대칭 함수의 고리

대수학에서, 특히 대수 조합론에서 대칭 함수의 고리는 n이 무한대로 가기 때문에 n개의 불확정한 대칭 다항식의 고리의 특정 한계입니다.이 고리는 대칭 다항식 사이의 관계가 불확정한 수 n에 독립적인 방식으로 표현될 수 있는 보편적인 구조 역할을 합니다(그러나 그 요소는 다항식도 함수도 아닙니다).무엇보다도, 이 고리는 대칭군의 표현 이론에서 중요한 역할을 합니다.

대칭 함수의 고리는 공곱과 쌍선형 형태가 주어져 교환 및 공환 모두인 양의 자기 결합 등급 호프 대수로 만들 수 있습니다.

대칭 다항식

대칭 함수의 연구는 대칭 다항식의 연구를 기반으로 합니다.어떤 유한한 불확정 요소들의 집합에 있는 다항식 고리에서, 어떤 식으로든 불확정 요소들이 순열될 때마다 다항식이 동일하게 유지된다면, 다항식은 대칭이라고 불립니다.더 공식적으로, 다항식 고리에 대칭군_n S의 고리 자동화에 의한 작용이 n개의 불확정한 고리에 대해 작용하며, 사용된 순열에 따라 각각의 불확정한 것을 다른 것으로 동시에 치환함으로써 순열이 다항식에 대해 작용합니다.이 작용에 대한 불변량은 대칭 다항식의 하위 링을 형성합니다.만약 불확정치가 X₁, ..., X라면_n, 그러한 대칭 다항식의 예는 다음과 같습니다.

${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,}$

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,}$

그리고.

${\displaystyle X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,}$

좀 더 복잡한 예는₁³₂₃ XXX + XXX₁₂³₃₁₂₃³ + XXX₁³₂₄ + XXX₁₂³₄ + XXX₁₂₄³ + XXX + ...입니다.어떤 변수와 다른 두 변수의 세 번째 거듭제곱의 모든 곱을 포함하는 합계입니다.기본 대칭 다항식, 거듭제곱 대칭 다항식, 단항 대칭 다항식, 완전 균질 대칭 다항식, 슈르 다항식과 같은 많은 특정한 종류의 대칭 다항식이 있습니다.

대칭 함수의 고리

대칭 다항식 사이의 대부분의 관계는 n개의 불확정치에 의존하지 않습니다. 단, 관계에 있는 일부 다항식은 정의하기 위해 n개가 충분히 커야 할 수 있습니다.예를 들어, 세 번째 거듭제곱 다항식₃ p에 대한 뉴턴의 항등식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle p_{3}(X_{1},\ldots,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots,X_{n}),$

여기서 ${$는 기본 대칭 다항식을 나타냅니다. 이 공식은 모든 자연수 n에 대해 유효하며, n< k일 때 e(X₁,...,X_n) = 0이라는 것이_k 유일한 의존성입니다.이것을 신원으로 쓰고 싶습니다.

${\displaystyle p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}}}$

이는 n에 전혀 의존하지 않으며 대칭 함수의 링에서 수행될 수 있습니다.이 링에는 모든 정수 k ≥ 1에 대한 0이 아닌 요소_k e가 있으며, 이 링의 모든 요소는 요소_k e의 다항식으로 제공될 수 있습니다.

정의들

대칭 함수의 고리는 임의의 교환 링 R에 대해 정의될 수 있으며 Δ로_R 표시됩니다. 기본적인 경우는 R = Z입니다.고리 Δ는_R 사실 등급이 매겨진 R 대수입니다.두 가지 주요 구조가 있습니다. 아래에 제시된 첫 번째 구조는 (Stanley, 1999)에서 찾을 수 있으며, 두 번째 구조는 본질적으로 (Macdonald, 1979)에서 제시된 구조입니다.

공식적인 멱급수의 고리로서

가장 쉬운 구성은 R 위의 공식 멱급수 R[[X1, X2, . . ] {\displaystyle R[X_{1, X_{2, ...]}의 고리로 시작한다다항식, 여기서 각 다항식은 무한히 많은 유한 거듭제곱의 곱입니다.하나는 Δ를_R 다음을 만족하는 멱급수 S로 구성된 하위 링으로 정의합니다.

