프리오더

수학, 특히 순서 이론에서 사전 순서나 퀘이오더는 반사적이고 전이적인 이항 관계다.선순서는 등가관계와 (비정확한) 부분순서보다 일반적이며, 두 경우 모두 대칭적 사전순서는 부분순서, 대칭적 사전순서는 등가관계다.null

프리오더라는 이름은 프리오더(부분순서가 아닌)가 '거의'(부분순서가 아닌) 거의 (부분순서가 아닌) 순서라는 생각에서 유래한 것으로, 반드시 대칭적이거나 비대칭적인 것은 아니다.사전 순서는 이진 관계이므로 기호 ${\displaystyle \{}$ ${\$을(를) 관계의 공칭 디바이스로$$ 사용할 수 있다.그러나 반드시 대칭성이 아닌 것은 아니기 때문에 기호 ${\displaystyle \le }$ ${\$과(와) 관련된 일반적인 직관 중 일부는 적용되지 않을 수 있다$$.반면에, 사전 주문은 간단한 방법으로 부분 순서와 동등성 관계를 정의하는데 사용될 수 있다.그러나 그렇게 하는 것이 연구되고 있는 문제 영역에 따라 항상 유용하거나 가치가 있는 것은 아니다.null

즉, ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a\leq b,}$이(가) b를 덮거나 b가 b보다 앞섰다고 말할 수 있다.때때로 ${\displaystyle \le }$ 대신 $←$ 또는 → $display$ {\$displaystyle$ \,\$lesssim \,}$라는 표기법이 사용된다$.$

모든 사전 주문에는 정점에 해당하는 세트의 요소와 정점 사이의 지시된 가장자리에 해당하는 요소 쌍 간의 순서 관계를 가진 지시된 그래프가 있다.반대는 사실이 아니다: 대부분의 지시된 그래프는 반사적이지도 않고 전이적이지도 않다.일반적으로 해당 그래프에는 주기가 포함될 수 있다.비대칭인 사전 순서는 더 이상 주기를 갖지 않으며, 부분 순서로서 지시된 반복 그래프에 해당한다.대칭인 사전 순서는 동등성 관계로서, 그래프 가장자리의 방향 표시기를 잃어버린 것으로 생각할 수 있다.일반적으로 사전 주문의 해당 방향 그래프는 연결이 끊긴 구성요소가 많을 수 있다.null

형식 정의

Consider a homogeneous relation ${\displaystyle \,\leq \,}$ on some given set ${\displaystyle P,}$ so that by definition, ${\displaystyle \,\leq \,}$ is some subset of ${\displaystyle P\times P}$ and the notation ${\displaystyle a\leq b}$ is used in place of ${\displaystyle$$(a,b)\in \,\leq .}$ 그러면$$ ${\displaystyle \le }$ ${\$이(가) 반사적이고 전이적인 경우 사전 주문 또는 quasiorder라고 불리며$$, 즉, 다음과 같은 경우:

1. 반사율: ${\displaystyle \mathrm{모든}}$$$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle a\leq$ a$}$ 및$$
2. Transitivity: 만약 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \text{b}}$와 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle c}$가 ${\displaystyle \text{있다면}}$, 모든 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$, c ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$에 ${\displaystyle 대해}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a\leq b{\text{}b\leq c{\}$가 된다$.$$${\$displaystyle a,b,c\in P.}$

프리오더가 장착된 세트를 프리오더 세트(또는 프로세트)라고 한다.^[2]엄격한 사전 주문과 대비하거나 강조하기 위해 사전 주문은 엄격하지 않은 사전 주문이라고도 할 수 있다.null

반사율이 불변성으로 대체될 경우(트랜스펙티브를 유지하면서) 그 결과를 엄격한 사전 순서라고 한다. 분명히 $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $P}$에 대한 엄격한 사전 순서는 다음 $조건$을 만족하는$$ 동질적인 이진 관계< ${\$$displaystyle$ $\,<,}$이다.

