형식파생상품

수학에서 형식파생물은 다항식 고리 또는 형식파생 시리즈의 원소에 대한 연산으로서 미적분학에서 파생된 형태의 형태를 모방한 것이다.비슷해 보이지만 형식 파생상품의 대수적 이점은 한계의 개념에 의존하지 않는다는 데 있는데, 이는 일반적으로 링에 대해 정의할 수 없다.파생상품의 특성 중 많은 부분이 형식적인 파생상품에 해당하지만, 일부, 특히 수치표시를 하는 파생상품은 그렇지 않다.null

다항식의 여러 뿌리를 시험하기 위해 대수에 공식 분화가 사용된다.null

정의

형식 파생상품의 정의는 다음과 같다: R(반복적일 필요는 없음)을 고정하고 A = R[x]을 R에 대한 다항식의 링으로 한다.그렇다면 공식 파생상품은 다음과 같은 경우에 A의 요소에 대한 연산이다.

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

그 공식적 파생상품은

f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1},

실제 또는 복잡한 숫자에 대한 다항식처럼.여기서 $ma_{i}$ $ma_{i}$ ${\$ 는 링에서 곱셈을 의미하는 것이 아니라 $ma_{i}$ $\sum _{k=1}^{m}a_{i},$ $\sum _{k=1}^{m}a_{i},$ = $\sum _{k=1}^{m}a_{i},$ $\sum _{k=1}^{m}a_{i},$ ${\displaystyle \sum \{k=1}^{m}a_{i}}}}},$ 여기서 $k$ ${\displaysty$ k $}$ 은 절대 합 안에서 사용되지 않는다 $k$ .null

이 정의에 비협조적인 링에 대한 문제가 있다.공식 자체는 맞지만 다항식의 표준형식은 없다.따라서 이 정의를 사용하면 $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ ( $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ ( $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ ) $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ ) $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ = $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ ( x $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b.$ ) ${\$ $스타일 (f(x)\cdot b')=f'(x)\cdot$ b $.}$ 을(를) 증명하기가 어렵다.

비확정 링에 적합한 자명 정의

위의 공식과는 반대로 $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ 파생상품은 다음과 같은 특성을 만족하는 $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ 지도 $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ ( $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ ) ( $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ ) $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ : $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ [ $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ x $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ → $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ [ $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ $(\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]$ ${\displaystyle$ (\ $ast )^{\prime$ }\ $colon$ R[ $x]\to$ R[ $x]}})$ 로 자명하게 정의할 수 있다.null

1) $r'=0$ $r\in R\subset R[x].$ $r\in R\subset R[x].$ $r'=0$ $r\in R\subset R[x].$ $r\in R\subset R[x].$ R [ x ] . ${\displaystyle$ r\ $r\in R\subset R[x].$ R $r\in R\subset R[x].$ $R[x]$ 에 $r'=0$ 대해 r $style$ = 0 ${\displaystyle$ r $'=$ $0}.$ $}$

2) 정규화 공리, $x'=1.$ $x'=1.$ = 1 ${\displaystyle$ x $'=$ $}$

3) 지도는 다항 링의 덧셈 연산과 통한다. $(a+b)'=a'+b'.$ ) $(a+b)'=a'+b'.$ = $(a+b)'=a'+b'.$ + $(a+b)'=a'+b'.$ ${\디스플레이$ 스타일 $(a+b)'=a'+b'$ $}$

4) 지도는 다항 링의 곱셈 연산과 관련하여 라이프니츠의 법칙을 만족시킨다 $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$ ) $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$ = $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$ + $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$ ${\displaystyle (a\cdot$ b $') {\cdot$ b'=a'\ $cdot$ b $+a\cdot b'$ $}$

이 자명적인 정의가 모든 통상적인 고리 공리를 존중하는 잘 정의된 지도를 산출한다는 것을 증명할 수 있을 것이다.null

위의 공식(즉, 계수 링이 역교합적일 때 공식 파생상품의 정의)은 앞에서 언급한 공리의 직접적인 결과물이다: ( $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ i $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ i $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ i $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ) = $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ i = i i ( $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ) $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ) $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ i + $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ( $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ i $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ) = $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ i ( $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ) i $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ) = $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ i $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ( $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ + a $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ j $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ = $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ ). ${\displaystyle (\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))$ $=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i-1}x^{i-1}=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.$ $}$

특성.

다음을 확인할 수 있다.

공식 분화는 선형이다: R[x]의 두 다항식 f(x), g(x) 및 R의 요소 rs에 대해,

[\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g')=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x)]}

R이 대응적이지 않을 때, r과 s가 왼쪽이 아닌 오른쪽에 나타나는 또 다른 다른, 다른 선형성 특성이 있다.R이 ID 요소를 포함하지 않을 경우, 이들 중 어느 것도 단순히 다항식의 합이나 다른 다항식의 배수를 갖는 다항식의 합으로 감소하지 않으며, 이는 또한 "선형성" 속성으로 포함되어야 한다.

