통합 도메인

대수구조 → 링 이론 링 이론
기본개념 반지. • 서브링 • 이상적 • 지수 링 • 분수 이상 • 분수의 총 링 • 제품 링 • 연관성 있는 알헤브라의 자유 제품 • 알헤브라의 텐서 제품 링 동형성 • 커널 • 내적 자동형성 • 프로베니우스 내형성 대수구조 • 모듈 • 연관 대수 • 그라데이션 링 • 비자발적 고리 • 링의 범주 • 초기 $링{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$ • 단자 링 $0{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 0$=\mathb {Z} _{1$} 관련 구조물 • 현장 • 유한장 • 비 연상 고리 • 리 링 • 조던 링 • 의미 부여 • 세미필드
정류대수학 정류 링 • 통합 도메인 • 통합적으로 닫힌 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 요인화 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 영역 • 현장 • 유한장 • 컴포지션 링 • 다항 링 • 공식 파워 시리즈 링 대수적 수 이론 • 대수적 수 필드 • 정수 링 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/반복 한계 • 제로 링 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} • Integers modulo pn $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbb{}}$ ${\$ • Prüfer p-링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \mathb {Z}(p^{\inflt })}$ • Base-p circle ring $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ • 기본-p $정수{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$} • p-adic $rationals{\displaystyle \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$[ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$] ${\displaystyle \mathb {Z} [1/p]}$ • Base-p $실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ • p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic number $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 $T{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 대수 기하학 • 아핀 버라이어티
비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
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수학, 특히 추상대수학에서 적분영역은 0이 아닌 두 원소의 산물이 0이 아닌 0이 아닌 다른 원소들의 산물이 0이 아닌 0이 아닌 정류 링이다.^[1][2] 통합 도메인은 정수의 링을 일반화한 것으로 구분성을 연구하기 위한 자연적인 설정을 제공한다. 적분 도메인에서, 모든 0이 아닌 원소 a는 취소 특성을 가지고 있다. 즉, ≠ 0이면 등가 ab = ac은 b = c를 의미한다.

"통합 영역"은 거의 보편적으로 위와 같이 정의되지만, 약간의 변동이 있다. 이 글은 링이 일반적으로 1로 표기되는 승법적 정체성을 가지고 있다는 관례를 따르지만, 일부 저자는 통합적 도메인에 승법적 정체성을 가지도록 요구하지 않음으로써 이를 따르지 않는다.^[3][4] 비 커밋된 통합 도메인은 때때로 인정된다.^[5] 그러나, 이 기사는 훨씬 더 일반적인 관례에 따라, "통합 도메인"이라는 용어를 교환 사례에 예약하고, "도메인"을 비협정 링을 포함한 일반 사례에 사용한다.

특히 Lang을 비롯한 일부 소스는 통합 도메인에 전체 링이라는 용어를 사용한다.^[6]

일부 특정 종류의 통합 도메인은 다음과 같은 클래스 포함 체인과 함께 제공된다.

rngs ⊃ rings ⊃ commutative ring ⊃ 적분 도메인 ⊃ 통합적으로 폐쇄된 도메인 ⊃ GCD 도메인 ⊃ 고유 인자화 도메인 ⊃ 주요 이상 도메인 ⊃ 유클리드 도메인 ⊃ 필드 ⊃ 대수적으로 폐쇄된 필드 fields.

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
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정의

적분 영역은 0이 아닌 두 원소의 곱이 0이 아닌 다른 두 원소의 곱이 0이 아닌, 0이 아닌 정류 링이다. 동등하게:

• 통합 영역은 0이 아닌 분기가 없는 0이 아닌 정류 링이다.
• 통합 영역은 0 이상 {0}이(가) 가장 이상적인 상호 교환적 링이다.
• 통합 영역은 0이 아닌 모든 요소가 곱셈에 따라 취소할 수 있는 0이 아닌 교환 링이다.
• 적분 영역은 0이 아닌 원소의 집합이 곱하기 아래의 역교합 단모형인 링이다(단모형은 곱하기 때문에).
• 통합 영역은 0이 아닌 모든 요소 r에 대해 링의 각 요소 x를 제품 xr에 매핑하는 기능이 주입되는 비제로 정류 링이다. 이 성질을 가진 원소 r을 정규이라고 부르므로, 링의 0이 아닌 모든 원소를 정규 원소로 요구하는 것과 같다.
• 적분영역은 한 필드의 서브링에 이형화된 링이다. (적분영역을 주어 분수영역에 내장할 수 있다.)

