선형 보간법

빨간색 점 두 개가 지정되면 파란색 선은 점 사이의 선형 보간이며 x에서 y 값은 선형 보간법을 통해 찾을 수 있습니다.

수학에서 선형 보간은 알려진 데이터 점의 이산 집합 범위 내에서 새로운 데이터 점을 구성하기 위해 선형 다항식을 사용하여 곡선을 맞추는 방법이다.

알려진 두 점 사이의 선형 보간

이 기하학적 시각화에서 녹색 원에 빨간색과 파란색 원 사이의 수평 거리를 곱한 값은 빨간색 원에 녹색과 파란색 원 사이의 수평 거리를 곱한 값과 파란색 원에 녹색 원 사이의 수평 거리를 곱한 값의 합과 같습니다.d 빨간색 동그라미.

${\displaystyle {두\mathrm{}}_{}}$ 개의 알려진 점이 ${\displaystyle {}_{}}({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$0$$) ${displaystyle$ ($x_{0}, y_{0})$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}{}_{}}$1, y${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$)$${$display (x_{1})$ {$style$ (x_{1$\})\})$에 의해 주어진 경우 선형 보간선은 이들 점 사이의 직선입니다.간격$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0 , ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1)의$$값 x(\$displaystyle (x_{0},x_{1$의 경우, 직선을 따른 값 y는 기울기의 방정식에서 구할 수 있습니다.

$$({displaystyle {y-y_{0}} {x-x_{0}}=syslogfrac {y_{1}-y_{0}} {x_{1}-x_{0}})$$

x에서 알 수 없는 값인 y에 대해 이 방정식을 풀면,

$${\displaystyle y={0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}=superfrac {y_{0}(x_{1}-x)+y_{1}(x-x_{0}){x_{0}}{x_0}}}{x_0}}}}}.$$

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1)$${$displaystyle (x_{0},x_{1})}$구간의 선형 보간 공식입니다. 이 구간을 벗어나면 공식은 선형 추론과 동일합니다.

이 공식은 가중 평균으로도 이해할 수 있습니다.가중치는 끝점에서 알 수 없는 점까지의 거리와 반비례하여 가까운 점이 먼 점보다 더 큰 영향을 미칩니다.따라서 가중치는 1$$-$\frac{{}_{}}{}$ - x $\frac{{}_{}}{{}_{}}$ $\frac{{x\mathrm{}}_{}}{}$1 - $\frac{{x\mathrm{}}_{}}{}$0 ({ $textstyle$1 - { \ $frac${ x - $x _$ ${ 0$} } )$및$ 1 - $\frac{{x\mathrm{}}_{}{}_{}}{}$ - $\frac{{x\mathrm{}}_{}}{}$ 0$$( \ $textstyle$ 1 - { \$frac$ { $x _ { 1 }$ - $0$ }$$$are$ are 1 1 1 1 。이러한 값은 알 수 없는 거리입니다.왜냐하면 이 합계가 1이 되기 때문에

$${\displaystyle {displaystyle} y&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}\right)+y_{1}\left(1-{\frac {x_{1}-x_{0}}\right)\&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{0}}\right)+y_{1}-x_{0}\right)+y_{1}\frac {x_{0}{x_{0}}\frac {x_{1}\right}\right}\\&=y_{0}\leftfrac {x_{1}-x}-x}\right)+y_{1}\leftfrac {x-x_{0}\right)\end{aligned}}$$

위에 주어진 선형 보간 공식을 산출한다.

데이터 집합의 보간

데이터 집합(빨간색 점)의 선형 보간은 선형 보간(파란색 선) 조각으로 구성됩니다.

데이터 포인트 세트(x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (x_n, y_n)에 대한 선형 보간은 각 데이터 포인트 쌍 간의 선형 보간 연결로 정의됩니다.그 결과 (일반적으로) 불연속 도함수를 갖는 연속 곡선이 생성되며, 따라서 $미분성{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {등급\mathrm{}}^{}}$ C 0$(\$ C$^{0$이 된다.

근사값으로서의 선형 보간

선형 보간은 종종 다른 지점에서 해당 함수의 알려진 두 값을 사용하여 일부 함수 f의 값을 근사하는 데 사용됩니다.이 근사치의 오차는 다음과 같이 정의됩니다.

$${\displaystyle R_{T}=f(x)-p(x)}$$

$\displaystyle p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1}-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0})}$

만약 f가 연속적인 2차 도함수를 갖는다면, 오차는 다음과 같이 제한된다는 롤의 정리를 사용하여 증명될 수 있다.

$${\displaystyle R_{T}\leq {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}\max _{x_{0}\leq x_{1}\leq f'(x)\right .}$$

즉, 주어진 함수의 두 점 사이의 근사치는 근사 함수의 두 번째 도함수에서 더 나빠집니다.이 또한 직관적으로 정확합니다. 즉, 함수가 "곡선"일수록 단순 선형 보간으로 이루어진 근사치가 나빠집니다.

