멜린 변환

수학에서 멜린 변환은 양면 라플라스 변환의 승법 버전으로 간주될 수 있는 일체형 변환이다. 이 적분 변환은 디리클레 시리즈 이론과 밀접하게 연결되어 있으며, 숫자 이론, 수학적 통계학, 점증적 팽창 이론에 자주 사용된다; 라플라스 변환과 푸리에 변환, 감마함수와 연합된 특수함수의 이론과 밀접한 관련이 있다.

함수 f의 멜린 변환은

${\displaystyle \left\{\mathcal {M}f\right\}=\varphi(s)=\int _{0}^{\int _{0}^{\x^{s-1(x)\,dx.}$

역변형은

${\displaystyle \left\{\mathcal {M}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}\int_{c-i\infty }^{-s}\varphi(s)\,ds.}$

이 표기법은 이것이 복잡한 평면에서 수직선을 넘어서는 선으로서, 실제 부분 c는 특정 조건을 만족하는 경우에 임의로 이루어진다. 이 역전이 유효한 조건은 멜린 역전 정리에 주어진다.

이 변형은 핀란드 수학자 할마르 멜린의 이름을 따서 지은 것인데, 그는 악타 소시에타티스 사이언티아룸 펜니쿠에 1897년 발표한 논문에서 이 변형을 소개했다.^[1]

다른 변환과의 관계

양면 라플라스 변환은 멜린 변환의 관점에서 정의될 수 있다.

${\displaystyle \left\{\mathcal {B}f\right\}(s)=\left\{\mathcal {M}f(-\ln x)\right\}s}$

반대로 우리는 양면 라플라스 변환으로부터 멜린 변환을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left\{\mathcal {M}f\right\}=\left\{\mathcal {B}f(e^{-x})\right\}s.}$

그 Mellin 대해 변환은 확장 불변은 통합은 곱셈의 하르 측도에 대한 커널 xs을 사용하여, d)){\textstyle{\frac{dx}{)}}},)이 찐 x=d)x(는 x), x{\displaystylex\mapsto 도끼}↦,{\textstyle{\frac{d(도끼)}{도끼}}={\frac{dx}{)}};생각할 수 있다.}$$ 양면 Laplace 변환은 번역 불변성인 가법 측정 d ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dx}$에 대해 통합되므로 $d{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle a)}$= $(\displaystyle d(x+a)=dx}$.

우리는 또한 Fourier 변환을 Mellin 변환의 관점에서 그리고 그 반대로 정의할 수 있다; Mellin 변환과 위에서 정의한 양면 Laplace 변환의 측면에서.

${\displaystyle \left\{\mathcal {F}f\right\}s(-s)=\{\mathcal {B}f\right\}(-is)=\left\{\mathcal {M}f(-ln x)\rig(-is)\ .}$

우리는 또한 그 과정을 되돌려서 얻을 수도 있다.

${\displaystyle \left\{\mathcal {M}f\right\}(s)=\left={B}f(e^-x})\right\{\mathcal {F}(e^{-x})\is\.}$

또한 멜린 변환은 포아송-멜린-뉴턴 사이클을 통해 뉴턴 시리즈 또는 이항 변환과 포아송 생성 함수를 연결한다.

멜린 변환은 곱셈을 가진 양수들의 지역적으로 콤팩트한 아벨리안 그룹의 콘볼루션 대수학에서 겔판드 변환으로 볼 수도 있다.

예

카헨-멜린 적분

$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) =${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle x^{}}$ ${\$ f$(x)=e^{-x}$의 Mellin 변환은$$

${\displaystyle \Gamma(s)=\int _{0}^{\infit }x^{s-1}e^{-x}dx}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(s}$) ${\displaystyle \Gamma(s)}$은 감마함수다. 단순한 받침목으로 z에Γ(s){\displaystyle \Gamma(s)}은 유리 함수=0− 1, − 2,…{\displaystyle z=0,-1,-2,\dots}.[2]따라서, Γ(s){\displaystyle \Gamma(s)}ℜ(s)을에는 분석;0{\displaystyle \Re(s)>0}.그러므로 c>0{\displaystyle c>0}와 zs−{\displ.$aystyle$ z$^{-s}$ 주가지에 역변형이 주어진다.

