범례 변환(통합 변환)

수학에서 레전드르 변환은 수학자 Adrien-Marie Legendre의 이름을 딴 일체형 변환으로, 레전드르 다항식 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $){\displaystyle P_{n}(x)}$을 변환의 커널로 사용한다$$.레전드르 변환은 자코비 변환의 특별한 경우다.

함수 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$의 범례 변환은$$^[1][2][3]

${\displaystyle {\mathcal{J}_{n}\{f(x)\}={\tilde {f}(n)=\int_{-1}^{1}P_{n(x)\f(x)\dx}$

역 범례 변환은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal{J}_{n}^{-1}\{\tilde{f}(n)\{f}}}\sum _{n=0}^{n=0}{\inflty }{{2n+1}{\tilde{f}}}}}{{n}}}}}}}}x}}}}}}}}.$

연관된 범례 변환

관련 범례 변환은

${\displaystyle {\mathcal{J}_{n},m}\{f(x)\}={\tilde{f}}}}(n,m)=\int_{-1}^{1}{1}(x^{2})^{-m/2}}P_{n(x)\dx}$

역 범례 변환은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal{J}_{n},m}^{-1}\{\tilde {f}}(n,m)\}=f(x)=\sum _{n=0}^{\frac {2n+1}{2}}:\frac {(n-m)!}{{n+m!}}}{\tilde{f}}(n,m)(1-x^{2}^{m/2}}P_{n}^{m}(x)}$

일부 Legendre 변환 쌍

$f(x)\,}$	${\displaystyle {\tild}{f}(n)\,}$
${\displaystyle x^{n}\,}$	${\displaystyle {\frac {2^{n+1}(n!)^{2}}{n+1)!}}}$
${\displaystyle e^{ax}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi}{a}}}I_{n+1/2}(a)}$
${\displaystyle e^{iax}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi }{a}}i^{n}J_{n+1/2}(a)}$
$(\displaystyle xf(x)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2n+1}[(n+1){\tilde {f}(n+1)+n{\tilde {f}(n-1)]}$
${\displaystyle(1-x^{2})^{-1/2}\,}$	${\displaystyle \pi P_{n}^{2}(0)}$
${\displaystyle [2(a-x)]^{-1}\,}$	${\displaystyle Q_{n}(a)}$
${\displaystyle (1-2ax+a^{2})^{-1/2},\ a <1\,}$	${\displaystyle 2a^{n}(2n+1)^{-1}$
${\displaystyle (1-2ax+a^{2})^{-3/2},\ a <1\,}$	${\displaystyle 2a^{n}(1-a^{2})^{-1}$
${\displaystyle \int _{0}^{a}{\frac {t^{b-1}\,dt}{(1-2xt+t^{2}^{1}^{1/2}}}},\ a <1\ b>0\,}$	${\displaystyle {\frac {2a^{n+b}{{n+1)(n+b)}}}$
${\displaystyle {\frac {d}{dx}\왼쪽[(1-x^{2})}{\frac {d}{d}}\dx}\right]f(x)\,}$	${\displaystyle -n(n+1){\tilde {f}(n)}$
${\displaystyle \left\{\frac {d}}{dx}\left[(1-x^{2}){\frac {d}}{dx}}\right\\}^{k}f(x)\,}$	${\displaystyle(-1)^{k}n^{k}(n+1)^{k}{\tilde {f}(n)}$
${\displaystyle {\frac {f(x)}{4}-{\frac {d}{dx}\왼쪽[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}\right]f(x)\,}$	${\displaystyle \left(n+{\frac {1}{1}{2}}\오른쪽)^{2}{\tilde{f}}n}$
${\displaystyle \ln(1-x)\,}$	${\displaystyle {\case}2(\ln 2-1),&n=0\\-{\frac {2}{n(n+1)},&n>0\end{case},},}$
${\displaystyle f(x)*g(x)\,}$	${\displaystyle {\tilde {f}(n){\tilde {g}(n)}$
${\displaystyle \int _{-1}^{x}f(t)\,dt\,}$	${\displaystyle {\n1}{f}-{\f}-{\f}(1),&n=0\\\\\frac {{\tilde {{f}(n-1)-{\f}-{{n+1}{2n+1},&n}\case{n},},},}$
${\dplaystyle {\frac {d}{dx}g(x),\g(x)=\int_{-1}^{x}f(t)\,dt}$	${\displaystyle g(1)-\int _{-1}^{1}g(x){\frac {d}{dx}}}}P_{n}(x)\,dx}$

참조