1. S는 불확정치의 임의의 순열 하에서 불변하며,
2. S에서 발생하는 단항성의 정도는 경계가 있습니다.

두 번째 조건 때문에 여기서는 검정력 시리즈가 가능한 모든 차수의 항을 합하는 것이 아니라 고정 차수의 항을 무한히 많이 허용하는 경우에만 사용됩니다.예를 들어 X 항을₁ 포함하는 요소는 대칭을 이루려면 i > 1마다 X 항을_i 포함해야 하기 때문에 이를 허용해야 합니다.전체 멱급수 링과 달리, 서브링 Δ는_R 단항성의 총 정도에 따라 등급이 매겨집니다. 조건 2로 인해 Δ의_R 모든 요소는 Δ의_R 동종 요소의 유한 합입니다(그 자체는 동일한 정도의 무한 합입니다).모든 k ≥ 0에 대해, 원소_k e ∈ λ_R ▁is는 k개의 뚜렷한 불확정성의 모든 곱의 공식 합으로 정의되며, 이는 분명히 k개의 차수가 균일합니다.

대수적 한계로서

Δ의_R 또 다른 구성은 설명하는 데 다소 더 오래 걸리지만, 대칭 다항식의 고리 R[X₁,...,X_n]^S_n와의 관계를 부정기적으로 더 잘 나타냅니다.모든 n에 대하여, 마지막 불확정_n+1 X를 0으로 설정함으로써 정의되는 R[X₁,...,X_n+1n]^S_n+1S_n에 하나의 불확정한 것이 더 있는 유사환₁ R[X,...,X]로부터의 사영환 동형이 있습니다_n.ρ은_n 사소한 커널을 가지고 있지만, 그 커널의 0이 아닌 요소들은 적어도 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ {$displaystyle n$ +$1}$ 정도를 가지고 있습니다(XX의 배수입니다₁₂.... 이는 최대 n개의 도 원소에 대한 π의_n 제한이 모든 k ≤ n에 대해 π_n(e_k(X₁,...,X_n+1)) = e_k(X₁,...,X_n)임을 의미합니다._n+1이 제한의 역은 대칭 다항식의 기본 정리에서 예를 들어 다음과 같이 R[X₁,...,X_n]^S_n에서₁ R[X,...,X_n+1]^S_n+1로 고리 동형 δ로_n 고유하게 확장될 수 있습니다.k = 1,...,n에 대한 이미지 γn(ek(X1,...,Xn) = ek(X1,...,Xn+1) for k 1 1,...,n은 여전히 대수적으로 독립적이기 때문에, 동형질 γn은 주입적이고 고리의 포함으로 볼 수 있다 현재의.고리 Δ는_R 이러한 포함 대상이 되는 모든 고리의 "결합"(직접 한계)입니다.모든_n φ은_R 관련된 링의 총 정도에 따라 등급과 호환되므로 λ은 등급이 지정된 링의 구조를 얻습니다.

이 구성은 (Macdonald, 1979)의 구성과 약간 다릅니다.그 구성은 주입 형태론을_n 언급하지 않고 오직 주관적 형태론만을_n 사용합니다: 그것은 Δ의_R 균질한 구성 요소를 별도로 구성하고 Δ를_n 사용하는 링 구조로 그들의 직접 합계를 구비합니다.그 결과는 등급이 매겨진 고리의 범주에서 역한계로 설명될 수 있다는 것도 관찰됩니다.그러나 그 설명은 주입 형태의 직접 한계에 전형적인 중요한 특성, 즉 모든 개별 요소(대칭 함수)가 한계 구성에 사용되는 일부 객체, 여기서 R[X₁,...,X_d]^S_d에 이미 충실하게 표현되어 있다는 것을 다소 모호하게 합니다.대칭 함수의 정도를 취하는 것으로 충분한데, 이는 해당 고리의 d도 부분이 모든 n개의 d에 대해_n 더 많은 불확정성을 갖는 고리와 동형적으로 매핑되기 때문입니다.이는 개별 요소 간의 관계를 연구하는 경우 대칭 다항식과 대칭 함수 사이에 근본적인 차이가 없음을 의미합니다.

개별 대칭 함수 정의

Δ의_R 요소에 대한 "대칭 함수"라는 이름은 잘못된 이름입니다: 두 구성 모두 요소 함수가 아니며, 실제로 대칭 다항식과 달리 독립 변수의 함수는 이러한 요소와 연관될 수 없습니다(예를 들어₁ e는 무한히 많은 변수의 합입니다).변수에 제한이 적용되지 않는 한 정의되지 않음).그러나 그 이름은 전통적이고 잘 확립되어 있다; 그것은 (Macdonald, 1979) 두 곳에서 모두 발견될 수 있다, (12페이지의 각주)

Δ의_n 원소는 더 이상 다항식이 아닙니다. 공식적으로 무한한 단항식의 합입니다.따라서 우리는 대칭 함수의 오래된 용어로 되돌아갔습니다.