${\displaystyle e^{}}$- ${\displaystyle z^{}}$= 1 ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{i}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$ c${\displaystyle {}_{}^{}}$+ i ${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{}}$ (${\displaystyle s}$) z${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle s{}^{}}$ ${\displaystyle s^{}}$ ${\displaystyle s}${\$daystyle e^{-z}={\frac {1}{2\pi$ i$}\int _{c-i\i$\ft $^{c+i\ft}}}}\Gamma(s$

이 적분은 카헨-멜린 적분으로 알려져 있다.^[3]

다항함수

$\int {}_{}^{}$ ${0\mathrm{}}_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ ${}_{}^{}{}^{}$ $d^{}$ ${}^{}$ d $x$ ${\textstyle \int _{0}^{\infort }x^{a}dx}$은(는${\displaystyle )}$ $\$ R {\$displaystyle a\in$ \$mathb$ {R$}}$의 어떤 값에도 수렴되지 않으므로$$$,$ 멜린 변환은 전체 양의 실제 축에 정의된 다항 함수에 대해 정의되지 않는다. 그러나 실제 축의 다른 부분에서 0으로 정의함으로써 멜린 변환을 취할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle f(x)={\displaystyle f(x)={\case}x^{a}&x<1,\0&x>1,\end{case}}}}$

그때

${\displaystyle {\mathcal{M}f=\int _{0}^{1}x^{1}x^{a-1}x=\int _{0}x^{0}x^{1}x^{1}x^{s+1}dx={\frac {1}{1}s+a}.}$

따라서 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle f}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal$ {\mathcal{$M}f}$는${\displaystyle s}$ =$$- {\$displaystyle s$=-a$}$에 단순 폴을 가지며$$$$, 따라서 ( )-{\$displaystyle \Re(s)-$}에 대해 정의된다 마찬가지로, 다음과 같은 경우

${\displaystyle f(x)={\displaysty}0&x<1,\x^{b}1,\end{case}}}}}$

그때

${\displaystyle {\mathcal {M}f=\int _{1}^{{1}^{\x-1}x-1}x^{b-=\int _{1}^{1}s+1dx=-{\frac {1}.}$

따라서 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle {\mathcal {\$mathcal {$M}f}$에는 ${\displaystyle s}$=${\displaystyle }$-$$b = {\$displaystyle$ s=-$b}$에 간단한 폴이 있으므로$$$$ ( s)<- b < - ${\displaystyle \Re (s)-b}$에 대해 정의된다

> ${\displaystyle p>0}$의 경우 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle p^{}}$ x ${\$을(를) 두십시오$.$ 그러면

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-px}{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {u}{p}}\right)^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\Gamma (s).}$

제타 함수

멜린 변환을 사용하여 리만 제타함수의 기본 공식 중 하나인 formulas($s{\displaystyle }$ $){\displaystyle \zeta(s)}.$let $f(x$)$$= $\frac{1{}^{}}{}$ $\frac{\mathrm{e}}{}$ -$\frac{{}^{}}{}$1 ${\$ 그런 다음.

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-nx}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\Gamma (s)=\Gamma (s)\zeta (s).}$

그러므로,

$}}{\displaystyle \zeta={\frac {1}{\properties}\int_{0}^{0}{\x^{s-1}{\frac {1}{e^}-1dx.}$

일반화된 가우스어

> ${\displaystyle p>0$의 경우 ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= e${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {p^{}}^{}}$ ${\$예: $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 스케일 계수가 없는 일반화된 가우스 분포)로 한다. 그러면

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}x^{s-p}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}(x^{p})^{s/p-1}e^{-x^{p}}dx={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }u^{s/p-1}e^{-u}du={\frac {\Gamma (s/p)}{p}}.}$

특히 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s=1$}을$($를) 설정하면 다음과 같은 형태의 감마 함수가 복구된다$$.

