 발생합니다.

P=P(X),

" $P$ 를 다항식이 되게 하라"와 " $P ($ X)를 다항식이 되게 $하라$ "는 문장이 동등한 이유를 설명합니다.

$다항식$ P에 의해 정의된 다항식 함수는 x $x\mapsto P(x).$ ( $x\mapsto P(x).$ ) $x\mapsto P(x).$ {\ $displaystyle$ x $\mapsto$ P $(x)$ 로 $x\mapsto P(x).$ 된 K에서 $K$ 까지의 함수입니다. $만약$ K가 무한장이라면, 두 개의 다른 다항식은 서로 다른 다항식 함수를 정의하지만, 이 속성은 유한장에 대해서는 $x\mapsto P(x).$ 거짓입니다.예를 들어, K가 q 원소를 가진 $필드$ 라면 $다항식$ $0$ 과^qX - $X$ 는 모두 0 함수를 정의합니다.

$R$ 의 $모든$ a에 대해, 즉, $P\mapsto P(a)$ P $P\mapsto P(a)$ $P\mapsto P(a)$ ( $)$ {\ $displaystyle$ P $\mapsto$ P $(a)}$ 에서 $P\mapsto P(a)$ 평가는 K $[X]$ 에서 R까지의 대수 동형을 정의하며, 이는 K $[X]$ 에서 R까지의 고유 동형이며, X를 $a$ 로 $매핑합니다$ .즉, $K [X]$ 는 다음과 같은 보편적 성질을 가지고 있습니다.

K를 $포함$ 하는 $모든$ 환 R과 R의 $모든$ $원소$ a에 대하여, 다음과 같은 고유 대수 동형이 존재합니다.

K [X]

R에 $K$ 를 고정하고 $X$ 를 $a$ 에 $매핑합니다$ .

$P\mapsto P(a)$ P $P\mapsto P(a)$ $P\mapsto P(a)$ ( $P\mapsto P(a)$ {\ $displaystyle$ P $\mapsto$ P $(a$ 의 이미지, 즉 K $[X]$ 의 요소에서 a를 $X$ 로 $치환$ 하여 얻은 R의 $부분$ 집합은 K $[a]$ ^[11]로 $표시$ 됩니다.예를 들어, Z [2] = { P (2) ∣ P (x) ∈ Z [ X ] = Z ∪ (2 Z ) \displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]= \{P({\sqrt {2}})\mathbb{Z}\in \cup ({sqrt {\sq} Z}, 여기서 Z2} Z) = {sqbbbbbbbbbbb} Z} } }.

모든 보편적 특성에 대해, 이것은 고유 동형까지 쌍 $(K [X],$ $X)$ 을 정의하므로, $K [$ X]의 정의로 받아들일 수 있습니다.

필드에 대한 일변량 다항식

$만약$ K가 필드라면, $다항식$ 링 K $[X]$ 는 $\mathbb {Z} .$ Z의 링과 유사한 많은 특성을 가지고 있습니다 $.$ {{ $displaystyle \mathbb {Z}.$ 이러한 $\mathbb {Z} .$ 유사성의 대부분은 정수의 긴 나눗셈과 다항식의 긴 나눗셈 사이의 유사성에서 비롯됩니다.

이 섹션에 나열된 $대부분$ 의 $K[X$ ] 속성은 K가 필드가 아니거나 여러 개의 불확정한 다항식을 고려하는 $경우$ 참으로 남아 있지 않습니다.

정수와 마찬가지로 다항식의 유클리드 나눗셈도 고유성을 가집니다.즉, K $[X]$ 에서 두 $다항식$ $a$ 와 b ≠ $0$ 이 주어지면, a $=$ $bq$ + $r,$ r = $0$ $또는$ deg( $r)$ < $deg$ ( $b)$ 와 $같은$ 다항식의 고유한 쌍 $(q, r$ )이 있습니다.이것은 K $[X]$ 를 유클리드 영역으로 $만듭니다$ .그러나 대부분의 다른 유클리드 도메인(정수 제외)은 분할에 대한 고유한 특성이나 유클리드 분할을 계산하기 위한 쉬운 알고리듬(예: 긴 분할)이 없습니다.

유클리드 나눗셈은 두 다항식의 다항식 최대 공약수를 계산하는 다항식에 대한 유클리드 알고리즘의 기초입니다.여기서 "가장 크다"는 것은 "최대 정도를 가지고 있다" 또는 동등하게, 정도에 의해 정의된 사전 순서에 대해 최대가 되는 것을 의미합니다.두 다항식의 최대 공약수가 주어지면, 다른 최대 공약수는 0이 아닌 상수(즉, $a$ 와 b의 $모든$ 최대 공약수가 연관됨)를 곱하여 얻습니다.특히, 둘 다 0이 아닌 두 다항식에는 단항성(선행 계수 1과 동일)인 고유한 최대 공약수가 있습니다.

확장 유클리드 알고리즘을 사용하면 베주트의 정체성을 계산(및 증명)할 수 있습니다.K $[X]$ 의 경우에는 다음과 같이 기재할 수 있습니다.각각의 $차수$ $m$ 과 n의 두 $다항식$ $p$ 와 q가 주어졌을 때, 만약 그들의 모닉 최대 $공약수$ 가 $d$ 라면, 다음과 같은 다항식의 고유한 쌍 (a, $b)$ 이 있습니다.

ap+bq=g,

그리고.

표시 스타일 \displaystyle \displaystyle(a)\leq n-d,\display \discovery(b)<m-d.

( $m$ = $d$ $또는$ n = $d$ 인 제한적인 경우에 이것을 참으로 만들기 위해서는 0 다항식의 정도를 음수로 정의해야 합니다. $\deg(a)=n-d$ $p$ 와 q가 연관된 $경우$ 에만 동등한 정도 $\deg(a)=n-d$ ( $=$ - $\deg(a)=n-d$ { $displaystyle$ \ $displaystyle(a)$ = $n-d}$ 가 $\deg(a)=n-d$ 발생할 수 있습니다.)고유 속성은 오히려 $K [$ X]에만 한정됩니다.정수의 경우 동일한 속성이 참인 경우 학위가 절대값으로 대체되지만 고유성을 가지려면 $0$ 보다 큰 값이 $필요$ 합니다.

