수학 에서 한켈 변환 은 주어진 함수 f (r )를 첫 번째 종류 의 Jν (kr 베셀 함수 의 가중치 합으로 표현한다. 합계의 베셀 함수는 모두 같은 순서 ν이지만 r축 을 따라 스케일링 계수 k 가 다르다. 스케일링 계수 k 의 함수로서, 합계 내 각 베셀 함수의 필요한 계수 F ν 변환 함수를 구성한다. 한클 변환은 필수적인 변형 이며 수학자 헤르만 한클 에 의해 처음 개발되었다. 푸리에-베셀 변환이라고도 한다. 무한 구간에 대한 푸리에 변환 이 유한 구간에 걸쳐 푸리에 시리즈 와 관련되듯이, 무한 구간에 걸친 행클 변환은 유한 구간에 걸친 푸리에-베셀 시리즈 와 관련된다.
정의 f (r ) 함수의 순서{\displaystyle \nu 행클 변환은 다음과 같다.
F ν ( k ) = ∫ 0 ∞ f ( r ) J ν ( k r ) r d r , {\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\f(r)J_{\nu }\(kr)\,\mathrm {d} r,} 여기서 J ν {\ displaystyle J_{\nu }} 1 {\displaystyle \nu \geq -1/2} ν {\displaystystyle \nu 베셀 함수 . Fν (k ).
f ( r ) = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) J ν ( k r ) k d k , {\displaystyle f(r)=\int _{0}^{{0}{\nu }}J_{\nu }}{\nu }\(kr)\, k\,\mathrm {d}k,} 아래 설명된 직교 관계를 사용하여 쉽게 검증할 수 있다.
정의의 영역 함수 f (r )의 행클 변환을 뒤집는 것은 함수 가 (0, ∞)에 정의되어 있고, 조각처럼 연속적이며 (0, ),)의 모든 유한 하위간격에서 경계 변동을 갖는 경우, f(r)가 연속적인 모든 지점에서 유효하다.
∫ 0 ∞ f ( r ) r 1 2 d r < ∞ . {\dapplaystyle \int _{0}^{\inflt }f(r) \,r^{\frac {1}{1}2}}\,\mathrm {d} r<\inflt.} 그러나, 푸리에 변환과 마찬가지로, 도메인 r 1 3 2 {\ displaystyle f(r)=(1+r +r / }}.
대체 정의 다른 정의는 g(r )의 행클 변환은[1]
h ν ( k ) = ∫ 0 ∞ g ( r ) J ν ( k r ) k r d r . {\displaystyle h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\inty }g(r) J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}\,\mathrm {d} r.} 두 가지 정의는 다음과 같다.
g r f r {\ displaystyle g(r)=f(r){\sqrt{r}}, ν F ν k . {\displaystyle h_{\nu }(k)= F_{\nu }(k){\sqrt {k}}. } 이는 이전의 정의와 마찬가지로 한클 변환도 이와 같은 방식으로 정의한 것은 그 자체의 역행이라는 것을 의미한다.
g ( r ) = ∫ 0 ∞ h ν ( k ) J ν ( k r ) k r d k . {\displaystyle g(r)=\int _{0}^{}h_{\nu }}J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}\,\mathrm {d}k.} 이제 명백한 도메인이 그 조건을 가지고 있다.
∫ 0 ∞ g ( r ) d r < ∞ , {\displaystyle \int _{0}^{\nft }g(r) \,\mathrm {d} r<\fty ,} 하지만 이건 연장될 수 있어 위에서 제시한 참조에 따르면, 상한이 무한대(레베그 적분 보다 부적절한 적분 )로 갈 때 적분을 한계로 받아들일 수 있으며, 이러한 방식으로 L(02 , ∞)의 모든 기능에 대한 한켈 변환과 그 역작용을 할 수 있다.
