역 래플라스 변환

수학에서 함수 F(s)의 역방향 라플라스 변환은 다음과 같은 특성을 가진 조각-연속성 및 기하급수적으로 제한된 실제 함수 f(t)이다.

${\displaystyle {\mathcal {L}\{f\}s={\mathcal {L}\{f(t)\}s=F,}$

여기서 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) Laplace 변환을 나타낸다.

함수 F(s)가 역 라플라스 변환 f(t)를 갖는 경우 f(t)가 고유하게 결정된다는 것을 증명할 수 있다(Lebesgue를 0으로 측정하는 점 집합에서만 서로 다른 함수들을 고려한다). 이 결과는 1903년 마티아스 레르흐에 의해 처음 증명되었으며 레흐의 정리라고 알려져 있다.^[1][2]

라플라스 변환과 역 라플라스 변환은 선형 역학 시스템을 분석하는 데 유용한 여러 특성을 가지고 있다.

멜린의 역 공식

멜린의 역 공식, 브롬위치 적분 또는 푸리에-멜린 적분으로 불리는 역 라플라스 변환의 적분 공식은 다음과 같은 선 적분:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}^{-1}\{F(s)\}}(t)={\frac {1}{2\pi i}\im_{T\to \infty }\int_{\gamma -iT}^{\st}F(s)\ds}$

여기서 수직선을 따라 통합이 이루어진다. 복잡한 평면에서 γ이 모든 특이점 F의 실제 부분보다 크고 F가 경계(예를 들어 등고선 경로가 수렴 영역에 있는 경우)이다. 만약 모든 특이점이 왼쪽 반면에 있거나 F(s)가 전체 함수라면, γ은 0으로 설정될 수 있고 위의 역적분 공식은 역적분 푸리에 변환과 동일해진다.

실제로 복잡한 적분 계산은 Cauchy 잔여물 정리를 사용하여 수행할 수 있다.

포스트의 반전 공식

에밀 포스트의 이름을 딴 라플라스 변환에 대한 포스트의 반전 공식은 단순해 보이지만 대개 역 라플라스 변환을 평가하기 위한 비실용 공식이다.^[3]

공식의 문구는 다음과 같다. f(t)를 지수 순서의 간격 [0, ∞)에 연속 함수로 한다.

${\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infully }$

어떤 실제 숫자 B에 대해서. 그 후 모든 s > b에 대해 f(t)에 대한 라플라스 변환이 존재하며 s에 관해서 무한히 다르다. 더욱이 F(s)가 f(t)의 라플라스 변환이라면 F(s)의 역 라플라스 변환은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle f(t)={\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}\}(t)=\lim_{k\to \inflt }{\frac{(-1)^{k}}{k!}}}\왼쪽 \frac{k}{t}\오른쪽)^{k+1}F^{(k)}\왼쪽({\frac {k}{t}}\오른쪽)}$

t > 0에 대하여, 여기서 F는^(k) s에 관한 F의 k번째 파생물이다.

공식에서 알 수 있듯이, 임의의 높은 주문의 파생상품을 평가해야 할 필요성은 이 공식을 대부분의 목적에 비실용적으로 만든다.

강력한 개인용 컴퓨터의 출현과 함께, 이 공식을 사용하려는 주된 노력은 그룬월드를 사용한 역 래플라스 변환의 근사치 또는 점증적 분석을 다루는 것에서 비롯되었다.레트니코프는 파생상품을 평가하는 데 있어 통합성을 달리한다.

포스트의 역전현상은 연산과학의 향상과 리만 가설과 관련된 여러 산술 함수에 대해 역 멜린 변환을 사용하여 빅 x에 대한 점근거동을 계산할 수 있는 F(s)의 극이 어디에 있는지 알 필요가 없다는 사실 때문에 관심을 끌었다.

소프트웨어 도구

• InverseLaplaceTransform은 Mathematica에서 기호 역변환을 수행한다.
• 복합영역을 이용한 다중정밀도 라플라스 변환의 수치변환에 관한^[4] 연구
• Ilaplace는 MATLAB에서 기호 역변환을 수행한다.
• Matlab의 Laplace 변환 수치해석
• Matlab에서 집중된 매트릭스-우량함수에 기초한 LAPLACE 변환의 수치변환

참고 항목

• 역 푸리에 변환
• 포아송합산식

참조

추가 읽기

• Davies, B. J. (2002), Integral transforms and their applications (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95314-4
• Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D. (1998), Handbook of integral equations, London: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
• Boas, Mary (1983), Mathematical Methods in the physical sciences, John Wiley & Sons, p. 662, ISBN 0-471-04409-1 (p. 662 또는 "브로미치 적분"에 대한 색인 검색, 푸리에 변환과의 연결을 보여주는 좋은 설명)
• Widder, D. V. (1946), The Laplace Transform, Princeton University Press
• 라플라스 변환의 기본 반전. 브라이언, 커트 2006년 6월 14일에 접속.

외부 링크

• EqWorld의 통합 변환 표: 수학 방정식의 세계.

이 글에는 Creative Commons Accountation/Share-Alike License에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath에 있는 멜린의 역 공식에서 추출한 자료가 통합되어 있다.