로랑 다항식

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수학에서 필드 $F{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 한 변수에 있는 Laurent 다항식(Pierre Alphonse Laurent의 이름)은 $F{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 계수를 갖는 변수의 양의 힘과 음의 선형 결합이다$.$ X의 Laurent 다항은 $F{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$des F {\$desylease$$\mathb {F} }$[X, X⁻¹]^[1]그들은 음의 정도를 가지고 있을 수 있다는 점에서 일반적인 다항식과는 다르다.Laurent 다항식의 구성은 반복될 수 있으며, 몇 가지 변수에서 Laurent 다항식의 링으로 이어질 수 있다.로랑 다항식은 복잡한 변수 연구에 특히 중요하다.null

정의

필드 $F{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 계수가 있는 Laurent 다항식은 형식의 표현식임$$

$\displaystyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathb {F}}$

여기서 X는 공식 변수, 합계 지수 k는 정수(필수 양수)이며, 미세하게 많은 계수 p만_k 0이 아니다.계수가 같으면 Laurent 다항식 두 개가 같다.이와 같은 표현은 유사한 용어를 줄임으로써 추가, 증식, 동일한 형태로 다시 가져올 수 있다.덧셈과 곱셈에 대한 공식은 일반 다항식과 정확히 동일하며, X의 양력과 음의 힘 모두 존재할 수 있는 유일한 차이:

${\displaystyle \left(\sum \{i}a_{i}X^{i}\right)+\\sum(\sum _{i}b_{i^{i}\right)=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}}$

그리고

${\displaystyle \left(\sum_{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j^{j}\j}\right)=\sum _{k}\i,j:j=k}X^{k}.}$

계수_i a와 b가_j 0이 아닌 계수만 미세하게 많으므로, 사실상 모든 합은 미세하게 많은 항만을 가지며, 따라서 Laurent 다항식을 나타낸다.null

특성.

• C에 대한 Laurent 다항식(Laurent polyomial)은 계수가 0이 아닌 계수만 있는 Laurent 시리즈로 볼 수 있다.
• Laurent 다항식 R[X⁻¹, X]의 링은 "X를 삽입"하여 얻은 다항식 R[X]의 연장선이다.보다 엄밀하게 말하면 X의 비부정력으로 구성된 승법 집합에서 다항식 링의 국산화다.Laurent 다항식 링의 많은 특성은 국산화라는 일반적인 특성에서 따온 것이다.
• Laurent 다항식의 링은 합리적인 기능의 하위 링이다.
• 밭 위에 놓인 로랑 다항식의 고리는 노메테리아어(그러나 아르티니아어는 아니다)이다.
• R이 통합 도메인인 경우, Laurent 다항식 링 R[X, X⁻¹]의 단위는 uX^k 형태를 가지며, 여기서 u는 R의 단위, k는 정수다.특히 K가 필드인 경우 K[X, X⁻¹]의 단위는 aX^k 형태를 가지며 여기서 a는 K의 0이 아닌 원소다.
• Laurent 다항식 링 R[X, X⁻¹]은 R 이상의 정수의 그룹 Z의 그룹 링과 이형성이다.보다 일반적으로 n개의 변수에 있는 Laurent 다항식 링은 n등급의 자유 아벨리아 그룹의 그룹 링과 이형성이 있다.Laurent 다항식 링은 역행성, 코코뮤터틱 홉프 대수학 구조로 부여될 수 있다.

참고 항목

• 존스 다항식

참조

• 랭, 세르게(2002년), 대수학, 수학 대학원 텍스트, 211년(개정 3차 개정), 뉴욕: 스프링거-베를랙, ISBN978-0-387-95385-4, MR 1878556