라플라스 방정식 변환 한켈 변환은 원통형 좌표로 표현된 라플레이스의 방정식 을 변형하고 해결하는 데 사용할 수 있다. 한켈 변환에서는 베셀 연산자가 - q 2 {\ displaystyle -q^{2}} . [2]
H 0 { ∂ 2 u ∂ r 2 + 1 r ∂ u ∂ r + ∂ 2 u ∂ z 2 } = − q 2 U + ∂ 2 ∂ z 2 U , {\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-q^{2 }}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}U,}} 변환 변수 U {\displaystyle U} .
직교성 베셀 함수는 가중 인자 r 에 대해 직교 기준 을 형성한다.[3]
∫ 0 ∞ J ν ( k r ) J ν ( k ′ r ) r d r = δ ( k − k ′ ) k , k , k ′ > 0. {\displaystyle \int _{0}^{\nupty }J_{\nu }(kr) J_{{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta(k-k')}{k}}}{k}}},\quad k,k'0. } 플랑쉐렐 정리 및 파르세발 정리 만약 f(r )와 g(r )가 그들의 행클 변환 Fν (k )Gν (k )Plancherel 정리 는 다음과 같이 진술한다.
∫ 0 ∞ f ( r ) g ( r ) r d r = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) G ν ( k ) k d k . {\displaystyle \int_{0}^{0}^{{0}^(r)g(r)\,r\\\mathrm {d}r=\int_{0}^{0}{0}^{\nu }{\nu }G_{\nu }(k)\,k\mathr}k}k.}k.}k.}k.}k.}}}}}}}}}}}}}k.}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 파르세발의 정리 , 이를 기술하고 있다.
∫ 0 ∞ f ( r ) 2 r d r = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) 2 k d k , {\displaystyle \int _{0}^{0}^{{0}^,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{0}^{0}{\nu }(k) ^{2}\,k\mathrm {d}k,}k,}} 플랑쉐렐 정리의 특별한 경우다. 이러한 이론들은 정형성 특성을 사용하여 증명될 수 있다.
다차원 푸리에 변환과의 관계 한켈 변환은 다차원 푸리에 변환을 초심 좌표 로 쓸 때 나타나는데, 이것이 한켈 변환이 원통형이나 구형 대칭으로 물리적 문제에서 자주 나타나는 이유다.
d {\textstyle d} r f r {\displaystyle (\mathbf {r} ) d {\textstyle d}
F ( k ) = ∫ R d f ( r ) e − i k ⋅ r d r . {\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathb {R}^{d}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathrmatbf {r}\d}\mathrmathbf {r}.}}}} 그것을 초심 좌표로 다시 쓰려면 평면파를 d {\textstyle d} l, m {\ displaystyle Y_{l,m [4] e − i k ⋅ r = ( 2 π ) d / 2 ( k r ) 1 − d / 2 ∑ l = 0 + ∞ ( − i ) l J d / 2 − 1 + l ( k r ) ∑ m Y l , m ( Ω k ) Y l , m ∗ ( Ω r ) , {\dapplaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r}}}^{d/2}(kr)^{1-d/2}(kr)^{l=0}^{l=0}^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum{m} Y_{l,m}(\Oomega _{\mathbf {k}}) Y_{l,m}^{*}(\Oomega _{\mathbf {r}),} 여기서 Ω r {\ textstyle \Oomega _{\mathbf{r}}} Ω {\ textstyle \Oomega \\mathbf { k}}}}}}}} displaysty \mathbf {k}} 있는 이 {\textstyle d} F ( k ) = ( 2 π ) d / 2 k 1 − d / 2 ∑ l = 0 + ∞ ( − i ) l ∑ m Y l , m ( Ω k ) ∫ 0 + ∞ J d / 2 − 1 + l ( k r ) r d / 2 d r ∫ f ( r ) Y l , m ∗ ( Ω r ) d Ω r . {\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infit }(-i)^{l}\sum _{m} Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.