공식 파생상품은 라이프니즈 규정을 충족한다.

(f\cdot g')'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)).

인자의 순서에 유의하십시오. R이 역호작용하지 않을 때 이것은 중요하다.

이 두 특성은 D를 A에 대한 파생으로 만든다(일반화에 대한 논의를 위해서는 상대적 차등형식의 모듈 참조).null

반복적인 요인 찾기 적용

미적분학에서와 같이, 파생상품은 복수의 뿌리를 검출한다.R이 필드인 경우 R[x]은 유클리드 영역이며, 이 상황에서는 R[x]의 모든 다항식 f(x)와 R의 모든 원소 r에 대해 음이 아닌_r 정수 m과 다항식 g(x)가 존재하며, 다음과 같은 다항식 g(x)가 있다.

f(x)=(x-r)^{m_{r}g(x)

여기서 g(r) ≠ 0. m은_r f의 근원으로서 r의 다중성이다.이러한 상황에서 m은_r 또한 r이 더 이상 결과 다항식의 루트가 되기 전에 f(x)에 대해 수행되어야 하는 차이점의 수라는 라이프니츠 규칙에서 따르게 된다.이 관측의 효용은 일반적으로 R[x]의 n 도 n의 모든 다항식이 n 루트를 계수하는 다항성(이것이 위의 정리로는 최대치)을 가지는 것은 아니지만, 이것이 참인 필드 확장(명칭 대수적 폐쇄)으로 넘어갈 수 있다는 것이다.일단 그렇게 하면, 우리는 단순히 R 위에 뿌리가 전혀 아니었던 복수의 뿌리를 발견할 수 있을 것이다.예를 들어 R이 세 개의 요소가 있는 필드인 경우 다항식

f(x)\,=\,x^{6}+1

R에 뿌리가 없다. 그러나 그것의 공식 파생상품( $f'(x)\,=\,6x^{5}$ $f'(x)\,=\,6x^{5}$ ( $f'(x)\,=\,6x^{5}$ ) $f'(x)\,=\,6x^{5}$ = 6 $f'(x)\,=\,6x^{5}$ 5 $(\$ f $'(x)\,=\,6x^{5$ 은 R의 어떤 연장에서도 3 = 0이기 때문에 (왜?) 0이므로 대수적 폐쇄로 넘어가면 R 자체에서 인자화로는 검출될 수 없는 복수의 뿌리가 있다.따라서 형식적인 분화는 다중성의 효과적인 개념을 허용한다.이것은 갈루아 이론에서 중요한데, 분리 가능한 장 확장(다중 뿌리가 없는 다항식들에 의해 정의됨)과 분리할 수 없는 장 확장들 사이에서 구별이 이루어진다.null

분석적 파생상품과의 대응성

스칼라의 R 링이 역치적일 때, 미분적분학에서 보는 것과 유사한 형식적 파생상품에 대한 대체적이고 동등한 정의가 있다.링 R[X,Y]의 Y–X 요소는 음이 아닌 정수 n에 대해 Yⁿ – X를ⁿ 분할하며, 따라서 모든 다항 f에 대해 f(Y) – f(X)를 한 미정수로 나눈다.R[X,Y]의 지수를 g로 표시하면 다음과 같다.

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}}

그러면 g(X,X) (R[X])가 위에서 정의한 f의 공식 파생상품과 일치하는지 검증하는 것은 어렵지 않다.null

계수의 링이 역행하는 한, 이 파생상품의 제형은 공식 파워 시리즈에서도 동일하게 잘 작동한다.null

실제로 이 정의의 구분이 $X$ $X$ 에서 $Y$ 으로 $Y$ Y $Y$ 의 함수 클래스에서 수행된다면, 파생상품의 고전적 정의를 탈환할 것이다 $X$ $X$ $X$ 과 $X$ $Y$ $Y$ 에서 모두 연속적으로 기능 등급으로 수행된다면 $Y$ 우리는 균일한 차별성을 얻게 되며, 우리의 기능 $f$ $f$ 은 지속적으로 차별화될 것이다 $f$ .마찬가지로, 서로 다른 종류의 기능(예: 립스치츠 클래스)을 선택함으로써 우리는 다른 종류의 다른 맛을 갖게 된다.이렇게 해서 분화는 함수 대수학의 한 부분이 된다.null

참고 항목

참조

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
마이클 리브시츠, 미적분학을 단순화할 수 있다, arXiv:0905.3611v1

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목차

정의

비확정 링에 적합한 자명 정의

특성.

반복적인 요인 찾기 적용

분석적 파생상품과의 대응성

참고 항목

참조