1. 불탄성 또는 반반복성: $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$에 대한${\displaystyle$a$<a}$이${\displaystyle (}$가) 아님; ${\displaystyle a\in P$$;},$ 즉$$ ${\$$displaystyle \,a$$$$}$은(가${\displaystyle )}$ $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$, {\$displaystystyle a\in P$에 대해 거짓임).
2. Transitability: 만일 a< $b$와 b<$c>$가 $있다면$, $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$$, c$${\displaystyle }$$∈$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle a,b,c\in.p.}$에 c ${\displaystyle a$$,$b,c$\c}$

이항 관계는 엄격한 부분 순서인 경우에만 엄격한 사전 주문이다.정의에 의해 만약<>을 사용하는<>{\displaystyle \,<, \,}비대칭이라고 불린다, 엄격한 부분 순서 비대칭은 엄격하신가 preorder, b지 않b<>를 암시합니다;{\displaystyle a<, b{\text{의미를 내포하고}}{\textit{지 않}})b<}에 대한 모든 a, b.{\displaystyle의.}이와 반대로, 모든 엄격한 preorder는 매우 엄격한 parti.알 주문 때문에모든 전이 불능적 관계는 반드시 비대칭이다.비록 등가지만, 일반적으로 "강력한 부분 순서"라는 용어는 "강력한 사전 순서"보다 선호되고, 독자들은 그러한 관계에 대한 세부사항을 엄격한 부분 순서 관련 기사를 참조한다.엄격한 사전 주문과 달리 부분 주문이 아닌(비강제) 사전 주문도 많다.null

관련 정의

사전 순서가 대칭적이지도 않은 경우, 즉,${\displaystyle b}$ b$${\$displaystyle a\$$leq$ b$}$와 b$$≤ ${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a=b,}$를 의미하는$$ 경우, 부분 순서인 것이다.null

반면 대칭인 경우 즉, ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$이(가) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b\leq a,}$을(를) 내포한다면 동등성 관계다.null

사전 주문은 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$$,$ b${\displaystyle }$∈ P${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle a\leq$ $b$$}$ 또는$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ≤ ${\displaystyle a}$ all all all all ${\displaystyle \mathrm{all}}$ p . {\$displaystyle a,b\in$ P$.}$에 대한$${\$displaystyle b\leq$ a$}$인 경우 합계가 된다.

사전 정렬된 집합 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 개념은 얇은 범주, 즉 물체에서 다른 범주로 하나의 형태론을 가진 범주로서 범주형 프레임워크로 공식화될 수 있다$$.여기서 물체는 $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle P,}$의 원소에 대응하며$$, 관련 물체에 대한 하나의 형태론이 있는데, 그렇지 않으면 0이다.$또는{\displaystyle \mathrm{}}$ 사전 주문된 세트는 범주 2${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle 2=$ ($0\to$1)에 걸쳐 농축된 범주로 이해할 수 있다$.$$}$

선주문 수업은 선주문이 구비된 수업이다.모든 세트는 클래스다. 그래서 모든 미리 주문된 세트는 미리 주문된 클래스다.null

예

지시된 그래프의 도달 가능성 관계(주기가 포함될 가능성이 있음)는 사전 순서를 생성하며, 사전 ${\displaystyle \mathrm{순서}}$에서는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ y ${\displaystyle$ x$\leq$ y$}$이(가) 지시된 그래프에 x에서 y까지의 경로가 있는 경우에만 해당된다.반대로 모든 사전 순서는 지시된 그래프의 도달 가능성 관계(예를 들어, 모든 쌍(x, y)에 대해 x부터 y까지의 에지가 있는 그래프)이다${\displaystyle .}$ x ${\displaystyle \{}$ $.$ {\$displaystyle x\leq$ y$.}$ 그러나$$, 많은 다른 그래프는 서로 동일한 사전 순서가 있을 수 있다.같은 방법으로, 지시된 아세클릭 그래프, 즉 사이클이 없는 지시된 그래프의 도달성은 부분적으로 순서화된 집합(추가적인 대칭 특성을 만족하는 순서)을 발생시킨다.null

모든 유한 위상학적 공간은 x ${\displaystyle \le }$ y ${\displaystyle x\leq y}$을(를) 정의함으로써 해당 지점의 사전 순서를 만들어낸다.모든 한정된 사전 순서는 위상학적 공간의 전문화 사전 순서로 형성될 수 있다.즉, 유한 위상과 유한 선주문 사이에는 일대일 일치성이 있다.그러나 무한한 위상학적 공간과 그 전문화 사전주문 사이의 관계는 일대일 관계가 아니다.null