${\displaystyle \Gamma \left(1+{\frac {1}{p}\오른쪽)=\int_{0}^{0}{\inflt }e^{-x^{p}dx.}$

기본 스트립

α 들어, β ∈ R{\displaystyle \alpha ,\beta\in \mathbb{R}}, 개방된 스트립 ⟨ α,β ⟩ C{\displaystyles\in \mathbb{C}∈ 다 하s}가 s)σ+나는α<>로{\displaystyle s=\sigma +it}하루에 500파운드, σ<>β.{\displaystyle \alpha<>\sigma &l 정의될{\displaystyle\langle \alpha ,\beta \rangle}.t;\beta.} $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle {\mathcal{M}f}$의 기본 스트립은 정의된 가장 큰 오픈 스트립으로 정의된다$$. 예를 들어 > ${\displaystyle a>b}$의 기본 스트립은

${\displaystyle f(x)={\displaystyle f(x)={\case}x^{a}&x<1,\x^{b}}1,\case}}}}}$

is ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$ As seen by this example, the asymptotics of the function as ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ define the left endpoint of its fundamental strip, and the asymptotics of the function as ${\displaystyle x\to +\infty }$ define its right endpoint. To summarize using Big O notation, if ${\displaystyle f}$ is ${\displaystyle O(x^{a})}$ as ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ and ${\displaystyle O(x^{b})}$ as ${\displaystyle x\to +\infty ,}$ then ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ is defined in the 스트립 ${\displaystyle ⟨}$ - ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle ⟩.}$ ${\displaystyle \langle -a,-b\angle .}$

이것의 적용은 감마함수 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Gamma (s$)에서 볼 수 있다$.$$}$ Since ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ is ${\displaystyle O(0)}$ as ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ and ${\displaystyle O(x^{k})}$ for all ${\displaystyle k,}$ then ${\displaystyle \Gamma (s)={\mathcal {M}}f(s)}$ should be defined in ${\displaystyle ⟨}$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$$\langle$ 0$,+\puty \angle ,}$ 스트립이 $\Re {\displaystyle \mathrm{}}$( ) > {\displaystyle$\Gamma (s)}$이 () > 0 ${\displaysty \Re (s)>0$에 대한 분석적임을$$ 확인하는 스트립.$}$

특성.

이 표의 속성은 브레이스웰(2000)에서 찾을 수 있다.