(여기서 Δ는_n 대칭 다항식의 고리를 n개의 불확정치로 나타냄), 또한 (Stanley, 1999).

대칭 함수를 정의하려면 첫 번째 구성에서와 같이 멱급수를 직접 나타내거나 두 번째 구성과 호환되는 방식으로 모든 자연수 n에 대해 n개의 불확정치로 대칭 다항식을 제공해야 합니다.예를 들어, 불특정 다수의 불확정한 숫자의 표현식은 두 가지 모두를 수행할 수 있습니다.

${\displaystyle e_{2}=\sum _{i<j}X_{j}\,}$

불확정치의 수가 무한한 경우 기본 대칭 함수의 정의로 간주하거나, 임의의 유한한 수의 불확정치에서 기본 대칭 다항식의 정의로 간주할 수 있습니다.동일한 대칭 함수에 대한 대칭 다항식은 동형 ρ_n(불확정치의 수를 줄이는 것은 일부를 0으로 설정하여 나머지 불확정치의 어떤 다항식의 계수도 변하지 않도록 함)과 호환되어야 하며, 그 정도는 제한된 상태로 유지되어야 합니다.(두 조건을 모두 만족시키지 못하는 대칭 다항식 군의 예는${\displaystyle \underset{\pi }{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{i}}}}$$=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {Xi}_{}}$\$displaystyle \textstyle$ \$displaystyle$\$displaystyle$$_{i$1$}^{$n}X_${$$i$})이고, 군${\displaystyle \underset{\pi }{\overset{}{}}}$ i = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$(${\displaystyle {Xi}_{}}$ $)$ \$displaystyle$ \$textstyle$ \displaystyle \textstyle \d {n$}(X_{i$}^{$i})$는 두 조건만 두 조건을 만족하지 않습니다.n개의 불확정치에 있는 대칭 다항식은 호환 가능한 대칭 다항식 군을 구성하는 데 사용될 수 있으며, i < n에 대한 동형화 δ를_i 사용하여 불확정치의 수를 줄일 수 있습니다.그리고 i≥n이 불확정치의 수를 증가시키는 것은_i (이미 존재하는 단항식의 대칭에 의해 얻어진 새로운 불확정치에 모든 단항식을 추가하는 것과 같습니다.

다음은 대칭 함수의 기본적인 예입니다.

• 다항식 대칭 함수α m.α = (α1,α2,...)가 음이 아닌 정수의 시퀀스이며, 그 중 유한하게 많은 정수가 0이 아니라고 가정합니다.그런 다음 α: Xα = XXX로1α12α23α3 정의된 다항식을 고려할 수 있습니다.그러면α m은 X에 의해α 결정되는 대칭 함수, 즉 대칭에 의해 X에서 얻은α 모든 단항성의 합입니다.공식적인 정의를 위해, β ~ α를 정의하면, β는 α의 순열이고 집합은

${\displaystyle m_{\alpha }=\sum \sim \alpha }X^{\beta }$

이 대칭 함수는 단항^α X를 가질 수 있을 만큼 큰 n에 대해 단항 대칭 다항식_α m(X₁,...,X_n)에 해당합니다.고유한 다항식 대칭 함수는 정수 파티션에 의해 매개 변수화됩니다(각_α m은 부분 π가_i 약하게 감소하는 순서로 고유한 대표적인^λ 다항식 X를 가집니다).일부_α m의 단항식을 포함하는 대칭 함수는 동일한 계수를 갖는 모든 함수를 포함해야 하므로, 각 대칭 함수는 단항 대칭 함수의 R-선형 조합으로 작성될 수 있으며, 따라서 구별되는 단항 대칭 함수는 R-모듈로서 Δ의 기저를_R 형성합니다.

