아벨 변환

수학에서 닐스 헨릭 아벨의 이름을 ^[1]딴 아벨 변환은 세속적으로 대칭 또는 축방향 대칭함수의 분석에 자주 사용되는 적분 변환이다. 함수 f(r)의 아벨 변환은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\flac {f(r)r}{\sqrt{r^{2}-y^{2}}\,dr.}$

f(r)가 1/r보다 빠르게 0으로 떨어진다고 가정하면, 역 아벨 변환은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }\int _{r}^{r}{dF}{dy}}\{\frac}{dy}\,{\frac {dy}{\sqrt{y^{2}-r^{2}}}}}}}}.}$

영상 분석에서 전방 아벨 변환은 광학적으로 얇은 축 대칭 방출 함수를 평면에 투영하는 데 사용되며, 역 아벨 변환은 해당 방출 함수의 투영(즉, 스캔 또는 사진)이 주어진 방출 함수를 계산하는 데 사용된다.

원통형 화염 또는 플럼의 흡수 분광학에서 전방 아벨 변환은 화염 중심에서 가장 가까운 거리 y를 가진 광선을 따라 통합된 흡광도인 반면, 역 아벨 변환은 중심에서 r 거리에서의 국소 흡수 계수를 제공한다. 아벨 변환은 축 대칭 지오메트리가 있는 어플리케이션으로 제한된다. 보다 일반적인 비대칭 사례의 경우 대수 재구성 기법(ART), 최대우도 기대 최대화(MLM), 여과 백-투영(FBP) 알고리즘 등 보다 일반 지향적인 재구성 알고리즘을 채택해야 한다.

최근 몇 년 동안, 역 아벨 변환(및 그 변종)은 포토그래피-이온 이미징과 광전자 이미징에서 데이터 분석의 초석이 되었다. 최근 역 아벨 변환의 가장 주목할 만한 확장으로는 광전자와 광전 이미지 분석의 "오니언 필링"과 "베이스 세트 확장"(BASEX) 방법이 있다.

기하학적 해석

2차원에서 아벨 변환 F(y)는 원점에서 y의 거리에서 일련의 평행 시야를 따라 원형 대칭 함수 f(r)를 투영하는 것으로 해석할 수 있다. 오른쪽의 그림을 참조하여 관찰자(나)가 보게 된다.

${\displaystyle F(y)=\int _{-\f}^{\f\왼쪽({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\오른쪽)\,dx,}$

여기서 f(r)는 그림에서 회색으로 나타내는 원형 대칭함수다. 관찰자가 실제로 x = ∞에 있다고 가정하여 통합의 한계는 ± ∞이며, 모든 시선은 x축과 평행이다. radius r이 r² = x² + y로서² x와 y와 연관되어 있다는 것을 깨달으면 다음과 같다.

${\displaystyle dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$

x > 0의 경우. f(r)는 x의 짝수 함수이기 때문에 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle F(y)=2\int _{0}^{}f\f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\}\,dx=2\int _{ y }^{}\f(r)\,{\frac {r\,dr}{\sqrt{r^{2}-y^{2}},},}$

f(r)의 아벨 변환을 산출한다.

아벨 변환은 더 높은 차원으로 확장될 수 있다. 특히 관심사는 3차원으로의 확장이다. 만약 축 대칭 함수 f((, z)가 있다면, 여기서 ρ² = x² + y는² 원통형 반지름이며, 그 함수의 투영을 z축에 평행한 평면에 알고 싶을 것이다. 일반성을 잃지 않고, 우리는 그 비행기를 yz비행기로 가져갈 수 있다.

${\displaystyle F(y,z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},}$

ρ과 y의 f(ρ, z)의 아벨 변환에 불과하다.

축대칭의 특정한 유형은 구형대칭이다. 이² 경우 r² = x + y + z인²² f(r) 함수가 있다. 그런 다음 yz 평면에 대한 투영은 원형으로 대칭되며 여기서² s² = y + z로² 표현된다. 통합 작업을 수행하면서

${\displaystyle F(s)=\int _{-\f(r)\,dx=2\int _{s}^{s}^{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt{r^{2}-s^{2}},},},},},},}$

다시 말하지만, f(r)의 아벨 변환은 r과 s이다.

역 아벨 변환 검증

Assuming ${\displaystyle f}$ is continuously differentiable and ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle f'}$ drop to zero faster than ${\displaystyle 1/r}$, we can set ${\displaystyle u=f(r)}$ and ${\displaystyle v={\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$. Integration by parts 그 후 수확하다.