} f r {\displaystyle f(\mathbf {r})} F( k ) {\displaystyle F(\mathbf {k} ) f ( r ) = ∑ l = 0 + ∞ ∑ m f l , m ( r ) Y l , m ( Ω r ) , F ( k ) = ∑ l = 0 + ∞ ∑ m F l , m ( k ) Y l , m ( Ω k ) , {\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),} 초심 좌표에서의 푸리에 변환은 다음과 같이 단순화된다. k d / 2 − 1 F l , m ( k ) = ( 2 π ) d / 2 ( − i ) l ∫ 0 + ∞ r d / 2 − 1 f l , m ( r ) J d / 2 − 1 + l ( k r ) r d r . {\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.} 즉, 다차원 화음 변환의 형태로 각도 의존성을 갖는 기능이 다차원 화음 변환에 유지되는 반면 방사형 부분은 한켈 변환(r d 2 {\ textstyle r^{d/2-1}
특례 푸리에 변환 2차원 만약 2차원 함수 (r ) 가 멀티폴 시리즈로 확장된다면,
f ( r , θ ) = ∑ m = − ∞ ∞ f m ( r ) e i m θ r , {\displaystyle f(r,\theta )=\sum _{m=-\f}^{\f_{m}(r)e^{im\theta _{\mathbf{r}}}},} 2차원 푸리에 변환은 에 의해 주어진다.
F ( k ) = 2 π ∑ m i − m e i m θ k F m ( k ) , {\displaystyle F(\mathbf {k} )=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{\mathbf {k}{}F_{m}(k),} 어디에 F m ( k ) = ∫ 0 ∞ f m ( r ) J m ( k r ) r d r {\displaystyle F_{m}(k)=\int _{0}^{\f_{m}(r)J_{m}\,r\,\mathrm {d}r}r} m {\textstyle m} r) m {\textstyle m} l textstyle l}
푸리에 변환 3차원 3차원 함수 f(r ) 가 구면 고조파 위로 다중 홀 시리즈 로 확장되는 경우,
f ( r , θ r , φ r ) = ∑ l = 0 + ∞ ∑ m = − l + l f l , m ( r ) Y l , m ( θ r , φ r ) , {\displaystyle f(r,\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} })=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} }),} 3차원 푸리에 변환은 다음에 의해 주어진다.
F ( k , θ k , φ k ) = ( 2 π ) 3 / 2 ∑ l = 0 + ∞ ( − i ) l ∑ m = − l + l F l , m ( k ) Y l , m ( θ k , φ k ) , {\displaystyle F(k,\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} })=(2\pi )^{3/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m=-l}^{+l}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} }),} 어디에 k F l , m ( k ) = ∫ 0 + ∞ r f l , m ( r ) J l + 1 / 2 ( k r ) r d r . {\displaystyle {\sqrt {k}F_{l,m}(k)=\int _{0}^{0}^{0}\infit }{r}f_{l,m}J_{l+1/2}}(kr)r\mathrm {d} r.} r f l m r {\displaystyle {\sqrt{r}f_{l,m}(r)} (l 1 {\textyle (l+1/2)} .
반정수의 이런 종류의 한켈 변환은 구면 베셀 변환이라고도 한다.
d d-차원함수 (r ) 가 각도 좌표에 의존하지 않는 경우, d-차원F (k )[5]
k d / 2 − 1 F ( k ) = ( 2 π ) d / 2 ∫ 0 + ∞ r d / 2 − 1 f ( r ) J d / 2 − 1 ( k r ) r d r . {\dplaystyle k^{d/2-1}F(k)=(2\pi )^{d/2}\int _{0}^{++\infit }r^{d/2-1(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm {d} r.} 즉 d 2 1 f {\displaystyle ^{d/2-1}f(r )} ( 2 {\textstyle(d/2-1 2 d d 2 displaystyle (2\ d/2}} .