이력 및 응용 프로그램

표의 공백을 메우기 위해 고대부터 선형 보간법이 사용되어 왔다.1970년, 1980년, 1990년, 2000년의 인구 일람표가 있고 1994년의 인구를 추정하려고 한다고 가정해 보자.선형 보간은 이를 위한 쉬운 방법입니다.그것은 셀레우코스 제국(기원전 3세기)과 그리스 천문학자이자 수학자인 히파르코스(기원전 2세기)에 의해 사용되었다고 여겨진다.선형 보간법에 대한 설명은 기원전 200년부터 서기 100년까지의 고대 중국 수학 텍스트인 수학 예술 9장과 ^[1]프톨레마이오스의 알마게스트에서 찾을 수 있다.

두 값 사이의 선형 보간 기본 연산은 컴퓨터 그래픽스에서 일반적으로 사용됩니다.그 분야의 전문용어로는 lerp라고 부르기도 한다(선형 보간에서).이 용어는 연산을 위한 동사 또는 명사로 사용될 수 있습니다. 예를 들어, "브레센햄 알고리즘은 선의 두 끝점 사이에서 점진적으로 흐른다."

Lerp 동작은 모든 최신 컴퓨터 그래픽 프로세서의 하드웨어에 내장되어 있습니다.이들은 종종 보다 복잡한 연산을 위한 구성 블록으로 사용됩니다. 예를 들어, 이중 선형 보간은 3개의 lerps로 수행할 수 있습니다.이 작업은 비용이 저렴하기 때문에 테이블 엔트리가 너무 많지 않고 원활한 기능을 위해 빠른 룩업으로 정확한 룩업 테이블을 구현하는 것도 좋은 방법입니다.

내선번호

일부 1차원 보간과 2차원 보간 비교.
검은색과 빨간색/노란색/녹색/파란색 점은 각각 보간된 점 및 인접 표본에 해당합니다.
그들의 지상 높이는 그들의 가치와 일치한다.

정확성.

예를⁰ 들어 데이터 점을 생성한 공정이⁰ C보다 평활하다고 알려진 경우 C 함수가 불충분하면 선형 보간을 스플라인 보간으로 대체하거나 경우에 따라 다항 보간으로 대체하는 것이 일반적입니다.

다변량

여기서 설명하는 선형 보간은 한 공간 차원의 데이터 점에 대한 것입니다.2차원 공간에서는 선형 보간 연장을 쌍선형 보간이라고 하며, 3차원에서는 삼선형 보간이라고 한다.그러나 이러한 보간물은 더 이상 공간 좌표의 선형 함수가 아니라 선형 함수의 산물이라는 점에 유의하십시오. 이는 아래 그림에서 쌍선형 보간법의 명확한 비선형 예를 통해 설명됩니다.선형 보간법의 다른 확장은 베지어 표면을 포함한 삼각 및 사면체 메쉬와 같은 다른 종류의 메쉬에 적용할 수 있다.이러한 함수는 실제로 더 높은 차원의 구간 선형 함수로 정의될 수 있습니다(아래 두 번째 그림 참조).

z 값이 0, 1, 1 및 0.5인 단위 사각형의 쌍선형 보간 예제입니다.색상으로 표시되는 중간 보간 값입니다.

2차원(위)의 구간 선형 함수 및 선형(아래)인 볼록 다면체

프로그래밍 언어 지원

많은 라이브러리 및 쉐이딩 언어에는 닫힌 단위 간격에서 파라미터 t에 대한 두 입력(v0, v1) 사이의 보간(v0, v1)을 반환하는 "lerp" 도우미 기능이 있습니다.lerp 함수 간의 시그니처는 (v0, v1, t)와 (t, v0, v1)의 양쪽 형태로 다양하게 구현된다.

// 부동 소수점 산술 오류로 인해 t = 1일 때 v = v1을 보장하지 않는 부정확한 메서드입니다. // 이 메서드는 단조롭습니다.이 형식은 하드웨어에 원어민 다중 추가 명령이 있는 경우에 사용할 수 있습니다. 흘러가다 동작하다(흘러가다 v0, 흘러가다 v1, 흘러가다 t) {   돌아가다 v0 + t * (v1 - v0); }  // t = 1일 때 v = v1을 보장하는 정확한 방법입니다.이 메서드는 v0 * v1 < 0일 때만 단조롭습니다. // 동일한 값 간에 lerping을 수행하면 동일한 값이 생성되지 않을 수 있습니다. 흘러가다 동작하다(흘러가다 v0, 흘러가다 v1, 흘러가다 t) {   돌아가다 (1 - t) * v0 + t * v1; } 

이 lerp 함수는 알파 블렌딩에 일반적으로 사용되며(파라미터 "t"는 "알파 값") 공식을 확장하여 벡터의 여러 성분(예: 공간 x, y, z 축 또는 r, g, b 색상 성분)을 병렬로 혼합할 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 쌍선형 보간법
• 스플라인 보간법
• 다항식 보간법
• 드 카스텔자우 알고리즘
• 1차 홀드
• 베지에 곡선

레퍼런스

• 를 클릭합니다Meijering, Erik (2002), "A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing", Proceedings of the IEEE, 90 (3): 319–342, doi:10.1109/5.993400.

외부 링크

• 절개 코트에서 직선의 방정식
• 숫자와 포인터에 대한 올바른 보간 기능
• "Linear interpolation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Finite-increments formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]