자유대수학

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수학에서, 특히 링 이론으로 알려진 추상 대수학 영역에서, 자유 대수학은 다항 링의 요소가 비고정 변수를 가진 "폴리노멀"로 설명될 수 있기 때문에 다항 링의 비고정 아날로그다.마찬가지로 다항식 링은 자유 정류 대수학으로 간주될 수 있다.null

정의

R a communative ring의 경우 nindeterminates {X₁,...,X}에 대한 free(연관, 단원) 대수는 {X₁,...,X_nn} 알파벳 전체에 걸쳐 모든 단어로 구성된 기초를 가진 free R-module이다(자유대수의 단위인 빈 단어 포함).이 R-모듈은 다음과 같은 곱셈을 정의하여 R-알지브라(R-algebra)가 된다: 두 가지 기본 원소의 산물은 해당 단어의 결합이다.

${\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}$

그리고 두 임의의 R-모듈 요소의 곱은 따라서 독특하게 결정된다(R-알지브라 내의 곱셈은 R-이필린이어야 하기 때문이다).이 R-알지브라는 R-알지브라는₁ R-X,...,X로_n 표시된다.이 구조는 임의의 세트의 인디테마네이트 X로 쉽게 일반화될 수 있다.null

간단히 말해 $임의{\displaystyle }$ 집합 X${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {Xi}_{};{}_{}}$ i ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I\}}$ ${\displaystyle$ X$=\{X_{i}\,\;i\in I\}}$의 경우$$X에 대한 자유(연관적, 단항적) R-algebra는

${\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}$

단어에 결합된 R-편향 곱셈과 함께, 여기서 X*는 X에 있는 자유 단모형(즉, X에_i 있는 단어)을 나타내고, $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$은 외부 직접 합을 나타내며$$, 르완은 w라는 한 요소에 대한 자유 R-모듈을 나타낸다.null

예를 들어, RxX₁, X₂₃, X, X₄⟩에서 스칼라 α, β, Δ Δ R의 경우, 두 원소의 생산물의 구체적인 예는 다음과 같다.

${\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{$$1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}$.

비확정 다항식 링은 X에_i 있는 모든 유한한 단어의 자유 단어의 R 위에 있는 모노이드 링으로 식별할 수 있다.

다항식과의 대비

문자 {X₁, ...,X_n}을 통한 단어가 R⟨X₁,...,X_n⟩의 기초를 형성하므로, R⟨X₁,...,X_n⟩의 어떤 요소도 다음과 같은 형태로 고유하게 쓰여질 수 있다는 것은 분명하다.

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

여기서 ${\displaystyle {i{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$.${\displaystyle {}_{}}$. . ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\$ ...,$i_{k}}$는 R의 원소이며 이러한 원소들 중 거의 대부분이 0이다.왜 R⟨X1의 요소를...,Xn⟩ 종종"non-commutative 다항식"로"변수"(또는"indeterminates")X1에서 지적되어 있습니다. 이건...,Xn, 요소를 명확히 설명 1,2,..., 나는 k{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}} 이러한 다항식, 그리고 R-algebra R⟨X1,"계수"고 있다고 한다...,Xn⟩에 불리는 있다고 설명했습니다.e은``아무런"n indeterminates"에서 R에 대한 n-commutional 다항식 대수.실제 다항식 링에서와 달리 변수는 통근하지 않는다는 점에 유의하십시오.예를 들어 XX는₁₂ XX와₂₁ 같지 않다.null

보다 일반적으로, 발전기의 모든 집합 E에 자유 대수 R⟨E⟩을 구성할 수 있다.링은 Z-알제브라스로 간주될 수 있으므로 E의 자유 링은 자유 대수 Z⟨Ee으로 정의할 수 있다.null

한 분야에 걸쳐 nindeterminate에 대한 자유대수는 n차원 벡터 공간의 텐서 대수로서 구성될 수 있다.보다 일반적인 계수 링의 경우, 발전기 n개에 대한 자유 모듈을 사용해도 동일한 구조가 작동한다.null

E에 대한 자유 대수학의 건설은 본질적으로 functorial이며 적절한 보편적 특성을 만족시킨다.자유 대수 펑터는 R-알게브라의 범주에서 집합 범주에 이르기까지 건망증이 심한 펑터에게 보조를 맞춘다.null

디비전 링 위에 있는 프리 알헤브라는 자유 이상 링이다.null

참고 항목

• 코프리스탄지브라
• 텐서 대수
• 자유 객체
• 논커밋 링
• 이성 계열

참조

• Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007.
• L.A. Bokut' (2001) [1994], "Free associative algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press