멜린 변환의 속성

함수	멜린 변환	기본 스트립	평.
${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle {\f}=\{\mathcal {M}f\}}=\int _{0}^{0}{\f(x)x^{s}{\frac {dx}{x}}}}}}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$	정의
${\displaystyle x^{\nu }\,f(x)}$	${\displaystyle {\tilde{f}(s+\nu )}$	$\displaystyle \alpha -\Re \nu <\re beta -\re \nu }$
${\displaystyle f(x^{\nu }})}$	${\displaystyle {\frac{1}{ \nu }}\nu }}\{\tilde {f}\frac {s}{\nu }\오른쪽)}}$	$\displaystyle \alpha <\nu ^{-1}\,\re s<\beta }$	${\displaystyle \nu \in \mathb {R} ,\;\nu \neq 0}$
${\displaystyle f(x^{-1})}$	${\displaystyle {\tilde{f}(-s)}$	$(\displaystyle -\beta <\re s>-\alpha }$
${\displaystyle x^{-1}\,f(x^{-1})}$	${\displaystyle {\tilde{f}(1-s)}$	$1-\beta \res<1-\alpha }$	비자발적
${\displaystyle {\overline {f(x)}}$	${\displaystyle {\overline {{\tild{f}}({\overline {s})}}}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$	여기서 $z$의${\$은(는) $z{\displaystyle }${\$displaystyle$ z$}$의 복잡한 결합을 나타낸다$$$.$
${\displaystyle f(\nu x)}$	${\displaystyle \nu ^{-s}{\tilde{f}}s}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$	> ${\displaystyle \nu >0$ 스케일링
$(\displaystyle f(x)\,\ln x}$	${\displaystyle {\tilde {f}'s}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$
${\displaystyle f'(x)}$	${\displaystyle -(s-1)\,{\tilde {f}(s-1)}$	${\displaystyle \alpha -1<\res<\beta -1}$
$(\displaystyle x\,f'(x)}$	${\displaystyle -s\,{\tilde {f}s}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$
${\displaystyle \int _{0}^{x}f(y)\,dy}$	${\displaystyle -s^{-1}\,{\tilde {f}(s+1)}$	${\displaystyle \alpha -1<\re s(\beta -1,0)}$	적분이 존재하는 경우에만 유효하다.
${\displaystyle \int _{x}^{\\inf(y)\,dy}$	${\displaystyle s^{-1}\,{\tilde {f}(s+1)}$	${\displaystyle \max(\alpha -1,0)<\re><\beta -1}$	적분이 존재하는 경우에만 유효하다.
${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\inf_{1}(y^{-1}x)\,f_{2}(y){\frac {dy}{y}}}}}}$	${\displaystyle {\tilde{f}_{1}s\,{\tilde {f}_{2}s}$	${\displaystyle \max(\alpha _{1},\alpha _{2})<\re s<\min(\beta _{1},\beta _{2})}$	콘볼루션(복제)
${\displaystyle f_{1}(x)\,f_{2}(x)}$	${\displaystyle {1}{2\pi i}\int _{c-i\infit }^{c+i\infit }{f}_{1}(r)\,{\tilde {f}_{{f}_{2}(s-r)\,dr}$	${\displaystyle {\displaysty}\regated _{2}+c&\\Re<\beta _{2}+c\\\\alpha _{1}&<c<\beta _{1}\end{aigned}}}}$	곱하기. 적분이 존재하는 경우에만 유효하다. 적분체의 존재를 보장하는 조건은 아래의 파르세발 정리를 참조한다.

파르세발의 정리 및 플랑쉐렐의 정리

명확한 Mellin 변환과~1,2(s)조의 f1()){\displaystyle f_{1}())}와 f2()){\displaystyle f_{2}())} 기능)M{f1,2}(s){\displaystyle{\tilde{f}}_ᆴ(s)={{M\mathcal}}\{f_{120}\}(s)}의 근본적인 스트립 α 1에 2<ℜ의<>β 1,2자. {\di만약 기능)− 1/2f1()){\displaystyle cSplaystyle \alpha _{1,2}<, \Re s<, \beta _{1,2}}. 최대로 c∈ R{\displaystylec\in \mathbb{R}}(α 1,1− β 2)<>요리 <,분(β 1,1− α 2){\displaystyle \max(\alpha_{1},1-\beta_{2})<, c<, \min(\beta_{1},1-\alpha_{2})}.자.x^{c-1/2}\,f_{1}($x)}$ 및$$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 2 -${\displaystyle c^{}}$ f ${\displaystyle 2{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ x$^{1/2-c}\,f_{2}(x)$도 ${\displaystyle \mathrm{간격}}{\displaystyle }$( 0 ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle (0,\infty$)에 걸쳐 제곱 통합이 가능하며$,$ 파르세발의 공식은 다음과 같이 유지된다.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(1-s)\,ds}$

오른쪽의 통합은 (적합한 변환) 기본 스트립의 중첩 내에 완전히 놓여 있는$$ 수직선 $line{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle r}$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Re$ r$=c}$을 따라 수행된다.

