선형 함수

수학에서 선형함수(linear function)란 두 개의 구별되지만 관련된 개념을 말한다.^[1]

• 미적분 및 관련 영역에서 선형 함수는 그래프가 직선인 함수, 즉 0도 또는 ^[2]1도의 다항식 함수이다.이러한 선형 함수를 다른 개념과 구별하기 위해 아핀 함수라는 용어가 자주 사용된다.^[3]
• 선형대수, 수리분석,^[4] 함수해석학에서 선형함수는 선형지도이다.^[5]

다항 함수로써

미적분, 해석 기하학 및 관련 영역에서 선형 함수는 0 다항식을 포함한 1도 이하의 다항식이다(후자는 0도를 갖는 것으로 간주되지 않음).

함수가 하나의 변수일 경우 다음과 같은 형식입니다.

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

여기서 a와 b는 상수이며 종종 실수입니다.이러한 변수의 함수를 나타내는 그래프는 수직선이 아닙니다.a는 선의 기울기, b는 절편이라고 부릅니다.

b > 0일 경우 그라데이션은 양의 값이고 그래프는 위쪽으로 기울어집니다.

b < 0이면 기울기가 음수이고 그래프는 아래쪽으로 기울어집니다.

${\displaystyle {}_{}}$ f( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle \dots ,}$x${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$) {$displaystyle$ f$(x_{1},\ldots,x_{k})$의 경우 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{k}=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k}}}$

그래프는 차원 k의 하이퍼플레인입니다.

상수 함수는 또한 0도의 다항식 또는 0의 다항식이기 때문에 이 맥락에서 선형으로 간주됩니다.변수가 하나뿐인 경우 그래프는 수평선입니다.

이 문맥에서 선형 지도(다른 의미)이기도 한 함수는 균질 선형 함수 또는 선형 형식이라고 할 수 있다.선형대수의 맥락에서, 도수 0 또는 1의 다항식 함수는 스칼라 값 아핀 맵이다.

선형 지도로서

선형대수에서, 선형함수는 두 벡터 공간 s.t 사이의 지도 f이다.

$\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y})=f(\mathbf {x})+f(\mathbf {y})}$

$\displaystyle f(a\mathbf {x})=af(\mathbf {x})}$

여기서 a는 스칼라(예를 들어 실수)의 필드 K에 속하는 상수를 나타내며, x와 y는 벡터 공간의 요소이며, K 그 자체일 수 있다.

즉, 선형 함수는 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존합니다.

일부 저자는 스칼라 ^[6]필드의 값을 취하는 선형 맵에만 "선형 함수"를 사용합니다. 이러한 맵을 흔히 선형 형식이라고 합니다.

미적분의 "선형 함수"는 f(0, ..., 0) = 0일 때 또는 위의 상수 b가 0일 때 "선형 지도"로 인정된다.기하학적으로 함수의 그래프는 원점을 통과해야 합니다.

참고 항목

• 균질함수
• 비선형 시스템
• 부분 선형 함수
• 선형 근사
• 선형 보간법
• 불연속 선형 지도
• 선형 최소 제곱

메모들

레퍼런스

• Izrail Moiseevich Gelfand(1961), 선형 대수학 강의, 인터사이언스 퍼블리셔스, 뉴욕.1989년 도버에 의해 전재되었습니다.ISBN 0-486-66082-6
• 토마스 S.Shores (2007), Applied Linear Algebrazy and Matrix Analysis, Underguard Texts in Mathematic, Springer.ISBN 0-387-33195-6
• James Stewart(2012), 미적분: Early Transcendentals, 7E판, Brooks/Cole.ISBN 978-0-538-49790-9
• Leonid N. Vaserstein(2006), "선형 프로그래밍", Leslie Hogben, ed., 선형 대수, 이산 수학 및 그 응용 핸드북, 채프먼과 홀/CRC, 50장.ISBN 1-584-88510-6