예

• 전형적인 예로는 모든 정수의 링$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 있다.
• 모든 분야는 필수적인 영역이다. 예를 들어, 모든$$ 실수 중 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$필드는 통합 도메인이다. 반대로 모든 아르티니아 필수 영역은 들판이다. 특히 모든 유한 적분 영역은 유한한 필드(더 일반적으로 웨더번의 작은 정리로는 유한한 영역은 유한한 필드)이다. 정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 링은 다음과 같은 이상의 무한 내림차순을 가진, 필드가 아닌 비아티니아 무한 적분 영역의 예를 제공한다$$.

${\displaystyle \mathb {Z} \supset 2\mathb {Z} \supset \cdots 2^{n}\mathb {Z} \supset 2^{n+1}\mathb {Z} \supset \cdots}}$

• 다항식 링은 계수가 적분 도메인에서 나온 경우 적분 도메인이다. For instance, the ring ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ of all polynomials in one variable with integer coefficients is an integral domain; so is the ring ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ of all polynomials in n-variables with complex coefficients.

• 이전의 예는 주요한 이상에서 인용한 것을 취함으로써 더욱 악용될 수 있다. 예를 들어 평면 타원곡선에 해당하는$$ $링{\displaystyle \mathbb{}}$ C${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$ 2${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{x}}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle \mathb {C}[x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2)}$는 일체형 도메인이다. 통합성은 y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$이(가) 수정 불가능한 다항식임을 표시하여 확인할 수 있다.

• 그 반지 Z[)]/(x2n−)≅ Z[n]{\displaystyle \mathbb{Z}[)](x^{2}-n)\cong\mathbb{Z}[{\sqrt{n}}]}은 정역에 대한non-square 정수 n{n\displaystyle}. 만약 n>0{\displaystyle n>0}, 그 때 이 반지는 항상 subring의 R{\displaystyle \mathbb{R}}, 그렇지 않으면 i.t는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$. ${\displaystyle \mathb {C}$의 하위 문자열

• p-adic 정수 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 링은 일체형 도메인이다$$.

• $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) $복합{\displaystyle \mathbb{}}$ 평면 C ${\$$mathb$ ${C$$}}$의 연결된 열린 부분 집합인 경우$,$ 모든 홀모픽 함수로 구성된$$ 링 $)$가 통합 도메인이다$.$ 분석 매니폴드의 연결된 개방형 서브셋의 분석 기능 링에 대해서도 동일하다.

• 일반 로컬 링은 필수 영역이다. 사실 일반 국부 링은 UFD이다.^[7][8]

비예시

다음 링은 통합 도메인이 아니다.

• 제로 링($0{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0=1$}이$($가) 있는 링).$$

• m이 복합수일 때 지수$$ 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ 실제로 적절한 $요인화{\displaystyle }$ m${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m=xy}($$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$이(가) 1 ${\displaystyle 1$} $또는$ m$${\$displaystym m}$과(으) 같지 않음을 의미)를 선택하십시오.$$ 그런 다음 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \not\equiv }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle m}$ ${\$ 0${\$$bmod{m},$ $y$$mod$ ${\displaystyle 0}$ mod 0$$mod {\$displaysty$y\$not \not$ \$bmod},$x ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle mod}$ 0 ${\displaystyle mod}$ ${\$0$}{\$equiv {$mod$

• 0이 아닌 두 개의 반향 링의 제품. 그러한 제품 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \times }$ S$${\$displaystyle R\times S}$에서$,$ 1은 (${\displaystyle 1},{\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdot }$( 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=$ ($0,0)}$을 가지고 있다$.$

• The quotient ring ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$ for any ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. The images of ${\displaystyle x+n}$ and ${\displaystyle x-n}$ are nonzero, while their product is 0 in this ring.

