가법 다항식

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2011년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 가법 다항식은 고전 대수 수 이론에서 중요한 주제다.

정의

k를 주요한 특징 p의 장으로 하자. k에 계수가 있는 다항식 P(x)를 가법성 다항식 또는 프로베니우스 다항식이라고 한다.

${\displaystyle P(a+b)=P(a)+P(b)\,}$

a와 b의 다항식으로 그것은 대수학적 폐쇄와 같이 k를 포함하는 어떤 무한대의 분야에서 이 평등이 모든 a와 b를 유지한다고 가정하는 것과 동등하다.

때때로 위의 조건에 절대적으로 첨가되는 것이 사용되며, 현장의 모든 a와 b에 대해 P(a + b) = P(a) + P(b)의 약한 조건에 첨가제가 사용된다. 무한장의 경우 조건은 등가지만 유한장의 경우 등가하지 않으며, 약해진 조건은 잘 행동하지 않아 '틀림'이다. 예를 들어, q 순서에 따라 x^q - x의 어떤 다중 P는 필드의 모든 a와 b에 대해 P(a + b) = P(a) + P(b)를 만족하지만, 일반적으로 (절대) 첨가물은 아니다.

예

다항식 x는^p 가법이다. 실제로 k의 대수적 폐쇄에 있어서 a와 b는 이항 정리에 의해 가지고 있다.

${\displaystyle (a+b)^{p}=\sum _{n=0}^{p}{p \p 선택 n}a^{n}b^{p-n}.}$

p는 prime이기 때문에, 모든 n = 1, ...에 대해 p-1 이항계수$({\displaystyle p\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$) ${\$ n$})$는 p로 나누어진다.

${\displaystyle (a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p}$

a와 b의 다항식으로

마찬가지로 형태의 모든 다항식

${\displaystyle \tau_{p}^{n}(x)=x^{p^{n}}}$

가법이고 여기서 n은 음이 아닌 정수다.

이 정의는 k가 특성 0의 필드라고 해도 타당하지만, 이 경우 일부 a in k에 대한 형식 도끼의 정의만 첨가된 다항식이다.^{[citation needed]}

가법 다항식의 고리

k에 계수가 있는$$ 다항식 $\tau {\displaystyle {}_{}^{}}$ p ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \tau _{p}^{n}(x)}$의 어떤 선형 결합도 가법 다항식이라는 것을 입증하기는 꽤 쉽다. 흥미로운 질문은 이러한 선형 결합을 제외한 다른 첨가 다항식이 있는지 여부다. 답은 이것들뿐이라는 것이다.

P(x)와 M(x)이 가법 다항식이라면 P(x) + M(x)과 P(M(x)도 가법인지 확인할 수 있다. 이것들은 첨가된 다항식들이 다항식 첨가와 구성 하에서 고리를 형성한다는 것을 암시한다. 이 반지는 표시되어 있다.

${\displaystyle k\{\tau_{p}\.\,}$

이 링은 k가 $필드{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$p =${\displaystyle Z\mathbf{}}$ / ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Z\mathbf{}}${\$displaystyle \mathb {F} _{p}=\mathbf {Z}$ /$p\mathbf {Z}$이(가) 아닌 한 유사하지 않다($$모듈식 산술 참조). 실제로 계수 a in k에 대한 가법 다항식 도끼와 x를^p 고려하십시오. 그들이 구성중에 통근하기 위해서는, 우리는 반드시

${\displaystyle (ax)^{p}=ax^{p}\,}$

따라서^p a - a = 0. 이 방정식의 루트가 아닌 외부 F ${\displaystyle {}_{}}$ .${\displaystyle \mathb {F} _{p}$에 대해서는 거짓이다.$}$

가법 다항식의 기본정리

P(x)를 k로 계수가 있는 다항식으로 하고, { w${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \subset }$ k ${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}\subset$ k$}$가 그 뿌리의 집합으로 한다$$. P(x)의 루트가 구별된다고 가정하면(즉, P(x)는 분리가 가능하다고 가정하면$,{\displaystyle }$ { w 1 ,${\displaystyle }$,${\displaystyle }$w ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}}}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$이 필드 추가와 함께 그룹을 형성하는 경우에만 P(x)가 첨가된다.

참고 항목

• 드린펠트 모듈
• 가법지도

참조

• 데이비드 고스, 1996년 베를린 스프링거, 함수 필드 산술의 기본 구조 ISBN3-540-61087-1.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Additive Polynomial". MathWorld.