그물은 지시된 사전 주문이다. 즉, 각 원소 쌍은 상한을 가진다.그물을 통한 수렴의 정의는 중요한 특징을 잃지 않고 부분적으로 주문한 세트로 선주문을 대체할 수 없는 토폴로지에서 중요하다.null

추가 예:

• $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle f(x)\leq f(y$$)$에 의해 정의된 관계$,$ 여기서 f는 어떤 사전 순서에 대한 함수다$.$
• x에서 y로 일부 주입이 있는 경우$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\leq$ y$}$에 의해 정의된 관계.주입은 돌출 또는 링 동형성 또는 순열과 같은 구조 보존 기능의 모든 유형으로 대체될 수 있다.
• 카운트 가능한 총 주문에 대한 내장 관계.
• 그래프 이론에서의 그래프-최소 관계.
• 어떤 물체 x에서 어떤 다른 물체 y로 가는 형태주의를 최대 한 개까지 가지는 범주는 사전 순서다.그러한 범주를 씬이라고 한다.이러한 의미에서, 개체들 간의 둘 이상의 관계를 허용함으로써 "일반화" 선주문을 분류한다: 각 형태론은 구별되는 (이명된) 선주문 관계다.

컴퓨터 과학에서는 다음과 같은 사전 주문의 예를 찾아볼 수 있다.null

• 많은 1과 튜링 감소는 복잡성 등급에 대한 사전 주문이다.
• 서브타이핑 관계는 대개 예약 주문이다.^[3]
• 시뮬레이션 예약 주문은 예약 주문(이름을 정함)이다.
• 추상 재작성 시스템의 관계 감소.
• t의 하위 용어가 s의 대체 인스턴스인 경우$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ t ${\displaystyle s\leq t}$에 의해 정의된 용어 집합에 대한 포함 사전 순서.

총 사전 주문의 예:

• 일반적인 모델에 따르면 선호도.

사용하다

예약 주문은 다음과 같은 몇 가지 상황에서 중추적인 역할을 한다.

• 모든 사전 주문에는 위상, 알렉산드로프 위상이 주어질 수 있다; 실제로, 한 세트의 모든 사전 주문은 그 세트의 알렉산드로프 위상과 일대일 일치한다.
• 내부 알헤브라를 정의하기 위해 사전 주문을 사용할 수 있다.
• 사전 주문은 특정 유형의 모달 로직에 대한 Kripke 의미론을 제공한다.
• 사전 주문은 일관성 및 독립성 결과를 증명하기 위해 세트 이론에서 강제하는 데 사용된다.^[4]

시공

세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 이진 관계 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) Transitive closure and reflective closure, $R{\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle R^{+=}$을(를) 취함으로써$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle S}$의 사전 주문으로 확장할$$ 수 있다.$$ transitive closure는 $R{\displaystyle }$:$$ R + y {\$displaystyle$ R:xR^{+}$y}$에 $경로{\displaystyle }$ 연결이 있음을 나타내며, $이$는 x ${\displaystyle x}$에서 y${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ y$.}$까지의 R ${\\displaystyle R}$ - 경로가 있는 경우에만 해당된다.

이항 관계에 의해 유도된 왼쪽 잔차 사전 순서

는 이항 관계 R을 감안할 때 ∘ R¯ ¯{\displaystyle R\backslash R={\overline{R^{\textsf{T}}\circ{\overline{R}은complemented 조성 R∖ R)RT}}}}{R\displaystyle,}이 RT{\displaystyle R^{\textsf{T}}}R의은데 내 생각엔 정반대의 관계를 의미한다는 preorder 왼쪽 residual,[5]라고 불리는 형성된다 ,${\displaystyle R,}$과$($와) $R$의 {\$displaystyle$ {\$overline$ {$R}$은(는) $R{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle R,}$의 보완 관계를 나타내고$$$$, $【\displaystyle \circle }$은(는) 관계 구성을 나타낸다$$.null

파티션의 사전 주문 및 부분 주문

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 사전 주문 ${\displaystyle \lesssim }$ ${\$ $\,\lesssim \,}$을(를) 지정하면 다음과$$ 같이$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 동등성 관계를 정의할 수 있다${\displaystyle .}$