• The ring of n × n matrices over any nonzero ring when n ≥ 2. If ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ are matrices such that the image of ${\displaystyle N}$ is contained in the kernel of ${\displaystyle M}$, then ${\displaystyle MN=0}$. For example, this happens for ) ${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix$

• The quotient ring ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$ for any field ${\displaystyle k}$ and any non-constant polynomials ${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$. 이 지수 링에서 f와 g의 이미지는 0인 0이 아닌 원소들이다. 이 주장은 동등하게${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (fg)}$이(가) 주된 이상이 아님을 보여준다. 이 결과의 기하학적 해석은 fg의 0이 일반적으로 해석할 수 없는(즉, 대수적 다양성이 아닌) 아핀 대수 집합을 형성한다는 것이다. 이 대수 집합이 해독할 수 없는 유일한 경우는 fg가 동일한 대수 집합을 정의하는 불가해한 다항식의 힘일 때뿐이다.

• 장치 간격에 대한 연속적인 기능 링. 기능 고려

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) 0 도처에 ${\displaystyle \mathrm{없지만}}$f g {\$displaystyle fg}$은(는) 0 도처에 없다$$.

• The tensor product ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$. This ring has two non-trivial idempotents, ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ and ${\displaystyle e_2=\frac{1}{2}(1\otimes 1)+\frac{1}{2}(i\otimes i)}$${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{$1}:{$2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{1}:{1$}{1}{1}($i\otimes$ i$)\}\}\}$ . 이들은 직교형이며, $즉{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ e${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle e_{$1}$e_{2}=0$ $따라서{\displaystyle \mathbb{}}$ C ${\displaystyle \otimes {}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle C_{}\mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {C} \otimes _{\mathb {R}}\mathb {C}}}}$은 도메인이$$ 아니다. In fact, there is an isomorphism ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ defined by ${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$. Its inverse is defined by ${\disp$$레이스타일 z\otimes w\mapsto(zw,z{\overline {w$ 이 예제는 교정할 수 없는 접착제의 섬유 생산물이 교정할 필요가 없음을 보여준다.

불분명한 요소, 주요 요소 및 수정할 수 없는 요소

이 절에서 R은 필수 영역이다.

R의 원소 a와 b를 보면, a가 b를 나누거나, a가 b의 divisor 또는 b가 a의 배수라고 한다. 만약 r에 도끼 = b와 같은 원소 x가 존재한다면 말이다.

R의 단위는 1을 나누는 요소들이며, 이것들은 정확히 R에서 변환 가능한 요소들이다. 단위는 다른 모든 원소를 나눈다.

a가 b와 b를 나누면 a와 b는 연관 요소 또는 관계된 요소들이다.^[9] 동등하게 a = ub인 경우 a와 b는 연관성이 있다.

수정 불가능한 요소는 0이 아닌 비 단위로서 두 개의 비-유닛의 제품으로 작성할 수 없다.

nonzero non-un-unit p는 p가 ab 제품을 나눌 때마다 p가 a 또는 p를 b로 나눈다면 주요 원소다. 마찬가지로 원소 p는 원소 이상(p)이 0이 아닌 원소 이상일 경우에만 prime이다.

취소할 수 없는 요소와 기본 요소에 대한 두 개념은 $모두{\displaystyle \mathbb{}}$ 음의 소수점을${\displaystyle }$프라임으로 간주하는 경우$$$링$ Z , ${\$displaystyle$\mathb$ {$Z}$에서 소수점 일반적인 정의를 일반화한다.

모든 주요 요소는 되돌릴 수 없다. The converse is not true in general: for example, in the quadratic integer ring ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ the element 3 is irreducible (if it factored nontrivially, the factors would each have to have norm 3, but there are no norm 3 elements since ${\displaystyle a^$${2}+5b^{2$$}=3}$에는 정수 해결책이 없지만$$ 프라임은 없다(두 가지 ${\displaystyle 요인\mathrm{}}$ 중 하나를 나누지 않고$$ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{3분할}}}({\displaystyle }$2${\displaystyle }$+${\displaystyle \sqrt{}}$- 5${\displaystyle }$)${\${-5$}\우측)\좌측(2-{\sqrt{-5}\우측)).$ 고유한 요인화 도메인(또는 더 일반적으로 GCD 도메인)에서, 되돌릴 수 없는 요소는 주요 요소다.

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$[${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$에 고유한 인수화가 없는 반면, 이상에는 고유한 인수화가 있다$.$ 라스커-노에더 정리를 참조하십시오.

특성.