유클리드의 부제는 $K [$ X]에 적용됩니다.즉, a가 bc를 $나누고$ b와 $동범$ 일 $경우$ , $a$ 는 $c$ 를 나눈다.여기서, 코프림은 모닉 최대 공약수가 1이라는 것을 의미합니다. 증명:가설과 베주트의 항등식에 의해, $e$ , $p$ , q가 $있는데$ , $ae$ = $bc$ 와 $1$ $= ap$ + bq입니다.따라서 c $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ ( $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ p + $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ q ) $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ + $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ $=$ ( $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ p + $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ q $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ ) . $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$ {\ $displaystyle$ c= $c(ap$ + $bq$ ) $=$ cap + $aeq$ = $a(cp$ + $eq)}$

고유 인수분해 특성은 유클리드의 부제에서 비롯됩니다.정수의 경우, 이것이 산술의 기본 정리입니다.K $[X]$ 의 경우, 다음과 같이 말할 수 있습니다: 모든 비 상수 다항식은 상수의 곱으로 고유한 방식으로 표현될 수 있고, 하나 또는 여러 개의 환원 불가능한 다항식으로 표현될 수 있습니다. 이 분해는 인자의 순서에 따라 고유합니다. $즉$ , K $[X]$ 는 고유 인수분해 도메인입니다. $만약$ K가 복소수의 장이라면, 대수의 기본 정리는 일변량 다항식이 그 정도가 1일 경우에만 환원 불가능하다고 주장합니다.이 경우 고유 인수분해 특성은 다음과 같이 다시 말할 수 있습니다. 복소수에 대한 모든 상수 일변량 다항식은 상수의 곱으로 고유한 방식으로 표현될 수 있고 X - $r$ $형식$ 의 하나 또는 여러 다항식으로 표현될 수 있습니다. 이 분해는 인자 순서에 따라 고유합니다.각 요인에 $대해$ r은 다항식의 제곱근이고, 요인의 발생 횟수는 해당하는 제곱근의 배수입니다.

파생

다항식의 (공식적인) 도함수

{\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}} 표시

는 다항식입니다.

{\displaystyle a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}을(를) 표시합니다.

실수 계수 또는 복소수 계수를 갖는 다항식의 경우, 이것이 표준 미분입니다.위의 공식은 계수가 제한 개념이 정의되지 않은 링에 속하더라도 다항식의 도함수를 정의합니다.미분은 다항식 링을 미분 대수로 만듭니다.

미분의 존재는 정수와 공유되지 않는 다항식 링의 주요 속성 중 하나이며, 정수보다 다항식 링에서 일부 계산을 더 쉽게 합니다.

무제곱 인수분해

라그랑주 보간

다항식 분해

인수분해

인수 분해를 제외하고, K $[X]$ 의 모든 이전 속성은 위에서 스케치한 것처럼 속성을 테스트하고 존재가 주장되는 다항식을 계산하기 위한 알고리듬과 관련되어 있기 때문에 효과적입니다.게다가 이러한 알고리즘은 계산 복잡성이 입력 크기의 2차 함수이기 때문에 효율적입니다.

요인화의 경우 상황이 완전히 다릅니다. 고유한 요인화의 증거는 요인화 방법에 대한 힌트를 제공하지 않습니다.정수에 대해서는 다항식 시간에 인수 분해하기 위해 고전적인 컴퓨터에서 실행 중인 알려진 알고리즘이 없습니다.이는 RSA 암호 시스템의 기반이며, 안전한 인터넷 통신에 널리 사용됩니다.

K $[X]$ 의 경우 요인과 요인 계산 방법은 K에 $크게$ 의존합니다.복소수에 대해서는 환원 불가능한 요인(더 이상 인수 분해할 수 없는 요인)이 모두 1등급인 반면, 실수에 대해서는 2등급의 환원 불가능한 다항식이 있고, 합리적인 숫자에 대해서는 모든 차수의 환원 불가능한 다항식이 있습니다.예를 들어, $X^{4}-2$ $X^{4}-2$ - $X^{4}-2$ ({\ $displaystyle X^{4}-$ 2 $X^{4}-2$ }는 합리적인 숫자에 비해 환원할 수 없으며 $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ - $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ ( $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ + $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ ) ( $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ + 2 $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ ) \ $displaystyle (X-{\sqrt[{4}]{2}}})$ ( $X+{\sqrt{2}}}})$ 로 $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ 인수되고 실수에 대해서는그리고 ( $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ ) ( $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ ) $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ ( $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ (X $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ 24) ( $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ + $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ $)$ ({ $2}})$ ( $X$ + ${\sqrt[{4}]{2}})$ (X + i {\ $sqrt[{4}]{2}}}) (X$ + i {\ $sqrt[4$ ]{ $2}})})$ (X + i {\sqrt $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ (X $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ + i로 복소수에 해당합니다.

요인화 알고리즘의 존재 여부는 접지 필드에도 따라 달라집니다.실수나 복소수의 경우, 아벨-러피니 정리는 일부 다항식, 즉 환원 불가능한 요인의 근이 정확하게 계산될 수 없음을 보여줍니다.따라서 요인화 알고리즘은 요인의 근사치만 계산할 수 있습니다.이러한 근사치를 계산하기 위해 다양한 알고리즘이 설계되었습니다. 다항식의 루트 찾기를 참조하십시오.

K의 $산술$ 연산에 대한 정확한 알고리즘이 존재하는 $필드$ K의 예는 있지만, X $-a 형식$ 의 $X^{p}-a$ 다항식이 환원 불가능한지 또는 낮은 ^[12]차수의 다항식의 곱인지를 결정하는 알고리즘은 존재할 수 없습니다.

반면에, 합리적인 숫자와 유한한 필드에 대해서는 다항식 복잡성을 갖는 인수 분해 알고리즘이 있기 때문에 정수 인수 분해보다 상황이 더 좋습니다.대부분의 범용 컴퓨터 대수 시스템에서 구현됩니다.