$우리$는 f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f_{2}(x)}$을(를) ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 2 (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {{x\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {0{}_{}}^{}}$- 1 $(\$로 바꿀 수$$있다$.$ 이것은 다음과 같은 대체 형태의 정리를 제공한다. 명확한 Mellin 변환과~1,2(s)조의 f1()){\displaystyle f_{1}())}와 f2()){\displaystyle f_{2}())} 기능)M{f1,2}(s){\displaystyle{\tilde{f}}_ᆴ(s)={{M\mathcal}}\{f_{120}\}(s)}의 근본적인 스트립 α 1에 2<ℜ의<>β 1,2자. {\dα 2<과Isplaystyle \alpha _{1,2}<, \Re s<, \beta _{1,2}}. c∈ R{\displaystylec\in \mathbb{R}}α 1<>로 임명하시고, 요리<>β 1{\displaystyle \alpha_{1}<, c<, \beta _{1}}선택을 하고 s 0∈ C{\displaystyle s_{0}\in \mathbb{C}};ℜ s0− c<>β 2{\displaystyle \alpha_{2}<, \.리 s_{0}-c<, \beta _{2}}. 나는f the functions ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ and ${\displaystyle x^{s_{0}-c-1/2}\,f_{2}(x)}$ are also square-integrable over the interval ${\displaystyle (0,\infty )}$, then we have ^[6]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(s_{0}-s)\,ds}$

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f_{2}(x)}$을(를) ${\displaystyle \stackrel{}{f}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ x${\displaystyle \stackrel{}{}}$)의 ${\$ {\displaystyle ${\\overline {f_{1}(x)}}}$로 교체할 수 있다$.$ 이렇게 하면 다음과 같은 정리를 할 수 있다. 근본적인 스트립α에 명확한 Mellin 대해 변형과 f()){\displaystyle f())} 함수 f~(s))M{f}(s){\displaystyle{\tilde{f}}(s)={{M\mathcal}}\ᆲ(s)};ℜ의<>β{\displaystyle \alpha<>자.α<>로 \Re s<, \beta} 할게. c∈ R{\displaystylec\in \mathbb{R}};요리<>β{년.$displaystyle \alpha$<$c$$<\$$beta$ ${\displaystyle {\mathrm{함수}}^{}}$ $x{\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ x$^{c-1/2}\,f(x$$)}$도 ${\displaystyle \mathrm{간격}}{\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$,$∞$)에 걸쳐 제곱 통합이 가능하다면$,$ Planchrel의 정리에는 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\nf(x) ^{2}\,x^{2c-1}dx={\frac {1}{2\pi }\int_{-\nflte{f}}}{\nf}(c+it) ^{{2},d}$

L공간에² 대한 등계측정으로

힐버트 공간의 연구에서 멜린 변형은 종종 약간 다른 방식으로 표현된다. For functions in ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ (see Lp space) the fundamental strip always includes ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$, so we may define a linear operator ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ as

${\displaystyle {\tilde {\m}\colon L^{2}(0,\fty )\to L^{2}(-\fty,\fty )),}$

${\displaystyle \{\tilde {\mathcal {M}f\}s:={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int _{0}^{\\inflt }x^{-{-{-}}+is(x)f(x)\,dx.}$

다시 말해, 우리는 설정해 놓은 것이다.

${\displaystyle \{\tilde {\mathcal {M}f\}s:={\tfrac{1}{\sqrt {2\pi }}\{\mathcal {M}f\}}({\tfrac {1}{2}}+is).}$

이 연산자는 보통 $평범한{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\$으로 표시되며$$ "Mellin 변환"이라고 불리지만, $M{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$~ ${\$ {$M}}$은(는) 이 글의 다른 곳에서 사용되는 정의와 구별하기 위해 여기에서 사용된다$$. 그러면 Mellin 반전 $정리$는 M${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\${\$tilde${\$mathcal{M}}}}}$이(가) 역방향으로 반전됨을 보여준다.

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}^{-1}\colon L^{2}(-\flotty,\flotty)\to L^{2}(0,\flotty ),}$

$}}{\displaystyle \{\tilde {\mathcal {}^{-1}\varphi \}x(x)={\frac {1}{\sqrt{2\pi }}}\int_{-{1}-is}varphi\ds}.$

Furthermore, this operator is an isometry, that is to say ${\displaystyle \ {\tilde {\mathcal {M}}}f\ _{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\ f\ _{L^{2}(0,\infty )}}$ for all ${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$ (this explains why the factor of ${\displaystyle 1}$${\displaystyle /}$ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$이(가) 사용됨$$).