사전 주문은 반사적이고, 사전 주문의 transitability를 두 번 적용하여 transitive하며, 정의에 따라 대칭이기 때문에 결과 관계${\displaystyle }$~ ${\$은(는) 반사적이다$$.null

Using this relation, it is possible to construct a partial order on the quotient set of the equivalence, ${\displaystyle S/\sim ,}$ the set of all equivalence classes of ${\displaystyle \,\sim .}$ If the preorder is ${\displaystyle R^{+=},}$ ${\displaystyle S/\sim }$ is the set of ${$$\displaystyle R}$-cycle equivalence classes: ${\displaystyle x\in [y]}$ if and only if ${\displaystyle x=y}$ or ${\displaystyle x}$ is in an ${\displaystyle R}$-cycle with ${\displaystyle y}$ In any case, on ${\displaystyle S/\sim ,}$ it is possible to define ${\displaystyle [x]\le [y]}$${\displaystyle \mathrm{만약}}$ ${\displaystyle 그리고}$ ${\displaystyle \text{만약}}$ x ${\displaystyle \lesssim }$ y$$. {\$displaystyle [x]\leq$[y]{\$text{만약 }x\$$lesssimy$ $y$$.}$을(를) 구성하는$$ 경우에만${\displaystyle }$해당 정의는$$선택된 대표자와 독립적이며 해당 관계가 참으로 잘 정의되어 있다.이것은 부분적으로 주문된 세트를 산출한다는 것을 쉽게 검증한다.null

반대로 $S$ ${\displaystyle$ S$}$의 $파티션$에 대한 부분 주문에서 S${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$}$에 사전 주문을 구성할 수 있다. 사전$$ 주문과 쌍(파티션, 부분 순서) 사이에는 일대일 일치성이 있다.null

예: $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 형식 이론으로 하자. 이는 특정 속성을 가진 문장 집합(자세한 내용은 주제에 관한 글에서 찾을 수 있다)이다.예를 들어 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$}은(예: 제르멜로-Fraenkel set 이론) 1차 이론이거나 더 단순한 제롯-오더 이론일 수 있다$$.One of the many properties of ${\displaystyle S}$ is that it is closed under logical consequences so that, for instance, if a sentence ${\displaystyle A\in S}$ logically implies some sentence ${\displaystyle B,}$ which will be written as ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ and as ${\displaystyle$$B\Leftarrow A,}$ then necessarily ${\displaystyle B\in S.}$ The relation ${\displaystyle \,\Leftarrow \,}$ is a preorder on ${\displaystyle S}$ because ${\displaystyle A\Leftarrow A}$ always holds and whenever ${\displaystyle A\Leftarrow B}$ and ${\displaystyle B\Leftarrow C}$ both hold then so does ${\displaystyle A\Leftarrow C.}$ Furthermore, for any ${\displaystyle A,B\in S,}$ ${\displaystyle A\sim B}$ if and only if ${\displaystyle A\Leftarrow B{\text{ and }}B\Leftarrow A}$; that is, two sentences are equivalent with respect to ${\displayst$$yle \,\Leftarrow \,}$이(가) 논리적으로 동등한 경우에만.This particular equivalence relation ${\displaystyle A\sim B}$ is commonly denoted with its own own special symbol ${\displaystyle A\iff B,}$ and so this symbol ${\displaystyle \,\iff \,}$ may be used instead of ${\displaystyle \,\sim .}$ The equivalence class of a sentence ${\displaystyl$$[{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$$$${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle [A]$로 표시된$$ e A,}은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과($$는) 논리적으로 동등한 모든$$ 문장 $B{\displaystyle }$$display$ S {\$displaystyle$ B$\in$ S$}($$즉$, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $B{\displaystyle }$${\displaystyle ⟺}$ ${\displaystyle B}$$$${\style A\iff})$로 구성된다$$.$$$S{\displaystyle }$ / ~${\displaystyle }$${\$$displaystyle S/\sim }$에 대한 부분 순서는 ${\displaystyle \Leftarrow }$${\displaystyle }$, ${\$ \,\$Leftarrow ,\}$에 의해 유도되며$$ 동일한$$ 기호 ${\displaystyle \mathrm{symbol}}$${\displaystyle }$, ${\$ $displaysty$ [$A]$로 표시된다$.{\displaystyle }$왼쪽 $화살표 [B]}($오른쪽 조건$)$가 A${\displaystyle \mathrm{representatives}}$[ A ${\displaystyle ]}$ ${\$$displaystyle$ A$\$$in [A]$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[$B] {displaystyle A\in]$의 선택과 무관한 경우에만$$ 왼쪽 화살표 [B].All that has been said of ${\displaystyle \,\Leftarrow \,}$ so far can also be said of its converse relation ${\displaystyle \,\Rightarrow .\,}$ The preordered set ${\displaystyle (S,\Leftarrow )}$ is a directed set because if ${\displaystyle A,B\in S}$ and if ${\displaystyle$$C:=A\wedge B}$ denotes the sentence formed by logical conjunction ${\displaystyle \,\wedge ,\,}$ then ${\displaystyle A\Leftarrow C}$ and ${\displaystyle B\Leftarrow C}$ where ${\displaystyle C\in S.}$ The partially ordered set ${\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \righ$$t)}$도 결과적으로$$ 방향 집합이다.린덴바움-을 보라.타르스키 대수학(Tarski 대수학)은 관련 예시.null