제한된 반경 내에서 2D 기능 다중 홀 시리즈 에서 2차원 함수 (r ) 가 확장되고 확장 계수 f m 원점 근처와 반경 R 밖 에 0으로 충분히 매끄러우면 방사형 부분 f (r )/r m 1 - (r /R )^2 의 파워 시리즈로 확장될 수 있다.
f m ( r ) = r m ∑ t ≥ 0 f m , t ( 1 − ( r R ) 2 ) t , 0 ≤ r ≤ R , {\displaystyle f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{m,t}\좌측({\tfrac {r}{R}\오른쪽)^{2}\우측) ^{t},\quad 0\leq r\leq R,} f (r )
F ( k ) = 2 π ∑ m i − m e i m θ k ∑ t f m , t ∫ 0 R r m ( 1 − ( r R ) 2 ) t J m ( k r ) r d r = 2 π ∑ m i − m e i m θ k R m + 2 ∑ t f m , t ∫ 0 1 x m + 1 ( 1 − x 2 ) t J m ( k x R ) d x ( x = r R ) = 2 π ∑ m i − m e i m θ k R m + 2 ∑ t f m , t t ! 2 t ( k R ) 1 + t J m + t + 1 ( k R ) , {\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=2\pi \ sum _{m}i^{-m}e^{im\eta_{k}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}{\frac {t!2} ^{{t}}{(kR)^{1+t}}} J_{m+t+1}(kR),\end{aigned}}} 의 제6.567.1조부터 이어지는 경우.[6] 팽창 계수 f m,t 이산 푸리에 변환 기법을 사용하여 접근할 수 있다:[7]
r / R ≡ 죄를 짓다 θ , 1 − ( r / R ) 2 = cas 2 θ , {\displaystyle r/R\equiv \sin \theta ,\quad 1-(R/R)^{2}=\cos ^{2}\theta ,} 푸리에-체비셰프 시리즈 계수 g는 다음과 같이 나타난다
f ( r ) ≡ r m ∑ j g m , j cas ( j θ ) = r m ∑ j g m , j T j ( cas θ ) . {\displaystyle f(r)\equiv r^{m}\sum _{j}g_{m,j}\cos(j\theta )=r^{m}\sum _{j}g_{m,j}T_{j}(\cos \teta). } 재확장 사용
cas ( j θ ) = 2 j − 1 cas j θ − j 1 2 j − 3 cas j − 2 θ + j 2 ( j − 3 1 ) 2 j − 5 cas j − 4 θ − j 3 ( j − 4 2 ) 2 j − 7 cas j − 6 θ + ⋯ {\displaystyle \cos(j\theta )=2^{j-1}\cos ^{j}\theta -{\frac {j}{1}}2^{j-3}\cos ^{j-2}\theta +{\frac {j}{2}}{\binom {j-3}{1}}2^{j-5}\cos ^{j-4}\theta -{\frac {j}{3}}{\binom {j-4}{2}}2^{j-7}\cos ^{j-6}\theta +\cdots } g m,j 수확량 m,t
이것은 빠른 행클 변환 기술의 한 가지 맛이다.
푸리에와 아벨 변환과의 관계 Hankel 변환은 통합 연산자 의 FHA 사이클 의 한 구성원이다. 2차원에서 A 를 아벨 변환 연산자로, F 를 푸리에 변환 연산자로, H 를 제롯-오더 행클 변환 연산자로 정의하면, 원형 대칭함수에 대한 투영-슬라이스 정리 의 특별한 경우는 다음과 같다.
F A = H . FA=H.} 즉, 아벨 변환을 1차원 함수에 적용한 다음 그 결과에 푸리에 변환을 적용하는 것은 한켈 변환을 그 함수에 적용하는 것과 같다. 이 개념은 더 높은 차원으로 확장될 수 있다.