에서.

확률론에서 멜린 변환은 무작위 변수의 산물의 분포를 연구하는 데 필수적인 도구다.^[8] X가 랜덤 변수이고 X⁺ = max{X,0}이(가) 양의 부분을 나타내고, X ⁻ = max{-X,0}이(가) 음의 부분인 경우 X의 Mellin 변환은 다음과^[9] 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal{M}_{X}=\int _{0}^{\inty }x^{s}dF_{X^{X^{X^{+}(x)+\gamma \int_{0}^{\inful }x^{s}dF_{X^{-}(x),}$

여기서 γ은 γ² = 1을 갖는 형식 미확정이다. 이 변환은 일부 복잡한 스트립 D = {s : ≤ Re(s) ≤ b}에 있는 모든 s에 대해 존재한다. 여기서 0 0 b b.^[9]

랜덤 변수 X의 Mellin 변환 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( ${\displaystyle i}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{M}_{X}(it)}$는 분포 함수 F를_X 고유하게 결정한다.^[9] 확률 이론에서 멜린 변환의 중요성은 X와 Y가 두 개의 독립된 랜덤 변수라면, 그들의 제품의 멜린 변환은 X와 Y의 멜린 변환의 제품과 동일하다는 사실에 있다.^[10]

$displaystyle {\mathcal{\mathcal{\mathcal}}}}M}_{XY}={\mathcal{M}_{X}{\mathcal{M}_{Y}}}}$

일반적인 차원(한 각도와 반지름, 그리고 나머지 길이의 직교 좌표)의 원통형 좌표에서 라플라시안에는 항상 다음과 같은 용어가 있다.

${\displaystyle {\frac{1}{r}{\frac {\frac}{\properties r}}\왼쪽(r{\frac {\frac}{\propert r}\right)=f_{r}+{fr_{f_{r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

예를 들어, 2-D 극좌표에서 라플라시안은 다음과 같다.

${\displaystyle \fla ^{2}f={\frac {1}{{}{\frac }{\flac }{\frac }{\frac }{\fla r}}}}{\fract }{1}{r^{2}f}}}{{na}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{na}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

3차원 원통형 좌표에서 라플라시안은

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

이 용어는 다음과 같은 이유로 멜린 변환으로 다룰 수 있다.^[11]

$r\displaystystyleyled {\r\r\r\r\r\r\mathcaleputcaleputcaleputcaleputcaleputcalone{{{{{}M}\cHB(r^{2}f_{rr}+rf_{r}r\r\s\s\right)=s^{2}{{{{}{\mathcal {M}\left(f,r\to s\right)=s^{2}F}$

예를 들어 극좌표에서 2-D Laplace 방정식은 다음 두 변수에서 PDE이다.

$rr}{\}{\displaystyle r^{2}f_{rr}+f_{r}+f_{\ta \ta }=0}$

그럴리고 곱하 기:

${\displaystyle {\frac{1}{r}{\frac {\fract }{\frac }{\frac {\flac {\reason r}\right)+{\frac {1}{1}{r^{2}f}{\fracta{2}}{2}}=0}$

반경에 있는 Mellin 변환으로 단순 고조파 오실레이터가 됨:

${\displaystyle F_{\theta \theta }+s^{2}}F=0}$

일반적인 해결 방법:

$cosdisplaystyle F,\theta C_{1}c_{1}c_{2}sin(s\ta )}$

이제 원래의 라플라스 방정식에 간단한 쐐기 경계 조건을 적용해보자.

$0}=ar),\display f(r,\theta _{0}=b(r$

멜린 은이 .

$F _{displaystyle F,-\theta _{0}=A,\quad F,\ta _{0}=B}$

솔루션에 부과되는 이러한 조건은 다음과 같이 구체화한다.

${\displaystyle F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}}$

이제 멜린 변환을 위한 콘볼루션 정리에 의해 멜린 영역의 해결책은 다음과 같이 반전될 수 있다.