최소 다항식

만약 $π$ 가 연관된 $K-대수$ L의 요소라면, $π$ 에서의 다항식 평가는 X를 $π$ 에 $매핑하는$ K $[X]$ 에서 L로의 고유 대수 동형 $π$ 이며 K 자체의 $요소$ 에 영향을 미치지 않습니다(K의 $동일성$ 맵입니다).이것은 모든 다항식에서 $X$ 를 $π$ 로 대체하는 것으로 구성됩니다.그것은,

\"표시 스타일 \varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+a_{0}\right)=a_{m}\theta^{m}+a_{m-1}\theta^{m-1}+\cdots +a_{1}}\theta +a_{0}}

이 평가 동형의 이미지는 $π$ 에 의해 생성된 하위 대수이며, 이는 필연적으로 교환적입니다. $φ$ 이 주입식이면 θ에 의해 생성된 하위 대수는 K $[X]$ 와 $동형$ 입니다.이 경우 이 하위 대수는 종종 K $[θ]$ 로 표시됩니다.표기의 모호성은 동형성 때문에 일반적으로 해롭지 않습니다.

만약 평가 동형이 주입적이지 않다면, 이것은 그것의 커널이 0이 아닌 이상이며, X가 $π$ 로 대체될 $때$ 0이 되는 모든 다항식으로 구성되어 있다는 것을 의미합니다. $이$ 이상은 π의 최소 다항식이라고 불리는 일부 다항식의 모든 배수로 구성됩니다.최소라는 용어는 이상적인 요소의 정도 중에서 그 정도가 최소라는 사실에 의해 동기 부여됩니다.

최소 다항식을 고려하는 두 가지 주요 경우가 있습니다.

필드 이론과 수론에서, K의 $확장$ $필드$ L의 원소 $δ$ 는 $K$ 의 계수를 갖는 어떤 다항식의 근일 경우 $K$ 에 대한 대수입니다.따라서 $π$ 의 K에 $대한$ 최소 다항식은 $π$ 를 근으로 하는 최소 차수의 모닉 다항식입니다.L은 하나의 $필드$ 이기 때문에, 이 최소 다항식은 반드시 $K$ 에 대해 환원할 수 없습니다.예를 들어, $복소수$ i의 최소 $X^{2}+1$ 은 X 2 $X^{2}+1$ + $X^{2}+1$ {\ $displaystyle$ X $^{2}+1$ 입니다 $X^{2}+1$ 사이클로토믹 다항식은 단일근의 최소 다항식입니다.

선형대수학에서, K $위$ 의 $n$ ×n 제곱행렬은 (벡터 공간으로서) 유한 차원의 연관된 K-대수학을 형성합니다.따라서 평가 동형은 주입식일 수 없으며, 모든 행렬은 최소 다항식(반드시 환원 불가능한 것은 아님)을 가집니다.케일리-해밀턴 정리에 따르면, 평가 동형성은 행렬의 특성 다항식을 0으로 매핑합니다.따라서 최소 다항식은 특성 다항식을 나누므로 최소 다항식의 정도는 $최대$ n입니다.

계수환

K $[X]$ 의 경우, 일반적인 경우와 마찬가지로 이상에 의한 몫환을 동등 클래스의 집합으로 구성할 수 있습니다.그러나 각 동등성 클래스에는 최소 차수의 다항식이 정확히 하나 포함되므로 다른 구성이 더 편리한 경우가 많습니다.

다항식 $p$ $d$ 가 주어졌을 때, $p$ 에 의해 생성된 이상적인 $K [$ X]의 몫환은 $d$ 보다 작은 차수의 다항식의 벡터 공간으로 식별될 수 있으며, "곱셈 계수"는 다항식의 (일반적인) 곱의 $p$ 로 나머지를 나누는 곱셈으로 구성됩니다.이 몫 링은 다양하게 K [ $K[X]/pK[X],$ $K[X]/pK[X],$ $K[X]/pK[X],$ K $K[X]/pK[X],$ [ $],$ {{ $displaystyle$ K $[$ $X]/$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ $X$ $],}$ $K[X]/pK[X],$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ [ $X]/\langle$ p\ $rangle,}$ $K[X]/(p),$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ $K[X]/(p),$ [ $K[X]/(p),$ / ( $),$ {\ $displaystyle$ K $[$ $X]/(p$ 또는 $K[X]/p.$ K [ $K[X]/p.$ / K[X] K[ $X]$ 로 표시됩니다 $.$

$K[X]/(p)$ K $K[X]/(p)$ [ $K[X]/(p)$ ] $K[X]/(p)$ / ( $K[X]/(p)$ ) {\ $displaystyle$ K $[X]/(p)}$ 는 $K[X]/(p)$ p가 환원 불가능한 다항식인 $경우$ 에만 필드입니다.사실, 만약 p가 환원 $불가능$ 하다면, 더 낮은 차수의 모든 $0$ 이 아닌 다항식 q는 $p$ 와 동치이며, 베주트의 항등식은 $sp$ + $qr$ = 1과 같은 $계산$ $r$ 과 를 허용합니다. $따라서$ r은 q $모듈롭$ 의 곱셈 역수입니다.반대로, $만약$ p가 환원 가능하다면, deg( $p$ )보다 $낮은$ $정도$ 의 $다항식$ a, b가 $존재$ 하며, ab = p $;$ $so$ a, b는 0이 아닌 영이수 $모듈럽이며$ , 되돌릴 수 없습니다.

예를 들어, 복소수 필드의 표준 정의는 그것이 몫환이라고 말하는 것으로 요약될 수 있습니다.

\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),

그리고 C ${$ 에서 $\mathbb {C}$ X의 $이미지$ 는 $i$ 로 표시됩니다.사실, 위의 설명에 따르면, 이 계수는 a + $bi$ $형식$ 을 가진 $i$ 의 1차 다항식으로 구성되며 $\mathbb {R} .$ $\mathbb {R} .$ . $\mathbb {R} .$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ 의 a와 $b$ 입니다.몫환의 두 요소를 곱하는 데 필요한 유클리드 나눗셈의 나머지는 다항식으로 그들의 곱에서 i를 $-1$ 로 $대체함$ 으로써² 얻어집니다 $\mathbb {R} .$ (이것은 정확히 복소수의 곱에 대한 일반적인 정의입니다).