• R의 이상적인 (0)이 가장 이상적인 이상일 경우에만 역환 R은 필수 영역이다.
• 만약 R이 정류 링이고 P가 R에서 이상이라면, P가 최상 이상일 경우에만 지수 링 R/P는 필수 영역이다.
• R을 필수 영역으로 두자. 그런 다음 R을 통한 다항식 링(모든 수의 인디테터미네이트)이 통합 도메인이다. 특히 R이 필드인 경우 그렇다.
• 취소 특성은 일체형 영역에 있다: 일체형 영역에 있는 a, b, c에 대해, ≠ 0과 ab = ac이면 b = c. 이렇게 말하는 또 다른 방법은 함수 x ↦ 도끼가 도메인에서 nonzero a에 대해 주입된다는 것이다.
• 취소 속성은 xI = xJ인 경우 x가 0이거나 I = J인 모든 통합 영역의 이상에 대해 보유한다.
• 통합 영역은 최대 이상에서 지역화의 교차점과 동일하다.
• 통합 영역의 귀납적 한계는 필수 영역이다.
• $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,B}$이(가) 대수적으로 닫힌 필드 k에 대한 통합 도메인이라면$$, $A{\displaystyle {}_{}}$⊗ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B}$은(는) 통합 도메인이다$$. 이는 힐베르트의 nullstellensatz의 결과물이며,^{[note 1]} 대수 기하학에서는 대수적으로 닫힌 장에 걸쳐 있는 두 아핀 대수 변종들의 생산물의 좌표 링이 다시 적분 영역이라는 진술을 내포하고 있다.

분수장

적분영역 R의 분수 K 필드는 a/b의 분수 집합이며, R과 b b 0 modulo 적절한 동등성 관계를 가지고 있으며, 통상적인 덧셈과 곱셈 연산을 갖추고 있다. R에서 K를 통해 필드 인자에 이르는 모든 주입 링 동형성 R → K가 있다는 의미에서 "R을 포함하는 가장 작은 필드"이다. 정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 링 분율 필드는 합리적인 $숫자{\displaystyle \mathbb{}}$ Q${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathb {Q}.}$ 필드의 분율 필드는$$ 필드 자체에 이형성이 있다.

대수 기하학

적분 영역은 축소(x² = 0은 x = 0을 의미함) 및 수정 불가(즉, 최소 하나의 기본 이상만 존재함) 조건으로 특징지어진다. 전자의 조건은 반지의 영선성이 0임을 보장하여 모든 반지의 최소 프리임의 교차점이 0이 되도록 한다. 후자의 조건은 그 반지가 하나의 최소 프라임만을 가지고 있다는 것이다. 줄여서 되돌릴 수 없는 반지의 독특한 최소 프라임 이상은 제로 이상이기 때문에 그러한 반지는 필수적인 영역이다. 반대는 분명하다: 일체형 영역은 0이 아닌 영점 원소를 가지고 있지 않으며, 영점 이상은 고유한 최소 소수 이상이다.

이것은 대수 기하학에서 아핀 대수 집합의 좌표 링이 만약 대수 집합이 대수적 품종이라면 그리고 오직 대수 집합이 대수적 품종인 경우에만 적분 영역이라는 사실로 해석된다.

더 일반적으로, 교환 링은 그것의 스펙트럼이 통합 부속 체계인 경우에만 통합 영역이다.

특성 및 동형성

적분 영역의 특성은 0 또는 소수다.

R이 주요 특성 p의 일체형 영역이라면 프로베니우스 내형성 f(x) = x는^p 주입형이다.

참고 항목

위키북 추상대수학에는 다음과 같은 주제에 관한 페이지가 있다. 통합 도메인

• 데데킨드-하세 표준 – 통합 도메인이 주체가 되는 데 필요한 추가 구조
• 영상품 속성

메모들

참조

• Adamson, Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Algebra, Chapters 1–3. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra. New York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. MR 0214415.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Hungerford, Thomas W. (2013). Abstract Algebra: An Introduction (3rd ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 211. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556.
• Sharpe, David (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6.
• Rowen, Louis Halle (1994). Algebra: groups, rings, and fields. A K Peters. ISBN 1-56881-028-8.
• Lanski, Charles (2005). Concepts in abstract algebra. AMS Bookstore. ISBN 0-534-42323-X.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). An introduction to group rings. Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
• B.L. 판 데어든, 대수학, 스프링거-베를라크, 베를린 하이델베르크, 1966.

외부 링크

• "where does the term "integral domain" come from?".