${\displaystyle f(r,\theta )={\frac {r^{m}\cos(m\theta )}{2\theta _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}+{\frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}\right)x^{m-1}\,dx}$

다음과 다만하다.

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\varphi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\to r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\varphi )}{1+2r^{m}\cos(m\varphi )+r^{2m}}}}}$

여기서 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$

어플리케이션

Mellin Transform은 규모의 침입 특성 때문에 알고리즘^{[clarification needed]} 분석을 위해 컴퓨터 과학에서 널리 사용된다. 스케일링된 함수의 멜린 변환의 크기는 순전히 가상의 입력에 대한 원래 함수의 크기와 동일하다. 이 척도 불연속 특성은 푸리에 변환의 시프트 불연속 특성과 유사하다. 시간 변화 함수의 푸리에 변환의 크기는 원래 함수의 푸리에 변환의 크기와 동일하다.

이 속성은 이미지 인식에 유용하다. 카메라 쪽으로 또는 카메라에서 멀리 물체가 이동될 때 물체의 이미지는 쉽게 크기가 조정된다.

양자역학과 특히 양자장 이론에서 푸리에 공간은 모멘텀과 위치가 서로 푸리에 변환되기 때문에 매우 유용하고 광범위하게 사용된다(예를 들어 파인만 도표는 모멘텀 공간에서 훨씬 쉽게 계산된다). 2011년 A. 리암 피츠패트릭, 재러드 카플란, 조앙 페네돈스, 수브라트 라주, 발트 반 리스는 멜린 공간이 ADS/CFT 통신의 맥락에서 유사한 역할을 하고 있음을 보여주었다.^[12][13][14]

예

• Perron의 공식은 Dirichlet 시리즈에 적용된 역 멜린 변환을 설명한다.
• 멜린 변환은 프라임 카운팅 함수의 분석에 사용되며 리만 제타 함수의 논의에서 발생한다.
• 역 멜린 변환은 일반적으로 리에즈(Riesz)
• 멜린 변환은 오디오 타임스케일-피치 수정에 사용될^{[citation needed]} 수 있다.

표 선한한 Mellin 변환

멜린 변환에 대한 다음과 같은 흥미로운 예는 브레이스웰(2000)과 에르델리(1954)에서 찾을 수 있다.