$π$ 가 K-대수 $A$ 의 대수 원소라고 하자.대수적으로, $π$ 는 최소 $다항식$ p를 갖는다는 것을 의미합니다.첫 번째 고리 동형성 정리는 치환 동형성이 $K[X]/(p)$ K [X] / (p $)$ $K[X]/(p)$ {{ $displaystyle$ K $[X]/(p)}$ 의 $K[X]/(p)$ 동형성을 치환 동형성의 $이미지$ K[ $x]$ 에 유도한다고 주장합니다. $특히$ , A가 θ에 의해 생성된 K의 $단순$ 확장인 경우, $이$ 를 통해 $K[X]/(p).$ 와 $K[X]/(p).$ K $K[X]/(p).$ / (p $K[X]/(p).$ ) $K[X]/(p).$ {\ $displaystyle$ K $[X]/(p)$ 를 $식별$ 할 수 있습니다.이 $K[X]/(p).$ 식별은 대수적 수 이론에서 널리 사용됩니다.

모듈

K가 필드일 때 K[X]에 주요 이상 영역에 걸쳐 유한하게 생성된 모듈에 대한 구조 정리가 적용됩니다.이는 K[X]를 통해 유한하게 생성된 모든 모듈이 자유 모듈의 직접 합과 K $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$ / $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$ $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$ k $⟩$ {{\ $displaystyle$ K $[X]/\left\langle$ P $^{k}\right\rangle$ $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$ 의 많은 모듈로 분해될 수 있음을 의미합니다. 여기서 P는 K에 대한 불가분의 다항식이고 K와 k의 양의 정수입니다.

정의(다변량의 경우)

$주어진$ $X_{1},\dots ,X_{n},$ 의 기호 $X_{1},\dots ,X_{n},$ $X_{1},\dots ,X_{n},$ $,$ \ $displaystyle$ X_ ${1},\dots,X_{n}$ 이 $X_{1},\dots ,X_{n},$ 불확정치라고 불리는, 다항식(검정력 곱이라고도 함)

X_{1}^{\alpha_{1}}\cdots X_{n}^{\alpha_{n}}

이 부정적인 것들의 공식적인 산물일 수도 있고, 음이 아닌 멱으로 상승했을 수도 있습니다.일반적으로 지수가 1이고 지수가 0인 요인은 생략할 수 있습니다. $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$ , X $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$ ⋯ $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$ $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$ $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$ $=$ $.$ \\ $displaystyle$ X_ ${1}^{0}\cdots$ X_ ${n}^{0$ }= $1.$

$지수$ α $=$ (α, …, $α n$ )의₁ 튜플을 다항식의 다단계 또는 지수 벡터라고 합니다.덜 번거로운 표기법의 경우, 약어는

\"표시 스타일 X^{\alpha}=X_{1}^{\alpha_{1}}\cdots X_{n}^{\alpha_{n}}}

자주 사용됩니다. $흔히$ $α α$ 또는 $α$ 로 $표시$ 되는 단항 X의 정도는 지수의 합입니다.

\displaystyle \alpha \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}

$이들$ 불확정치에서 계수가 K인 다항식 또는 더 일반적으로 고리는 단항식의 유한 선형 조합입니다.

p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }

계수가 $K$ 인 경우.0이 아닌 다항식의 정도는 0이 아닌 계수를 갖는 다항식의 정도의 최대값입니다.

$X_{1},\dots ,X_{n},$ , $X_{1},\dots ,X_{n},$ K $X1,$ $X_{1},\dots ,X_{n},$ $X_{1},\dots ,X_{n},$ $],$ \ $dots$ , $X_{n$ }, \dots, X_{ $n}$ 의 $X_{1},\dots ,X_{n},$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$ 집합은 K[ $X1,$ …, Xn], \ $dots, X_{n}$ 을 $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$ 벡터 공간(또는 K가 고리인 $경우$ 자유 모듈)입니다.

K[X1, …, Xn] {\displaystyle K[X_{1},\dots,X_{n}}}는 자연스럽게 고리를 만드는 곱셈과 K 위의 무한대의 다항식 고리라고 불리는 K 위의 연상 대수를 갖추고 있다. $만약$ 고리 K가 $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ 이라면 $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ [ $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ …, $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ ]{ $displaystyle$ K $[X_{1},\dots,X_{n}}$ 도 $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ 가환환입니다.

K $[X 1, ...,$ X $]$ 에서의_n 연산

다항식의 덧셈 및 스칼라 곱셈은 특정 기준(여기서 단항식의 기준)에 의해 장착된 벡터 공간 또는 자유 모듈의 곱셈입니다.명시적으로, p $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ I $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ X $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ , q = $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ β $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ $p=\sum _{\alpha \in I}p_{\alpha }X^{\alpha },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },$ β $,$ \ $displaystyle$ p=\ $sum$ _ ${\alpha$ \ $in$ I $}p_{\$ alpha $}X$ $여기$ 서 $I$ 와 J는 지수 벡터의 유한 집합입니다.

$p$ 와 $c\in K$ $c$ 의 $스칼라$ 곱셈은 $다음$ 과 같습니다 $.$

cp=\sum _{\alpha \in I}cp_{\alpha }X^{\alpha

$p$ 와 $q$ 의 덧셈은

\"표시 스타일 p+q=\sum _{\alpha \in I\cup J}(p_{\alpha }+q_{\alpha }X^{\alpha }}

여기서 p α = 0 { \ displaystyle p_{\alpha } α ∉ I이면 q = 0, β ∉ J이면 q = 0 \ displaystyle q_{\alpha }, β β beta J이면 q = 0 \ displaystyle q_{\alpha } = 0이다결과로부터

곱셈은

\displaystyle pq=\sum _{\colon \in I+J}\left(\sum _{\alpha,\colon \mid \alpha +\colon =\colon }p_{\alpha }q_{\right)X^{\gamma },}

$I+J$ 서 $I+J$ I + ${displaystyle$ I+ $J}$ 는 $I+J$ $I$ 에서 하나의 지수 벡터의 합과 J에서 $다른$ 하나의 지수 벡터의 합의 집합입니다.특히, 두 개의 다항식의 곱은 지수 벡터가 요인의 지수 벡터의 합인 다항식입니다.