예약 및 엄격한 예약 주문

사전 주문에 의해 유도된 엄격한 사전 주문

한 preorder ≲을 감안할 때;{\displaystyle \,<, \,}선언에 의해 정의될 수 있는 새로운 관계를<>{\displaystyle \,\lesssim,}은<>b{\displaystyle a<, b}만일 ≲ b와 아닌 largeenough≲.{\displaystylea\lesssim b{\text{ 아니라}}b\lesssim a}을 사용하는 것은 동치 관계 ∼{\displaystyle.\,\sim \,}$$ $위$에서 소개한< ${\$$displaystyle$ $a<b>$는${\displaystyle }$~ ${\displaystyle b}$가 ${\displaystyle \text{아닌}}$ ${\displaystyle \lesssim }$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a\lesssim$ b${\text{}$가 아닌 $}$인 $경우$에만 해당되며, 따라서 다음과$$ 같은 조건이 유지된다$.$

관계< ${\$은(는) 엄격한 부분적인 주문이며 모든 엄격한 부분적인 주문은 그러한 건설의 결과일 수 있다.이 경우에서 선주문하다 ≲{\displaystyle \,\lesssim\와 같이,}은 반대칭(그래서 부분 순서)그 후 등가∼을{\displaystyle \,\sim\와 같이,}은equality(그것은∼ b{\displaystyle a\sim b}만일 a=b{\displaystyle a=b}은)과,<의 정의;{\displaystyle \,<, \,}. 수 있다음과 같이 재작성된다.관계의 하지만 중요한 것은, 이것은 사실이 아닌 일반적인 정의;{\displaystyle \,<, \,}(그, <,{\displaystyle \,<, \,}<>:, b{\displaystyle a< 정의된 것은 아니다;b}만일 ≲ b와≠ b{\displaystylea\lesssim b{\text{과}}a\neq b}은)이유는 선주문하다 ≲{\dis.\,\lessplaystyle$sim \,}$은(는) 대칭적이지 않으며, 그결과 관계< {\$displaystyle$\,<\,}은(는) 전이적이지 않을 것이다(동일한 비대칭 원소가 어떻게 관련되는지 생각해 보십시오).그"보다 같거나 작다"상징"≤{\displaystyle \leq}"대신에 상징"≲{\displaystyle \lesssim}"를 사용한 이후 오해를 사기 쉽게는≤ b{a\leq b\displaystyle}을 의미를 내포하고;b또는 a=b을 제안할 수도 있는 반대칭지 않은 preorder에게 혼란을 일으킬 수 있는 이유 것은 그 이유.{\displ.a$ystyle a<b{\text{ 또는 }a=b.$$}$

엄격한 사전 주문에 의해 유도된 사전 주문

건설 위를 사용하여 여러non-strict 선,{\displaystyle \,<, ,\,}그래서 더 많은 정보(동등 관계의 지식 ∼{\displaystyle \,\sim \,}예를 들어)없이 &l에서 원본non-strict preorder을 재건하기 위해 가능하지 못할 수 있는 같은 엄격한 preorder<>를 만들 수 있다.t;.{$\displaystyle \,<\,}$ 주어진 엄격한 사전 주문< ${\$을(를) 유도하는 가능한(엄정하지 않은) 사전 주문에는 다음이 포함된다.

• ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq$ b$}$을를) < a= ${\displaystyle a<b{\text{ 또는 }a=b}($즉, 관계의 반사적으로 닫힘)으로$$ 정의하십시오.이것은 반사적 폐쇄를 통해 엄격한 부분 순서< {\$displaystyle$ 과(와$)$ 연관된 부분 순서를 제공한다. 이 경우 동등성은 동등하기 때문에 ${\displaystyle \lesssim }$ ${\$${\displaystyle }$및$$ ~${\displaystyle }$. ${\displaystyle \,\sim .}$은 필요하지 않다.
• 는"는<>b도 b<>;{\displaystyle a<, b{\text{도}}b<}"로∼을 b{a\sim b\displaystyle}을 정의하는 해당합니다"<,{\displaystyle{\text{지 않}}b<}largeenough지 않"(즉, 관계의 역 보수를); 이러한 관계로 ≲ b{a\lesssim b\displaystyle}을 정의 내린다. ≲{\displayst$yle$ $\,\lesssim \,}$ 및${\displaystyle }$~ ${\$은(는) 일반적으로 전이되지$$ 않지만${\displaystyle ,}$ 만일 그렇다면 ~ ${\$은(는) 동등하다. 이 경우< {\$displaystystyle$은 엄격히 약하다.결과적인 사전 주문은 연결된다(이전에는 total이라고 불림), 즉 총 사전 주문이다.

${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$인 경우 ${\displaystyle \lesssim }$ $b{\displaystyle }$ .${\displaystyle a\lesssim b.}$$$ 만일${\displaystyle b}$${\displaystyle }$b ${\style$ $a\$$neq$ b$}$이(가) 항상 < ${\$$displaystyle$ $\,\lesssim \;\;\;\;\leq$이$($$가$$)$ 있을 경우, 그 반대는 유지된다$.$$}$

예약자수

다른 유형의 n-element 이진 관계 수

엘레멘츠	아무거나	타동사	반사적	대칭	프리오더	부분순서	총예약자	총순번	등가관계
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

S(n, k)는 두 번째 종류의 스털링 숫자를 가리킨다는 점에 유의한다.null

위에서 설명한 바와 같이 선주문(파티션, 부분주문)과 쌍(파티션, 부분주문) 사이에는 1대 1의 대응성이 있다.따라서 예약 주문 수는 모든 파티션의 부분 주문 수를 합한 것이다.예를 들면 다음과 같다.

간격

For ${\displaystyle a\lesssim b,}$ the interval ${\displaystyle [a,b]}$ is the set of points x satisfying ${\displaystyle a\lesssim x}$ and ${\displaystyle x\lesssim b,}$ also written ${\displaystyle a\lesssim x\lesssim b.}$ It contains at least the points a and b.${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 쌍$(,{\displaystyle }$ b${\displaystyle }$) ${\displaystyle(a,b)}$추가$$ 간격은 모두 비어 있다.null

해당 엄격한 관계 "${\$$displaystyle$ $<}"$을 사용하여 간격$(,{\displaystyle b}$) ${\$$displaystyle$$(a,b)}$을를$)$ <와 x<$>$를$만족$하는 점 x 집합으로$$ 정의할 수도 있다$.$$}$ 있는 간격은< b. {\$displaystyle a<>$라고 해도 비어 있을 수 있다$.$$}$

또한${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$) ${\displaystyle [a,b)}$ 및$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}${\$displaystyle (a,b])$도 이와 유사하게 정의할$$ 수 있다.null

참고 항목

• 부분 순서 – 비대칭인 사전 순서
• 동등성 관계 – 대칭인 사전 순서
• 총 예약 주문 수 – 총 예약 주문 수
• 총 주문 – 대칭 및 총 사전 주문
• 지시 집합
• 사전 정렬된 집합의 범주
• 프리웰오더링
• 웰 준주문

메모들

참조

• 슈미트, 건터, "상대 수학", 수학 및 응용 백과사전, 132권, 캠브리지 대학 출판부, 2011, ISBN 978-0-521-76268-7
• Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9