• 임의의 자연수 k에 대한 기본 대칭 함수_k e. $여기$서_k ${\displaystyle X^{}}$ α_α${\displaystyle {}^{}\underset{}{\overset{\gamma }{=}}}$ i = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k$$ $디스플레이$스타일 \$textstyle$ X$^{\alpha$ }=\$colon$ _${i=1}^{k}X_{i$ 검정력 계열로서, 이것은 k개의 구별되는 모든 결정체의 총합입니다.이 대칭 함수는 n µk에 대한 기본 대칭 다항식_k e(X₁,...,X_n)에 해당합니다.
• 모든 양의 정수 k에 대한 검정력 합 대칭_k 함수 p. 단항₁^k X에 대한_k 다항식 대칭 함수 p = m입니다_(k).이 대칭 함수는 검정력₁^k 합 대칭 다항식_k p₁(X,...,X_n) = X + ...에 해당합니다.임의의_n^k n ≥ 1에 대한 X.
• 임의의 자연수 k에_k 대한 완전한 균질 대칭_k 함수 h; h는 α가 k의 분할인 모든 다항식 대칭 함수_α m의 합입니다.검정력 급수로서, 이것은 k의 모든 단항식의 합이며, 이것이 그 이름에 동기를 부여하는 것입니다.이 대칭 함수는 임의의 n µk에 대한 완전한 균질 대칭_k 다항식 h(X_1n,...,X)에 해당합니다.
• 슈어 함수는 임의의 분할 λ에 대해 함수를 나타내며_λ, 이는 다항식^λ X를 가질 수 있을 만큼 충분히 큰 임의의 n에 대한 슈어 다항식_λ(X₁,...,X_n)에 해당합니다.

거듭제곱 대칭 함수 p0은 존재하지 않는다: (X1, …, Xn ) p0 = ∑ i = 1n Xi 0 = n {{displaystyle \textstyle p_{0}(X_{1},\ldots,X_{n}=\sum _{i=1}^{i^0}=n}을 다항식에서 대칭 함수와 일치하지 않는다."식별자< ( - ) ${$_ {$i<j}(X_{i}-X_{j}))$$^{2}}$은 모든 n에 대해 대칭 다항식을 제공하지만 대칭 함수를 정의하지 않는 식의 또 다른 예입니다.슈르 다항식을 교대 다항식의 몫으로 정의하는 표현식은 판별식에 대한 표현식과 다소 유사하지만, 다항식_λ(X₁,...,X_n)은 n을 변화시키는 것에 대해 호환성이 있는 것으로 밝혀지므로 대칭 함수를 정의합니다.

대칭 다항식과 대칭 함수에 관련된 원리

대칭 함수 P의 경우, 임의의 자연수 n에 대한 n개의 불확정치에 해당하는 대칭 다항식은 P(X₁,...,X_n)에 의해 지정될 수 있습니다.대칭 함수의 고리의 두 번째 정의는 다음과 같은 기본 원리를 의미합니다.

P와 Q가 d도의 대칭 함수라면, P(X₁,...,X_d) ${\displaystyle =}$ Q(X₁,...,X_d)인 경우에만 대칭 함수의 $동일성{\displaystyle }$ P = $({displaystyle$ P=$Q}$를 갖는 것입니다.이 경우 임의의 수의 불확정치에 대해 실제로 P₁(X,...,X_n) = Q₁(X,...,X_n)를 갖습니다.

왜냐하면 어떤 변수는 항상 0으로 대체하여 변수의 수를 줄일 수 있고, 어떤_n 변수는 동형 φ을_n 적용하여 변수의 수를 늘릴 수 있기 때문입니다. 이러한 동형의 정의는 n≥d일 때마다 φ(P(X₁,...,X) = P₁(X,...,X_nn+1) (그리고 Q에 대해서도 유사하게)를 보장합니다.이 원리를 효과적으로 적용하려면 뉴턴의 정체성 증명을 참조하십시오.

대칭 함수의 고리의 특성

아이덴티티

대칭 함수의 고리는 불확정한 수와 무관한 대칭 다항식 사이의 동일성을 작성하는 데 편리한 도구입니다. Δ에는_R 그러한 수가 없지만 위의 원리에 따라 Δ의_R 어떤 동일성은 임의의 수의 불확정한 수에서 R에 대한 대칭 다항식의 고리를 자동으로 제공합니다.몇 가지 기본적인 정체성은

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{k-i}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{k-i}\mbox{모든 }k>0,}$

이는 기본적인 동질 대칭 함수와 완전한 동질 대칭 함수 사이의 대칭을 보여줍니다. 이러한 관계는 완전한 동질 대칭 다항식으로 설명됩니다.