연관 대수학의 공리에 대한 검증은 간단합니다.

다항식

다항식은 스칼라(K의 $원소$ ), 불확정 및 음이 아닌 정수 거듭제곱에 대한 덧셈, 곱셈 및 지수 연산자로 구성된 표현식입니다.

이 모든 연산은 K $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ [ $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ $]$ {\ $displaystyle$ K $[$ $X_{1,\$ $dots,$ $X_$ ${n}}}$ 에서 $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ 정의되므로 다항식은 K $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$ [ $X1,$ $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$ $Xn$ 의 요소인 다항식을 나타냅니다 $.$ 다항식의 $K[X_{1},\dots ,X_{n}].$ 선형 조합으로서의 다항식의 정의는 다항식의 정규형, 정규형, 확장형이라고도 하는 특정 다항식입니다.다항식이 주어지면, 인자들 사이에 합을 갖는 모든 곱을 분배 법칙으로 확장한 다음 (두 스칼라 곱을 제외한) 교환성을 사용하여 표현된 다항식의 확장된 형태를 계산할 수 있습니다.그리고 결과 합의 항을 스칼라 및 다항식의 곱으로 변환하기 위한 연관성. 그런 다음 유사한 항을 다시 그룹화하여 표준 형식을 얻습니다.

다항식과 그것이 나타내는 다항식 사이의 구별은 비교적 최근이며, 주로 컴퓨터 대수의 증가에 의해 동기 부여됩니다. 예를 들어, 두 다항식이 동일한 다항식을 나타내는지 여부를 테스트하는 것은 사소한 계산일 수 있습니다.

범주형 특성화

만약 K가 가환환이라면, 다항식환 K[X1, …, Xn]는 다음과 같은 보편적인 성질을 갖는다: 모든 가환 K-대수 A와 A의 원소의 모든 n-튜플(x1, …, xn)에 대하여, 각각의 X가 대응하는 x{i}에 매핑되는 A에 대한 고유한 대수 동형이 있다.이 $x_{i}.$ 동형성은 모든 다항식에서 $({$ X_ ${i$ })를 $X_{i}$ $({$ i $x_{i}$ })로 대체하는 평가 동형성입니다.

모든 보편적 성질이 그렇듯이 $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$ 이것은 (K [ $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$ $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$ $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$ ( $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$ …, $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$ \ $displaystyle (K[X_{1},\dots, X_{n}),$ ( $X_{1},\dots, X_{n})$ 의 $(K[X_{1},\dots ,X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))$ 특성을 나타낸다.

이것은 또한 인접 함수의 관점에서 해석될 수 있습니다.더 정확하게는, SET와 $ALG$ 를 각각 집합과 가환 K 대수의 범주라고 $합니다$ (여기서, 그리고 다음에서, 형태는 사소한 것으로 정의됩니다).대수를 기본 집합에 매핑하는 망각 $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ F $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ {\ $displaystyle \mathrm {F} :\mathrm {ALG}$ \ $to \mathrm {SET}$ 이 $\mathrm {F} :\mathrm {ALG} \to \mathrm {SET}$ 있습니다.반면에 $X\mapsto K[X]$ X $X\mapsto K[X]$ [ $X\mapsto K[X]$ ] ${\displaystyle$ X $\mapsto$ K $[X]}$ 는 $X\mapsto K[X]$ 반대 방향으로 $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$ $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$ $\{$ mathrm ${SET}$ \ $to \mathrm {ALG}$ 를 $\mathrm {POL} :\mathrm {SET} \to \mathrm {ALG}$ 정의합니다 $.$ ( $X$ 가 무한하다면, $K [X]$ 는 $X$ 의 유한한 수의 요소에 있는 모든 다항식의 집합입니다.)

다항식 고리의 보편적 특성은 $F$ 와 POL이 인접 함수라는 $것$ 을 의미합니다.즉, 편향이 있습니다.

\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathrm {SET}(X,\operatorname {F}(A)\cong \operatorname {Hom} _{\mathrm {ALG}(K[X],A)}.}

이것은 다항식 고리가 교환 대수 범주의 자유 객체이기 때문에 자유 교환 대수라고 말하는 것으로도 표현될 수 있습니다.마찬가지로 정수 계수가 있는 다항식 링은 변수 집합에 대한 자유 교환 링입니다. 정수에 대한 교환 링과 교환 대수는 동일하기 때문입니다.

계단식 구조물

링 위의 일변량 대 다변량

K[X1, …, Xn]의 다항식은 X[X1, …, Xn-1]환 K[X1, …, Xn-1] 위의 불확정 Xn({{n}})에서 일변량 다항식으로 간주할 수 있으며, Xn의 거듭제곱을 통해 X의 거듭제곱을 나타낸다,신분을 이용하여.

\displaystyle \sum _{(\alpha_{1},\alpha_{n})\in I}c_{\alpha_{1},\alpha_{n}X_{1}\cdots X_{n}^{\alpha_{n}=\sum_{i}(\sum_{(\alpha_{1},\ldots),\alpha_{n-1},\alpha_mid_{n1},\alpha_1},\alpha_{}

이는 링 작동의 분포성과 연관성에서 비롯됩니다.

이것은 대수 동형이 있다는 것을 의미합니다.

K[X_{1},\ldots,X_{n}]\cong(K[X_{1},\ldots,X_{n-1})[X_{n}]

각각의 지도를 자신에게 불확실하게 매핑합니다.(이 동형은 종종 등식으로 쓰이며, 이는 다항식 고리가 고유 동형까지 정의된다는 사실에 의해 정당화됩니다.)

즉, 다변량 다항식 링은 더 작은 다항식 링에 대한 일변량 다항식으로 간주될 수 있습니다.이것은 일반적으로 불확정치의 수에 대한 유도에 의해 다변량 다항식 링의 특성을 증명하는 데 사용됩니다.

이러한 주요 속성은 아래에 나열되어 있습니다.

$R$ 에서 R $[X]$ 로 전달되는 속성

이 $섹션$ 에서 R은 가환환, $K$ 는 $필드$ , X는 단일 불확정을 나타내며, 일반적으로 $\mathbb {Z}$ 는 $\mathbb {Z}$ 정수의 환입니다.다음은 R에서 $R$ $[X]$ 로 전달될 때 참으로 유지되는 주 링 속성 목록입니다.