수치평가 한켈 변환의 수치평가에 대한 단순하고 효율적인 접근방식은 변수의[8] 형태 로 주조될 수 있다는 관측에 근거한다.
r = r 0 e − ρ , k = k 0 e κ . {\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\cHB k=k_{0}\,e^{\cappa }.} 이 새로운 변수에서 한켈 변환은 F ~ ν ( κ ) = ∫ − ∞ ∞ f ~ ( ρ ) J ~ ν ( κ − ρ ) d ρ , {\displaystyle{\tilde{F}_{\nu}(\kappa )=\int_{-\infit }{\tilde{f}}{\f}(\rho ){\tilde{J}}}{\tilde{J}}}}}{\cappa -\rho )\mathrho ~,}
어디에
f ~ ( ρ ) = ( r 0 e − ρ ) 1 − n f ( r 0 e − ρ ) , {\displaystyle {\tilde{f}(\rho )=\왼쪽(r_{0}\,e^{-\rho }\,f(r_{0}e^{-\rho },},} F ~ ν ( κ ) = ( k 0 e κ ) 1 + n F ν ( k 0 e κ ) , {\displaystyle {\tilde{F}_{\nu }(\kappa )=\왼쪽(k_{0}\, e^{\kappa }\오른쪽)^{1+n}\, F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa })~,} J ~ ν ( κ − ρ ) = ( k 0 r 0 e κ − ρ ) 1 + n J ν ( k 0 r 0 e κ − ρ ) . {\displaystyle {\tilde{J}_{\nu }(\kappa -\rho )=\왼쪽(k_{0}\,r_{0}\, e^{\cappa -\rho }\오른쪽)^{1+n}\, J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }}).}
이제 적분은 빠른 푸리에 변환 을 사용하여 O( N log ) N {\textstyle (N\log )} 알고리즘 ν textstyle \,{\tilde{J} nu
∫ − ∞ + ∞ J ~ ν ( x ) e − i q x d x = Γ ( ν + 1 + n − i q 2 ) Γ ( ν + 1 − n + i q 2 ) 2 n − i q e i q ln ( k 0 r 0 ) . {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\mathrm {d} x~=~{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\;\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)\ ;}}\;2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0}}}}. } The optimal choice of parameters r 0 , k 0 , n {\textstyle ~r_{0},k_{0},n~} f ( r ) , {\textstyle \;f(r)~,} r → 0 {\textstyle \;r\rightarrow 0\;} r → ∞ . {\textstyle \;r\rightarrow \infty ~.}
이 알고리즘은 "quasi-fast Hankel 변환" 또는 간단히 "fast Hankel 변환"이라고 알려져 있다.
로그 변수의 빠른 푸리에 변환 을 기반으로 하기 때문에, 로그 r {\textstyle f(r)} 균일한 그리드에 정의된 함수의 경우, 간단한 사분법 , 투영-슬라이스 정리 에 기초한 방법, 베셀 함수의 점증적 확장 을 이용한 방법 등 많은 다른 알고리즘이 존재한다.[10]
일부 Hankel 변환 쌍 [11]
f ( r ) {\displaystyle f(r)} F 0 ( k ) {\displaystyle F_{0}(k)} 1 {\displaystyle 1} δ ( k ) k {\displaystyle {\frac {\preason(k)}{k}}} 1 r {\displaystyle {\frac {1}{r}} 1 k {\displaystyle {\frac {1}{k}} r (\displaystyle r} − 1 k 3 {\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}} r 3 {\displaystyle r^{3}} 9 k 5 {\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}} r m {\displaystyle r^{m}} 2 m + 1 Γ ( m 2 + 1 ) k m + 2 Γ ( − m 2 ) , − 2 < R e { m } < − 1 2 {\displaystyle {\frac {\,2^{m+1}\,\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)\,}{k^{m+2}\,\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<{\mathcal {R_{e}}}\{m\}<-{\tfrac {1}{2}}} 1 r 2 + z 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}\,}}} e − k z k {\displaystyle {\frac {\,e^{-k z }\,}{k}}}} 1 z 2 + r 2 {\displaystyle {\frac {1}{\,z^{2}+r^{2}\,}} K 0 ( k z ) , z ∈ C {\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathb {C}} e i a r r {\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}} i a 2 − k 2 , a > 0 , k < a {\displaystyle {\frac {i}{\,{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\},\propert a>0,\\;k<a} 1 k 2 − a 2 , a > 0 , k > a {\displaystyle {\frac {1}{\,{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\},},\program a>0,\;k}a} e − 1 2 a 2 r 2 {\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}:} 1 a 2 e − k 2 2 a 2 {\displaystyle {\frac{1}{\,a^{2}\,}\,e^{-{\tfrac{k^{2}}:} 1 r J 0 ( l r ) e − s r {\displaystyle {\frac{1}{r}} J_{0}(lr)\,e^{-sr}} 2 π ( k + l ) 2 + s 2 K ( 4 k l ( k + l ) 2 + s 2 ) {\displaystyle {\frac {2}{\,\pi {\sqrt {(k+l)^{2}s^{2}s^{2}s^,}}K\{\sqrt {{\sqrt{4kl}{(k+l)^{2}s^{2} }}}\,}}} − r 2 f ( r ) {\displaystyle -r^{2}f(r)} d 2 F 0 d k 2 + 1 k d F 0 d k {\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2} F_{0}\,}{\mathrm {d}k^{2}}+{\frac {1}{1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d}F_{0}\,}{\mathrm {d}k}}}}}}}
f ( r ) {\displaystyle f(r)} F ν ( k ) {\displaystyle F_{\nu }(k)} r s {\displaystyle r^{s}} 2 s + 1 k s + 2 Γ ( 1 2 ( 2 + ν + s ) ) Γ ( 1 2 ( ν − s ) ) {\displaystyle {\frac{2^{s+1}{\,k^{s+2}\,}\,{\frac {1}{1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\tfrac {1}{1}{1}{1}(\nu -s)}}}}}{\\\tfrac {nu -s) }}} r ν − 2 s Γ ( s , r 2 h ) {\displaystyle r^{\nu -2s}\감마(s,r^{2}h)} 1 2 ( k 2 ) 2 s − ν − 2 γ ( 1 − s + ν , k 2 4 h ) {\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\tfrac {k}{2}}\오른쪽)^{2s-\nu -2}\i1\i1\lift(1-s+\nu,{\tfrac {k^{4h}\right)}} e − r 2 r ν U ( a , b , r 2 ) {\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }\,U(a,b,r^{2})} Γ ( 2 + ν − b ) 2 Γ ( 2 + ν − b + a ) ( k 2 ) ν e − k 2 4 1 F 1 ( a , 2 + a − b + ν , k 2 4 ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{\,2\,\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }\,e^{-{\frac {k^{2}}{4}}\,}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)} r n J μ ( l r ) e − s r {\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)\,e^{-sr} 타원형 적분 으로 표현 가능.[12] − r 2 f ( r ) {\displaystyle -r^{2}f(r)} d 2 F ν d k 2 + 1 k d F ν d k − ν 2 k 2 F ν {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{\nu }\,}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}\,F_{\nu }}
Kn (z )번째 종류의 변형된 베셀 함수 , K (z )번째 종류의 완전한 타원 적분 이다.
그 표현
d 2 F 0 d k 2 + 1 k d F 0 d k {\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2} F_{0}\,}{\mathrm {d}k^{2}}+{\frac {1}{1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d}F_{0}\,}{\mathrm {d}k}}}}}}} 극좌표(k, θ 라플라스 연산자 에 대한 표현식과 일치하며, 이는 spherrical 대칭 함수 F(k0 ) 에 적용된다.
제르니케 다항식 의 한켈 변환은 본질적으로 베셀 함수(Noll 1976년):
R n m ( r ) = ( − 1 ) n − m 2 ∫ 0 ∞ J n + 1 ( k ) J m ( k r ) d k {\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int_{0}^{\infit }J_{n+1}(k) J_{m}(kr)\,\mathrm {d}k} 짝수 n 0 인 경우.
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(는)
함수 
표시된 각도 모멘텀의 역할을 한다
복잡성으로 숫자로 계산할 수 있다. 