${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}p_{i}e_{k-i}\mbox{모든 경우}k\geq 0,}$

완전한 균질 대칭 함수에 대한 변형을 갖는 뉴턴 항등식:

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{k-i}\display{{\geq 0}$

Φ의_R 구조적 특성

Δ의_R 중요한 특성에는 다음이 포함됩니다.

1. 파티션에 의해 매개 변수화된 단항 대칭 함수 집합은 d의 균질한 d의_R 파티션에 의해 매개 변수화된 R-모듈로서 Δ의 기초를 형성합니다. 슈어 함수 집합(파티션에 의해 매개 변수화됨)에도 마찬가지입니다.
2. Δ는_R 무한히 많은 변수에서 다항식 고리 R[Y₁,Y₂,...]에 대한 등급 R 대수와 동형이며, 여기서 Y는_i 모든 i > 0에 대해 차수 i가 주어지며, 하나의 동형은 모든 i에 대해 Y를 e Δ Δ로_R 보내는_i 것입니다_i.
3. 모든 i에 대해 기본 대칭 함수_i e와 완전한 균질 대칭 함수_i h를 교환하는 Δ의_R 발생 자기 형태 Δ가 있습니다.또한 각 전력 합계 대칭 함수_i p를 (-ⁱ⁻¹1_i)p로 보내고, 슈어 함수를 서로 교체하여_λ 및_λ^t s를 교환합니다. 여기서 θ는^t θ의 전치 파티션입니다.

특성 2는 대칭 다항식의 기본 정리의 본질입니다.이는 곧 다음과 같은 다른 속성을 의미합니다.

• 최대 n개의 차수 요소에 의해 생성된 Δ의_R 하위 고리는 R 변수에 대한 대칭 다항식의 고리와 동형입니다.
• λ의_R 힐베르트-푸앵카레 급수는 ∏${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ∞ $11$- ${\displaystyle \frac{{ti}^{}}{}}$\$displaystyle \textstyle \textstyle$ _${i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-t^{i}}}$이며$,$ 정수 파티션의 생성 함수입니다(이것도 속성 1에서 따옴).
• n > 0마다, n의 Δ의_R 균질한 부분에 의해 형성된 R-모듈은 n보다 엄격하게 n보다 작은 요소에 의해 생성된 서브링과의 교집합이며, 순위 1에서 자유로우며, (의_n 이미지) e는 이 R-모듈의 생성자입니다.
• fi가 i 차수의 균질하고 (모든 i에 대하여) 이전 점의 자유 R-모듈의 생성자를 제공하는 대칭 함수 (fi) i>0의 모든 군에 대해, 위와 같이 R[Y1,Y2,...]에서 Yi를 fi로 보내는 ΔR에 대한 등급 R-대수의 다른 동형이 있다,가군 (fi)i>0은 ΔR의 자유 다항식 생성자 집합을 형성한다.

이 최종 지점은 특히 완전한 균질 대칭 함수의 군 (h_i)_i>0에 적용됩니다.R에 합리적인 숫자의 필드$$Q${displaystyle \mathbb${Q$$$}$가 포함된 경우, 이는 거듭제곱 대칭 함수의 군 (p_i)_i>0에도 적용됩니다.이것은 각 군의 첫 번째 n개 요소가 대칭 다항식의 고리의 자유 다항식 생성자인 n개 변수에 대칭 다항식 집합을 정의하는 이유를 설명합니다.

완전한 균질 대칭 함수가 Δ의_R 자유 다항식 생성기 집합을 형성한다는 사실은 이미 속성 3에서 언급한 것처럼 기본 대칭 함수를 완전한 균질 함수로 보내는 자기 형태의 존재를 보여줍니다.δ가 δ의_R 진화라는 사실은 위에 주어진 첫 번째 관계 집합으로 표현되는 기본 및 완전한 균질 대칭 함수 사이의 대칭에서 비롯됩니다.

대칭 함수 Δ의_Z 고리는 정수 Z의 Expring입니다.또한 자연스러운 방식으로 람다 링입니다. 사실 하나의 생성기에서 보편적인 람다 링입니다.

함수 생성

R$X1, X2,$.$$]의$하위 링$으로서의 Δ의_R 첫 번째 정의는 대칭 함수의 여러 시퀀스의 생성 함수를 우아하게 표현할 수 있도록 합니다$.$Δ_R 내부에 있는 앞에서 언급한 관계와는 달리, 이러한 표현식은 R[X₁₂,X,...;t]에서 발생하는 연산을 포함하지만 하위 링_R Δ[[t]] 밖에서 발생하기 때문에 대칭 함수가 불확정 X에서_i 공식 멱급수로 보이는 경우에만 의미가 있습니다.이 해석을 강조하기 위해 대칭 함수 뒤에 "(X)"를 쓸 것입니다.