$R$ 이 적분 도메인이면 R $[X]$ 에도 $동일$ 하게 적용됩니다(다항식의 곱의 선행 계수가 0은 아닐지라도 요인의 선행 계수의 곱이기 때문입니다).
- $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ K [ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ \ $displaystyle$ K $[X_{1},\ldots,X_{n}}$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Z [ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ …, $]$ \ $displaystyle \mathbb {Z}$ [ $X_{1},\ldots,X_{n}}$ 는 $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 적분 도메인입니다.
R이 고유 인수분해 $도메인$ 이면 R $[X]$ 에도 동일한 값이 적용됩니다.이는 가우스의 부제와 L $L[X],$ [ $],$ {{ $displaystyle$ L $[X]}$ 의 $L[X],$ 고유 인수분해 특성에서 비롯됩니다. $여기$ 서 L은 R의 $분수$ 필드입니다.
- $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ K [ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ \ $displaystyle$ K $[X_{1},\ldots,X_{n}}$ 및 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ [ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ …, $]$ \ $displaystyle \mathbb {Z}$ [ $X_{1},\ldots,X_{n}}$ 는 $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 고유 인수분해 도메인입니다.
$R$ 이 괴테리안 고리라면, $R [$ X]도 $마찬가지$ 입니다.
- $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ K [ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ \ $displaystyle$ K $[X_{1},\ldots,X_{n}}$ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Z [ $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ …, $]$ \ $displaystyle \mathbb {Z}$ [ $X_{1},\ldots,X_{n}]$ 는 $\mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 노테리안 고리이며, 이것이 힐베르트의 기저 정리입니다.
R이 괴테리안 $고리$ 라면, $\dim R[X]=1+\dim R,$ $\dim R[X]=1+\dim R,$ [ $\dim R[X]=1+\dim R,$ ] $=$ + ⁡ $,$ {\ $displaystyle \dim$ R $[X$ ] = 1+\ $dim$ R $,$ $\dim$ 서 $\dim$ "dim {\ $displaystyle \dim$ 은 크룰 차원을 나타냅니다.
- $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ , dim $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ $K$ $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ [ $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ , $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ … , $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ n ] $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ $\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$ {{ $dim K[X_{1,\ldots,$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ ${n$ }}= $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ $}$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ Z [ X $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ , $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ … , $\dim \mathbb {Z} [X_{1},\ldots ,X_{n}]=n+1.$ X n ] $=$ n + $.$ {\ $dim \mathbbb {Z}$ [ $X_{1,\ldots,X_{n$ }= $n+1}.$
$만약$ R이 규칙적인 고리라면, R[ $X]$ 에 대해서도 마찬가지입니다. 이 경우, 다음과 같이 됩니다.
$\"표시 스타일 \operatorname {gl} \,\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,}$
$\operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,$
여기서 " ${{displaystyle \operatorname {gl} \,\dim$ 은 전역 차원을 나타냅니다.
- 특히, K[X1, …, Xn] \displaystyle K[X_{1},\ldots,X_{n}} 및 Z[X1, ..., Xn] \displaystyle \mathbb{Z}[X_{1},\ldots,X_{n}]는 규칙적인 고리, 희미한 고리, 희미한 고리 Z[X1, X_{n},{n},{n},\dimterdisplaystyledyle{{{n},\d},\d}이다 $이름 {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots,X_{n}]=n.}$ $\operatorname {gl} \,\dim K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n.$ 후자의 동일성은 힐베르트의 사이지 정리입니다.

필드에 대한 여러 개의 불확실성

필드에 대한 여러 변수의 다항식 고리는 불변 이론과 대수 기하학에서 기본입니다.위에서 설명한 것과 같은 일부 특성은 단일 불확실성의 경우로 축소될 수 있지만 항상 그렇지는 않습니다.특히, 기하학적 응용 때문에, 많은 흥미로운 속성들은 불확실성의 아핀 또는 투영 변환 하에서 불변해야 합니다.이는 종종 불확실성에 대한 반복에 대한 불확실성 중 하나를 선택할 수 없음을 의미합니다.

베주트의 정리, 힐베르트의 널스텔렌사츠 및 야코비안 추측은 필드에 대한 다변량 다항식에 특정한 가장 유명한 특성 중 하나입니다.

힐베르트의 널스텔렌사츠

널스텔렌사츠(Nullstellensatz, 독일어로 0-로커스 정리)는 다비드 힐베르트에 의해 처음으로 증명된 정리로, 대수학의 기본 정리의 일부 측면에서 다변량 사례로 확장됩니다.K $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ [ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $]$ {{ $displaystyle$ K $[X_{1},\ldots,X_{n}}}$ 의 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 대수적 특성과 암시적 다항식에 의해 정의된 (대략적으로 말하면) 점 집합인 대수적 다양성의 기하학적 특성 사이에 강력한 연관성을 확립함으로써 대수 기하학의 기초가 됩니다.

Nullstellensatz에는 세 가지 주요 버전이 있으며, 각 버전은 다른 버전의 결과입니다.이러한 버전 중 두 가지가 아래에 나와 있습니다.세 번째 버전의 경우, 독자는 Nullstellensatz에 대한 주요 기사를 참조합니다.

첫 번째 버전은 0이 아닌 일변량 다항식이 상수가 아닌 경우에만 복소 0을 갖는다는 사실을 일반화합니다.진술: K $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ [ $X1,$ $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $Xn]$ 의 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $일련$ 의 다항식 $S$ 는 1이 S에 $의해$ 생성된 이상에 속하지 않는 경우에만 $K$ 를 $포함$ 하는 대수적으로 닫힌 필드에서 공통 0을 갖습니다 $.$ 즉, 1이 다항식 계수를 갖는 S 요소의 선형 조합이 아닌 $경우$ 입니다.

두 번째 버전은 복소수에 대한 환원 불가능한 일변량 다항식이 X - α.{\displaystyle X-\alpha} 형식의 다항식과 관련이 있다는 사실을 일반화한다… $⟩$

베주트 정리

베주트의 정리는 $배수로$ 계산할 경우, 차수 n의 $일변량$ 다항식이 n개의 복소근을 갖는다고 주장하는 대수학의 기본 정리 버전의 다변량 일반화로 볼 수 있습니다.

