프레드홀름 이론

수학에서 프레드홀름 이론은 적분 방정식 이론이다. 가장 좁은 의미에서 프레드홀름 이론은 그 자체로 프레드홀름 적분 방정식의 해법과 관련이 있다. 더 넓은 의미에서 프레드홀름 이론의 추상적 구조는 힐버트 공간에 있는 프레드홀름 운영자와 프레드홀름 커널의 스펙트럼 이론의 관점에서 주어진다. 그 이론은 에릭 이바르 프레드홀름을 기리기 위해 명명되었다.

개요

다음 절에서는 연산자 이론과 기능 분석의 보다 넓은 맥락에서 프레드홀름 이론의 위치를 캐주얼하게 스케치한다. 여기에 제시된 윤곽은 넓지만, 이 스케치를 공식화하는 것은 물론 세부적인 부분에서는 어렵다.

제1종 프레드홀름 방정식

프레드홀름 이론의 대부분은 g와 K가 주어졌을 때 f에 대한 다음과 같은 적분 방정식과 관련이 있다.

${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{b(x,y)f(y)\,dy.}$

이 방정식은 물리학과 수학의 많은 문제에서 미분 방정식의 역행으로서 자연적으로 발생한다. 즉, 미분방정식을 풀어야 한다.

${\displaystyle LG(x)=f(x)}$

함수 f가 주어지고 g가 알려지지 않은 곳. 여기서 L은 선형 미분 연산자를 의미한다.

예를 들어 L을 타원 연산자로 사용할 수 있다.

${\displaystyle L={\frac {d^{2}}:{dx^{2}},}\,}$

이 경우 풀릴 방정식이 포아송 방정식이 된다.

그러한 방정식을 푸는 일반적인 방법은 그린의 함수, 즉 직접 공격보다는 먼저 $주어진{\displaystyle }$ 쌍 x,y에 대해$$ K${\displaystyle }$= K${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, $){\displaystyle K=K(x,y)}$라는 함수를 찾는다.

${\displaystyle LK(x,y)=\delta(x-y),}$

여기서 Δ(x)는 Dirac 델타 함수다.

위의 미분 방정식에 대한 원하는 해법은 프레드홀름 적분 방정식의 형태로 적분으로 기록된다.

${\displaystyle g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy.}$

K(x,y) 함수는 Green의 함수, 즉 적분의 커널로 다양하게 알려져 있다. 그것은 때때로 핵의 핵이라고 불리며, 핵 사업자라는 용어가 생겨난다.

일반 이론에서 x와 y는 모든 다지관의 점일 수 있다; 가장 단순한 경우 실수 선 또는 m-차원 유클리드 공간. 일반적인 이론은 또한 기능들이 종종 주어진 기능 공간에 속할 것을 요구한다: 종종 사각형 통합 기능의 공간은 연구되고, 소볼레프 공간은 자주 나타난다.

사용되는 실제 기능 공간은 종종 차등 연산자의 고유값 문제의 해결책, 즉 다음 해결책에 의해 결정된다.

${\displaystyle L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)}$

여기서 Ω은_n 고유값이고, ψ_n(x)는 고유 벡터다. 고유 벡터 세트는 바나흐 공간에 걸쳐 있고, 자연적인 내적 생산물이 있을 때, 고유 벡터는 힐버트 공간에 걸쳐 있으며, 그 지점에 리에즈 표현 정리가 적용된다. 그러한 공간의 예로는 2차 일반 미분 방정식의 종류에 대한 해법으로 발생하는 직교 다항식이 있다.

위와 같이 힐버트 공간이 주어지면, 커널은 그 형태로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(x)\psi _{n}{n}{\omega _{n}}}}.}$

이 형태에서 K(x,y)라는 물체는 흔히 프레드홀름 연산자 또는 프레드홀름 커널이라고 불린다. 이것이 힐베르트 공간의 기초의 완전성, 즉 자신이 가지고 있는 것의 완전성으로부터 다음과 같은 알맹이라는 것.