기본 대칭 함수에 대한 생성 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle E(t)=\sum _{k\geq 0}e_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty}(1+X_{i}t)}$

이와 유사하게 완전한 균질 대칭 함수에 대해서도 다음과 같습니다.

$\displaystyle H(t)=\sum _{k\geq 0}h_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty}\left(\sum _{k\geq 0}(X_{i}t)^{k}\right)=\filename_{i=1}^{\infty}{\frac {1}{1-X_{i}t}}.$

E${\displaystyle }$( -${\displaystyle t}$ )${\displaystyle H}$ (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ $=$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle H}$( -${\displaystyle }$t$$) {\ $displaystyle$ E$(-t)$H(t) =$$1 = $E(t) H(-t)}$가 기본 대칭 함수와 완전한 균질 대칭 함수 사이의 대칭성을 설명합니다.거듭제곱 대칭 함수에 대한 생성 함수는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle P(t)=\sum _{k>0}p_{k}(X)t^{k}=\sum _{k>0}\sum _{i=1}^{\infty}(X_{i}t)^{k}=\sum _{i=1}^{\infty}{\frac {X_{i}t}{1-X_{i}t}={tE'(-t)}{E(-t)}}={H(t)}}}{H(t)}}}}$

((Macdonald, 1979)는 P(t)를 Δ_k>0k p(X)t로^k−1 정의하며, 따라서 그 표현식은 여기에 주어진 표현식과 관련하여 인자 t가 부족합니다.)생성 함수 E(t)와 H(t)의 공식 도함수를 포함하는 두 개의 최종 표현식은 완전한 균질 대칭 함수에 대한 뉴턴의 동일성과 그 변형을 암시합니다.이 표현들은 때때로 다음과 같이 쓰여집니다.

$\"표시 스타일 P(t)=-t{\frac {d}{dt}}\log(E(-t)=t{\frac {dt}}\log(H(t)),}$

이는 동일하지만 R이 합리적인 숫자를 포함해야 항이 1인 검정력 계열의 로그가 정의됩니다( (1 - S ) $=$ - ∑ > ( t ) ( \$displaystyle$ \$textstyle \log ($1 - t S ) = - \ $sum _$ ${$i > 0} {\$frac {1}(t$ S $)^{i})}).$

전문화

${displaystyle \Lambda$}를$$대칭 함수의 고리로 하고 ${displaystyle R}$을 단위 요소를 갖는 교환 대수라고 합니다.대수 동형${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ :${\displaystyle \lambda }$ → ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle f}$↦${\displaystyle }$f (${\displaystyle }$φ )$${\$displaystyle \varphi :\Lambda \to$ R$,\quad$f\$mapsto$ f$(\varphi)}$를 ^[1]특수화라고 합니다.

예:

• 일부 실수가 주어졌을 때, k({displaystyle a_{1},\displaystyle a_{1},a_{k})와 f(x1,x2,…) ∈ \Lambda에서, 치환 x 1 = a 1, …, x k = a k = a \displaystyle x {1},\x {k}, 및 x_{k}의 경우, j_all = 0.
• ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle f\in$ \$Lambda$를 사용하면 ps$$ ($f$ :$=$ f (${\displaystyle 1,{q\mathrm{}}^{}}$ $,$ q3${\displaystyle ,}$ $…)$ {\$displaystyle$ \$operatorname${ps} (f) : =$f(1,$ q^{$2, q$^{$3, })$를 주특화라고 합니다.

참고 항목

• 뉴턴의 정체
• 준대칭 함수

레퍼런스

• 맥도날드, I.G. 대칭 함수와 홀 다항식.옥스퍼드 수학 단문Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979.viii+180pp.ISBN 0-19-853530-9 MR553598
• 맥도날드, I.G. 대칭 함수와 홀 다항식.제2판.옥스퍼드 수학 단문옥스퍼드 사이언스 출판사Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 ppISBN 0-19-853489-2 MR1354144
• 스탠리, 리처드 P.Enumerative Combinatorics, Vol. 2, 캠브리지 대학 출판부, 1999.ISBN 0-521-56069-1(하드백) ISBN 0-521-78987-7(페이퍼백)