X선 변환

수학에서 X선 변환(John transform이라고도 함)은 1938년^[1] 프리츠 존이 도입한 적분 변환으로, 현대 적분 기하학의 주춧돌 중 하나이다.라돈 변환과 매우 밀접하게 연관되어 있으며, 2차원으로 일치한다.더 높은 치수에서 함수의 X선 변환은 라돈 변환에서와 같이 하이퍼플레인이 아닌 선으로 통합하여 정의된다.X선 변환은 함수 ƒ의 X선 변환이 함수 ƒ으로 대표되는 비균형 매체를 통한 단층촬영의 감쇠 데이터를 나타내기 때문에 X선 변환(CT 스캔에서 사용)에서 그 이름을 유래했다.따라서 X선 변환의 역전은 알려진 감쇠 데이터에서 알 수 없는 밀도 ƒ을 재구성할 수 있기 때문에 실제적으로 중요하다.

세부적으로 ƒ이 유클리드 공간 R에서ⁿ 콤팩트하게 지원되는 연속 함수라면, of의 X선 변환은 by의ⁿ 모든 선들의 집합에 정의된 Xƒ 함수 이다.

${\displaystyle Xf(L)=\int _{L}f=\int _{\mathbf {R}{{0}+t\ta )dt}$

여기서 x는₀ 선상의 초기 지점이고 θ은 선 L의 방향을 제시하는 단위 벡터다.후자의 적분은 지향적인 의미로는 간주되지 않는다: 그것은 유클리드 선 L에 대한 1차원 르베그 측정에 관한 적분이다.

X선 변환은 John의 방정식이라고 불리는 초극성 파동 방정식을 만족시킨다.

가우스 초지압 함수는 X선 변환으로 쓸 수 있다(Gelfand, Gindikin & Graev 2003, 2.1.2).

참조

• Berenstein, Carlos A. (2001) [1994], "X-ray transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Gelfand, I. M.; Gindikin, S. G.; Graev, M. I. (2003) [2000], Selected topics in integral geometry, Translations of Mathematical Monographs, vol. 220, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2932-5, MR 2000133
• Helgason, Sigurdur (2008), Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 39 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854
• Helgason, Sigurdur (1999), The Radon Transform (PDF), Progress in Mathematics (2nd ed.), Boston, M.A.: Birkhauser