비로컬 연산자

수학에서 비로컬 연산자는 특정 지점의 출력 함수의 값을 특정 지점의 인접 지점의 입력 함수의 값만으로 결정할 수 없는 방법으로 위상학적 공간의 기능을 함수에 매핑하는 매핑이다. 비로컬 연산자의 예로는 푸리에 변환이 있다.

형식 정의

Let ${\displaystyle X}$ be a topological space, ${\displaystyle Y}$ a set, ${\displaystyle F(X)}$ a function space containing functions with domain ${\displaystyle X}$, and ${\displaystyle G(Y)}$ a function space containing functions with domain ${\displaystyle Y}$. Two functions ${$$\displaystyle u}$ and ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle F(X)}$ are called equivalent at ${\displaystyle x\in X}$ if there exists a neighbourhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle x}$ such that ${\displaystyle u(x')=v(x')}$ for all ${\displays$$tyle x'\in N}$. An operator ${\displaystyle A:F(X)\to G}$ is said to be local if for every ${\displaystyle y\in Y}$ there exists an ${\displaystyle x\in X}$ such that ${\displaystyle Au(y)=Av(y)}$ for all functions ${\displaystyle u}$ and ${\displaystyle v}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 해당하는$$ $F{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle F(X)}$에서$$. 비로컬 연산자는 로컬이 아닌 연산자다.

로컬 운영자의 경우 $지점{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$의 임의 소규모 인접 지역에서 $($ y ) {\$displaystyle u}$의 값에 대한 지식만을 사용하여$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle u(y}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle Au(y)}$ 값을 계산할 수 있다$($원리적으로). 로컬 운영자가 아닌 경우에는 이 작업이 불가능하다.

예

차등 연산자는 지역 연산자의 예다. 푸리에 변환과 라플라스 변환과 같은 적분 변환에 의해 (선형) 비 국소 연산자의 많은 종류가 주어진다. 폼의 통합 변환용

${\displaystyle (Au)=\int \limits _{X}u(x)\,K(x,y)\,dx,}$

여기서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) 커널 함수로서, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y$에서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Au}$의 값을 계산하기$$ $위해서$는 K${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \cdot }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle$ K$(\cdot ,y)}$의 지원에서 거의$$ 모든 곳에서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystytype$ u$}$의 값을 알 수 있다.

단일한 적분 연산자의 예는 분수 라플라시안이다.

${\displaystyle(-\Delta )^{s}f(x)=c_{d,s}\int \limits _{\mathb {R}^{d}}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y ^{d+2s}}}\,dy.}$

The prefactor ${\displaystyle c_{d,s}:={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2} \Gamma (-s) }}}$ involves the Gamma function and serves as a normalizing factor. 예를 들어, 라플라시안 분수는 비지역적 최소 표면을 연구하는 데 역할을 한다.^[1]

적용들

비현지 사업자의 적용 사례로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 푸리에 변환을 사용한 시계열 분석
• 라플라스 변환을 이용한 동적 시스템 분석
• 로컬이 아닌 평균을^[2] 사용하여 이미지 변성
• 커널이나 포인트 스프레드 기능이 있는 콘볼루션을 사용하여 이미지에서 가우스 흐림 또는 모션 흐림 모델링

참고 항목

• 분수 미적분학
• 선형지도
• 논로컬 라그랑지안
• 원거리 작용

참조

외부 링크

• 비로컬 방정식 위키