이변량 다항식의 경우, 0이 다중성으로 계산되고 무한대에 0을 포함하는 경우, 양의 정도의 공통 인자가 없는 두 변수의 $d$ 와 d의 두 다항식이 계수를 포함하는 대수적으로 닫힌 필드에서 $정확히$ 공통 0을 갖는다고 말합니다.

일반적인 경우를 설명하고 "무한에서 0"을 특수 0으로 고려하지 않는 경우, 동질 다항식으로 작업하고 투영 공간에서 0을 고려하는 것이 편리합니다.이 맥락에서, 균질 다항식 P(X0, …, Xn)의 투영 영은 척도까지 K의 (n+1)-자수 (x0, …, xn)의 (n+1)-자수 (x0, …, xn)의 (x0, …, xn)의 (x_0, …, x_n)의 (x_0, x_n)와 다른 요소들의 (x=0, x_0, x_n)의 (x_n)의 (x_n)의 투영 영점이다여기서, "스케일링까지"는 (x 0, …, x n ) {\displaystyle (x_{0,\ldots,x_{n})}와 ( λ x 0, …, λ x n) {\displaystyle (\lambda x_{0}, \ldots, \lambda x_{n}}}이 0이 아닌 임의의 임의의 임의의 0이 아닌 공간에서 동일한 영점으로 간주됨을 의미한다f $차원$ n

그런 다음, 베주트의 정리는 다음과 같이 명시합니다: $n$ + 1 $불확정치$ 에서 $d_{1},\ldots ,d_{n}$ $d_{1},\ldots ,d_{n}$ $d_{1},\ldots ,d_{n}$ {{ $displaystyle d_{1},\ldots,d_{n}$ 의 $d_{1},\ldots ,d_{n}$ n개의 균질 다항식이 주어졌을 때, 이들 $0$ 의 배수의 합은 $d_{1}\cdots d_{n}.$ 입니다. $displaystyle d_{1}\cdots d_{n}$ $}$

야곱의 추측

일반화

다항식 고리는 일반화된 지수를 가진 다항식 고리, 멱급수 고리, 비가환 다항식 고리, 스큐 다항식 고리 및 다항식 리그를 포함하여 매우 많은 방법으로 일반화될 수 있습니다.

무한히 많은 변수

다항식 고리의 한 가지 사소한 일반화는 무한히 많은 불확정성을 허용하는 것입니다.각 다항식은 여전히 유한한 수의 불확정 요소만 포함하고(그 정도가 유한하게 유지되도록), 각 다항식은 여전히 (유한) 단항식의 선형 조합입니다.따라서, 모든 개별 다항식은 무한히 많은 불확정성만을 포함하고, 다항식을 포함하는 유한 계산은 무한히 많은 불확정성 다항식의 일부 하위 링 안에 남아 있습니다.이 일반화는 일반적인 다항식 고리의 특성과 자유 교환 대수의 특성이 같고, 유일한 차이점은 무한 집합에 대한 자유 객체라는 것입니다.

또한 일반화된 다항식으로 한정된 정도를 갖는 무한한 (또는 유한한) 공식 단항식의 합을 정의하여 엄밀하게 더 큰 고리를 고려할 수 있습니다.이 링은 무한한 수의 변수를 포함하기 때문에 일반적인 다항식 링보다 큽니다.그러나 무한히 많은 변수에서 멱급수의 고리보다 작습니다.이러한 고리는 무한 집합에 대한 대칭 함수의 고리를 구성하는 데 사용됩니다.

일반화 지수

단순 일반화는 변수의 지수가 그려지는 집합만 변경합니다.지수를 추가할 수 있는 한 덧셈과 곱셈의 공식은 의미가 있습니다: Xⁱ ⋅ X^j = X^i+j. 덧셈이 의미가 있는 집합(닫힘 및 연관성)을 모노이드라고 합니다.모노이드 N에서 고리 R까지의 함수들의 집합은 R[N]이라고 알려진 고리의 구조, 즉 R에 계수가 있는 N의 모노이드 고리의 구조를 제공할 수 있습니다.덧셈은 성분별로 정의되므로 c = a + b이면 n개마다_n_n c = a + b입니다_n.곱셈은 Cauchy 곱으로 정의되므로, c = a µb이면 N의 각 n에_n 대해 c는 모든_i_j ab의 합이고 i, j는 n에 해당하는 N의 모든 원소 쌍에 걸쳐 있습니다.

N이 교환식일 때, R[N]의 함수 a를 공식 합으로 표시하는 것이 편리합니다.

{\displaystyle \sum _{n\in N}a_{n}X^{n}} 표시

그리고 덧셈과 곱셈의 공식은 다음과 같습니다.

표시 스타일 \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)+\left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}}

그리고.

표시 스타일 \left(\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\in N}\left(\sum _{i+j=n}a_{j}\right)X^{n}}

여기서 후자의 합이 모든 i, jin N 위에 그 합 n을 차지합니다.

(Lang 2002, II, §3)와 같은 일부 저자들은 이 모노이드 정의를 출발점으로 여기기까지 하며, 정규 단일 변수 다항식은 N이 음이 아닌 정수의 모노이드인 특수한 경우입니다.여러 변수의 다항식은 단순히 N을 음이 아닌 정수의 모노이드 여러 복사본의 직접 곱으로 간주합니다.

고리와 그룹의 몇 가지 흥미로운 예는 N을 음이 아닌 합리적 숫자의 덧셈 모노이드로 간주하여 형성됩니다. (Osbourne 2000, §4.4) hav 오류: 대상 없음: CITEREFOsbourne2000(도움말).Puiseux 시리즈를 참조하십시오.

멱급수

검정력 시리즈는 0이 아닌 항을 무한히 많이 허용하여 다른 방향으로 지수를 선택하는 것을 일반화합니다.이를 위해서는 지수에 사용되는 모노이드 N에 대한 다양한 가설이 필요하며, 이를 통해 코시 곱의 합이 유한 합이 되도록 해야 합니다.또는 위상을 링에 배치한 다음 수렴 무한 합으로 제한할 수 있습니다.N, 음이 아닌 정수의 표준 선택의 경우 문제가 없으며 공식 검정력 시리즈의 링은 성분별 추가 및 Cauchy 곱에 의해 주어진 N에서 링 R까지의 함수 집합으로 정의됩니다.멱급수의 고리는 x에 의해 $생성$ 된 이상에 대한 다항식 고리의 고리 완성으로도 볼 수 있습니다.