${\displaystyle F(y)=-2\int _{y}^{\\nf'{}f'(r){\sqrt{r^{2}-y^{2}}\,dr.}$

공식적인 차별화,

${\displaystyle F'(y)=2y\int _{y}^{{y}^{\frac {f'(r)}{\sqrt{r^{2}-y^{2}}\,dr.}$

이제 이것을 역 아벨 변환 공식으로 대체하십시오.

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {F'(y)}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}\,dy=\int _{r}^{\infty }\int _{y}^{\infty }{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}f'(s)\,dsdy.}$

푸비니의 정리로는 마지막 적분은 동일하다.

${\displaystyle \int _{r}^{\infty }\int _{r}^{s}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\,ds=f(r).}$

불연속 F(y)로의 아벨 변환 일반화

Consider the case where ${\displaystyle F(y)}$ is discontinuous at ${\displaystyle y=y_{\Delta }}$, where it abruptly changes its value by a finite amount ${\displaystyle \Delta F}$. That is, ${\displaystyle y_{\Delta }}$ and ${\displaystyle \Delta F}$ are defined by ${\displaystyle \mathrm{\Delta }F\equiv \underset{}{lim}}$${\displaystyle \Delta F\equiv \lim _{\epsilon \rightarrow 0}[F(y_{\Delta }-\epsilon )-F(y_{\Delta }+\epsilon )]}$. Such a situation is encountered in tethered polymers (Polymer brush) exhibiting a vertical phase separation, where ${\displaystyle F(y)}$ stands for the polymer density 프로파일 및 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle r}$) ${\displaystyle f(r)}$은(는) 폴리머의 비연속 단자의 공간 분포와 관련이 있다$$.

함수 f(r)의 아벨 변환은 다음과 같은 상황에서 다시 나타난다.

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{{y}^{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt{r^{2}-y^{2}}}}.}$

f(r)가 1/r보다 더 빠르게 0으로 떨어진다고 가정하면, 역 아벨 변환은 단 다음과 같다.

${\displaystyle f(r)=\left[{\frac {1}{2}}\delta (r-y_{\Delta }){\sqrt {1-(y_{\Delta }/r)^{2}}}-{\frac {1}{\pi }}{\frac {H(y_{\Delta }-r)}{\sqrt {y_{\Delta }^{2}-r^{2}}}}\right]\델타 F-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{{r}{r}}{\frac {dF}{dy}}{\frac {dy}{\sqrt{y^{2}-r^{2}}}}}}.}$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) 디락 델타 함수이고 $H{\displaystyle (x}$ )${\displaystyle H(x)}$은(는) 헤비사이드 스텝 함수다. The extended version of the Abel transform for discontinuous F is proven upon applying the Abel transform to shifted, continuous ${\displaystyle F(y)}$, and it reduces to the classical Abel transform when ${\displaystyle \Delta F=0}$. If ${\displaystyle F(y)}$ has more than a single discontinuity, one has 그들 중 누구라도 n개의 추가 항을 포함하는 역 아벨 변환의 일반화된 버전을 고안하기 위한 변화를 도입하는 것, 각각은 n개의 불연속 중 하나에 해당된다.

기타 적분 변환과의 관계

푸리에와 한켈 변환과의 관계

아벨 변환은 적분 연산자의 FHA 사이클의 한 구성원이다. 예를 들어, 2차원에서 A를 아벨 변환 연산자로 정의하고, F를 푸리에 변환 연산자로 정의하고, H를 제로-오더 행클 변환 연산자로 정의한다면, 원형 대칭함수에 대한 투영-슬라이스 정리의 특별한 경우는 다음과 같다.

$FA=H.}$

즉, 아벨 변환을 1차원 함수에 적용한 다음 그 결과에 푸리에 변환을 적용하는 것은 한켈 변환을 그 함수에 적용하는 것과 같다. 이 개념은 더 높은 차원으로 확장될 수 있다.

라돈 변환과의 관계

아벨 변환은 등방성 2D 함수 f(r)의 라돈 변환으로 볼 수 있다. f(r)는 등방성이므로 라돈 변환은 시야 축의 다른 각도에서 동일하다. 따라서 아벨 변환은 가시 축을 따라가는 거리의 함수일 뿐이다.

참고 항목

• GPS 전파 방해

참조

• Bracewell, R. (1965). The Fourier Transform and its Applications. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4.

외부 링크