한 멜랭

$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle Mellin\mathcal{}}$ 변환 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= M${\displaystyle }${ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \}}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle {\tilde{f}}={\mathcal{M}\{f\}s}}}}$		댓
$edisplaystyle e^{-x}}$	$displaystyle \Gamma(s)]$	$0번 화면표시 형식 0.$
${\displaystyle e^{-x}-1}$	$displaystyle \Gamma(s)]$	$-1][rese][0]$
${\displaystyle e^{-x}-1+x}$	$displaystyle \Gamma(s)]$	$}{\displaystyle -2<\res(-1})$
$displaystyle e^{-x^{2}}$	$1}:{1}:{1displaystyle {displaystyle {\tfrac {1}{1}:{1}}}\}}}$	$0번 화면표시 형식 0.$
${\displaystyle \mathrm {erfc}(x)}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma({\tfrac {1}{2}}(1+s)))}{{\sqrt{\pi}}\\;s}}$	$0번 화면표시 형식 0.$
${\displaystyle e^{-(\ln x)^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {\pi }\,e^{{\tfrac {1}{4}s^{2}}:}$	$[#######################]$
$\displaystyle \cHB(x-a)}$	${\displaystyle a^{s-1}$	$0번 화면표시 형식 0.$	> ,( ) ${\displaystyle a>0,\;\delta (x)}$은 디락 델타 함수다.
${\displaystyle u(1-x)=\left\{\nft}&&#;{\text{if}\x1\\&#&#;{\text}\1\x\inft &\ended}\right.}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}$	$0번 화면표시 형식 0.$	${\displaystyle u}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle u(x)}$은(는) Hubiside 스텝 함수임
${\displaystyle -u(x-1)=\좌측\{\\nfged}&&\;{\text{if}\x<1&\&-1&\;{\text{f}\x}\inft &\ended}\right.}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}$	$[#############################$
${\displaystyle u(1-x)\,x^{a}=\좌측\{\\nf^{a}&\;{\text{a}&\;0<x1&\&0&\;{\text}}\1<x>\infty &\end{aigned}\ried}\right.}$	${\displaystyle {\frac {1}{s+a}}$	$[\displaystyle -\re re re s}$
${\displaystyle -u(x-1)\,x^{a}=\좌측\{\\\nfronted}&&\;{\cHB&#1&\-x^{a}&\\cH00\\\text{f}\ft}\1\x\infline}\riged}\ried}\ried}\ried}\riged}\riged}\riged}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s+a}}$	$[####################################$
${\displaystyle u(1-x)\,x^{a}\ln x=\left\{\ln x&\\;{\cext}\0&\;{\x<1&\&gt;{\ftext}\1\x\infty\end{a}오른쪽.}$	${\displaystyle {\frac {1}{(s+a)^{2}}}}$	$[\displaystyle -\re re re s}$
${\displaystyle -u(x-1)\,x^{a}\ln x=\left\{\ln=&\;{\cHN&&\;{\x^1&\l&\&\-x^{a}\ln&\;{\cext}\x\ftext}\computy &ended\ried\ried\ried}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(s+a)^{2}}}}$	$[####################################$
${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}}$	${\displaystyle 0<\res<1}$
${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{\tan(\pi s)}}}}$	${\displaystyle 0<\res<1}$
${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2\sin({\tfrac {1}{2}}\pi s)}}}$	${\displaystyle 0<\res<2}$
${\displaystyle \ln(1+x)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{s\,\sin(\pi s)}}}$	$[\displaystyle -1][Rese]s[0]$
$\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \sin({\tfrac {1}{2}}\pi s)\,\Gamma(s)}$	$(\displaystyle -1<\res<1})$
$\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle \cos({\tfrac {1}{2}}\pi s)\,\Gamma(s)}$	${\displaystyle 0<\res<1}$
${\displaystyle e^{ix}}$	${\displaystyle e^{i\pi s/2}\,\Gamma(s)}$	${\displaystyle 0<\res<1}$
${\displaystyle J_{0}(x)}$	${\displaystyle {\frac{2^{s-1}{\pi }\,\sin(\pi s/2)\,\왼쪽[\Gamma(s/2)\오른쪽]^{2}}$	${\displaystyle 0<\res<{\tfrac {3}{2}}:}$	${\displaystyle {}_{}J}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle J_{0}(x)}$은(는) 첫 번째 종류의 베셀 함수다.
${\displaystyle Y_{0}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {2^{s-1}{\pi }\,\cos(\pi s/2)\,\왼쪽[\Gamma (s/2)\오른쪽]^{2}}$	${\displaystyle 0<\res<{\tfrac {3}{2}}:}$	${\displaystyle {}_{}Y}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle Y_{0}(x)}$은(는) 두 번째 종류의 베셀 함수다.
${\displaystyle K_{0}(x)}$	${\displaystyle 2^{s-2}\,\왼쪽[\감마(s/2)\오른쪽]^{2}}$	$0번 화면표시 형식 0.$	${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle K_{0}(x)}$은(는) 두 번째 종류의 수정된 베셀 함수다.

참고 항목

• 멜린 반전 정리
• 페론의 공식
• 라마누잔의 마스터 정리

메모들

참조

외부 링크

• Philipe Flajolet, Xavier Gurdon, Philipe Dumas, Mellin Transforms 및 Astemptosics: 조화 총합.
• 안토니오 곤살레스, 마르코 리델 크라이얀도, 뉴스그룹 es.ciencia.matematicas
• 후안 사케르도티, 펑시오네스 오일레리아나스(스페인어).
• Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, 국립표준기술연구원
• Antonio De Sena 및 Davide Roccheso, DAFX에서 애플리케이션을 사용한 FAST Mellin 변환