비가환 다항식 고리

변수가 둘 이상인 다항식 링의 경우 X⋅Y와 Y⋅X의 곱은 동일하게 정의됩니다.이 두 공식 곱 사이의 구별이 유지될 때 다항식 고리의 더 일반적인 개념이 얻어집니다.공식적으로, 링 R의 계수를 갖는 n개의 비 통근 변수의 다항식 링은 모노이드 링 R[N]이며, 여기서 모노이드 N은 n개의 문자에 대한 자유 모노이드이며, 연결에 의해 주어진 곱셈과 함께 n개의 기호의 알파벳에 대한 모든 문자열의 집합이라고도 합니다.계수와 변수는 서로 통근할 필요가 없지만 계수와 변수는 서로 통근합니다.

교환 링 R에 계수가 있는 n 변수의 다항식 링이 순위 n의 자유 교환 R 대수인 것처럼, 교환 링 R에 계수가 있는 n 변수의 비 교환 다항식 링은 n > 1일 때 교환되지 않는 자유 연상 R 대수 생성기입니다.

차동 및 스큐 다항식 링

다항식의 다른 일반화는 미분 및 스큐 다항식 고리입니다.

미분 다항식 링은 R과 R의 파생 δ에서 R로 형성된 미분 연산자의 링입니다.이 파생은 R에서 작동하며 연산자로 볼 때 X로 표시됩니다.R의 원소들은 또한 곱셈에 의해 R에 작용합니다.연산자의 구성은 일반적인 곱셈으로 표시됩니다.따라서 γ(ab) = aγ(b) + γ(a)b의 관계는 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있습니다.

디스플레이 스타일 X\cdot a=a\cdot X+\delta(a)입니다.

이 관계는 X의 두 다항식과 R의 계수 사이의 스큐 곱셈을 정의하도록 확장될 수 있으며, 이로 인해 비가환 링이 됩니다.

와일 대수라고 불리는 표준 예제는 R을 (π) 다항식 고리 k[Y]로 하고, π를 표준 다항식 도함수 π Y로 한다. 위의 관계에서 a = Y를 취하면, 표준 교환 관계인 X⋅Y - Y⋅X = 1을 얻는다y를 통해 명시적으로 웨일 대수를 구성할 수 있습니다. (Lam 2001, §1, ex1.9)

Xpolynomr = f(r)⋅X 관계에서 곱셈을 확장하여 표준 덧셈에 걸쳐 분포하는 연관 곱셈을 생성함으로써 R의 고리 R과 고리 내형 f에 대해 유사하게 정의됩니다.더 일반적으로, 양의 정수의 모노이드 N에서 R의 내형성 고리로 동형성 F가 주어지면, Xⁿ⋅r = F(n)(r)⋅Xⁿ 공식은 스큐 다항식 고리를 구성할 수 있습니다. (Lam 2001, §1, ex 1.11) 스큐 다항식은 교차 곱 대수와 밀접한 관련이 있습니다.

다항식 리그

다항식 링의 정의는 대수 구조 R이 필드 또는 링이라는 요구 조건을 완화하여 일반화할 수 있습니다. R은 반필드 또는 리그일 뿐입니다. 결과적으로 다항식 구조/확장 R[X]는 다항식 리그입니다.예를 들어, 자연수 계수를 갖는 모든 다변량 다항식의 집합은 다항식 리그입니다.

참고 항목

레퍼런스

^ 헤르슈타인 1975, 페이지 153
^ 헤르슈타인, 홀, 73쪽
^ Lang 2002, 페이지 97
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^ Eves, Howard Whitley (1980), Elementary Matrix Theory, Dover, p. 183, ISBN 9780486150277.
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Hall, F. M. (1969). "Section 3.6". An Introduction to Abstract Algebra. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 0521084849.
Herstein, I. N. (1975). "Section 3.9". Topics in Algebra. Wiley. ISBN 0471010901. polynomial ring.
Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Osborne, M. Scott (2000), Basic homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 196, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1278-2, ISBN 978-0-387-98934-1, MR 1757274

[1] 헤르슈타인 1975, 페이지 153

[2] 헤르슈타인, 홀, 73쪽

[3] Lang 2002, 페이지 97

[4] 헤르슈타인 1975, 페이지 154

[5] Lang 2002, 100페이지

[6] Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2012), Calculus Single Variable, Wiley, p. 31, ISBN 9780470647707.

[7] Sendra, J. Rafael; Winkler, Franz; Pérez-Diaz, Sonia (2007), Rational Algebraic Curves: A Computer Algebra Approach, Algorithms and Computation in Mathematics, vol. 22, Springer, p. 250, ISBN 9783540737247.

[8] Eves, Howard Whitley (1980), Elementary Matrix Theory, Dover, p. 183, ISBN 9780486150277.

[9] 헤르슈타인 1975, 155쪽, 162쪽

[10] 헤르슈타인 1975, 페이지 162

[11] Knapp, Anthony W. (2006), 기본 대수, Birkhauser, 121페이지

[12] Fröhlich, A.; Shepherson, J. C. (1955), "On the factorisation of polynomials in a finite number of steps", Mathematische Zeitschrift, 62 (1): 331–334, doi:10.1007/BF01180640, ISSN 0025-5874, S2CID 119955899

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용어.

다항식 평가

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파생

무제곱 인수분해

라그랑주 보간

다항식 분해

인수분해

최소 다항식

계수환

모듈

정의(다변량의 경우)

K $[X 1, ...,$ X $]$ 에서의_n 연산

다항식

범주형 특성화

계단식 구조물

링 위의 일변량 대 다변량

$R$ 에서 R $[X]$ 로 전달되는 속성

필드에 대한 여러 개의 불확실성

힐베르트의 널스텔렌사츠

베주트 정리

야곱의 추측

일반화

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