$\displaystyle \cHB=\sum _{n}\cHB _{n}(x)\cHB _{n}(y).}$

Ω은_n 일반적으로 증가하므로 연산자 K(x,y)의 결과 고유값은 0을 향해 감소하는 것으로 보인다.

비균형 방정식

비균형 프레드홀름 적분 방정식

${\displaystyle f(x)=-\omega \varphi(x)+\int K(x,y)\varphi(y)\,dy}$

로서 정식으로 쓰일 수 있다.

${\displaystyle f=(K-\omega)\varphi }$

공식적인 해결책이 있는

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{K-\omega}f.}$

이 형태의 해결책은 해결사 형식주의라고 하는데, 여기서 해결사는 운영자로 정의된다.

${\displaystyle R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.}$

K의 고유 벡터와 고유값의 집합에 따라 분해자는 다음과 같이 구체적인 형태를 부여할 수 있다.

${\displaystyle R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(y)\psi _{n}{n}(x){\omega _{n}-\omega }}}}}}$

해답이 되어

$\displaystyle \varphi(x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy.}$

그러한 해결책이 존재하기 위한 필요하고도 충분한 조건은 프레드홀름의 정리 중 하나이다. 분해능은 일반적으로 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \lambda =1/\omega }$의 파워로 확장되며$,$ 이 경우 Louville-Neumann 시리즈로 알려져 있다. 이 경우 적분 방정식은 다음과 같이 기록된다.

$\displaystyle g(x)=\varphi(x)-\lambda \int K(x,y)\varphi(y)\,dy}$

그리고 해결책은 다음과 같이 대체된 형태로 쓰여진다.

${\displaystyle R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}}$

프레드홀름 결정인자

프레드홀름 결정 인자는 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\lambda ^{n}}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]}$

어디에

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx}$

그리고

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy}$

등등. 해당 제타 함수는

${\displaystyle \zeta(s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.}$

제타 함수는 분해자의 결정요인으로 생각할 수 있다.

제타 기능은 역동적인 시스템을 연구하는 데 중요한 역할을 한다. 이것은 리만 제타 함수와 같은 일반적인 형태의 제타 함수에 해당하지만, 이 경우에는 해당 커널을 알 수 없다. 그러한 알맹이의 존재는 힐버트-라고 알려져 있다.폴리야 추측.

주요 결과

그 이론의 고전적인 결과는 프레드홀름의 이론이며, 그 중 하나가 프레드홀름 대안이다.

일반적인 이론의 중요한 결과 중 하나는 함수의 공간이 등거리일 때 낟알이 콤팩트한 연산자라는 것이다.

관련된 유명한 결과는 콤팩트 매니폴드의 타원 연산자 지수(딤 케어 – 딤 코커)에 관련된 아티야-싱어 지수 정리다.

역사

액타 매티매티카에 실린 프레드홀름의 1903년 논문은 연산자 이론의 확립에 있어 중요한 랜드마크 중 하나로 여겨진다. 데이비드 힐버트는 프레드홀름에 의해 촉발된 적분 방정식에 대한 연구와 관련하여 힐버트 공간의 추상화를 개발했다.

참고 항목

• 그린의 기능
• 스펙트럼 이론
• 프레드홀름 대안

참조

• Fredholm, E. I. (1903). "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF). Acta Mathematica. 27: 365–390. doi:10.1007/bf02421317.
• Edmunds, D. E.; Evans, W. D. (1987). Spectral Theory and Differential Operators. Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• B. V. Khvedelidze, G. L. Litvinov (2001) [1994], "Fredholm kernel", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Driver, Bruce K. "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem" (PDF). Analysis Tools with Applications. pp. 579–600.
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical Methods of Physics (2nd ed.). New York: W. A. Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
• McOwen, Robert C. (1980). "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds". Pacific J. Math. 87 (1): 169–185. doi:10.2140/pjm.1980.87.169. Zbl 0457.35084.