삼각 치환법

삼각법
개요 역사 사용법 함수(역) 일반 삼각법
참조
정체성 정확한 상수 테이블 단위원
법과 정리
신스 코사인 접선 코탄젠트 피타고라스 정리
미적분학.
삼각 치환법 통합(역 함수) 파생상품
v t

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
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수학에서 삼각함수 치환(trigonometric replacement) 미적분학에서 삼각 치환법은 적분을 평가하는 기법이다. 더욱이 삼차적 정체성을 이용하여 과격한 표현을 포함하는 특정 통합을 단순화할 수도 있다.^[1][2] 치환에 의한 통합의 다른 방법들과 마찬가지로, 확실한 적분을 평가할 때, 통합의 경계를 적용하기 전에 반분제를 완전히 추론하는 것이 더 간단할 수 있다.

사례 I: - x가²² 포함된 통합업체

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ {\$displaystyle$ x$=a\$${\displaystyle \sin }$ $\theta$ ID $1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos$^{2}\$cos$ $\}.$

사례 I의 예

예 1

적분에서

${\displaystyle \int{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}},}$

우리는 사용할 수 있다.

$\displaystyle x=a=a sin \theta,\d\theta,\cso \theta =\arcsin {\frac {x}{a}}.}$

그러면.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int{\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}&=\int{\frac{a\cos \theta \,d\theta}{\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta}}}\\[6pt]&, =\int{\frac{a\cos \theta \,d\theta}(1-\sin ^{2}\theta)}}}\\[6pt]&,=\int{\frac{a\cos \theta \,d\theta}{\sqrt{a^{2}\cos ^{2}\theta}}}\\[6pt]&,=\int d\theta \\는 경우에는 6pt.]&=\theta +C\\는 경우에는 6pt]&=\arcsin {\frac {x}{a}+C.\end{정렬}}}$

위의 단계는 a>0{\displaystyle a>0}과 보이지⁡ θ>0{\displaystyle\cos \theta>0}이 필요하다.우리는 2{\displaystyle a^{2}의{\displaystyle}에가 주요 루트},π/2<−은 제한이 가해지;θ<>π/2{\displaystyle -\pi /2<,\theta<>\pi /2}역 죄를 사용하여 선택할 수 있습니다.e 함수

확실한 적분을 위해서는 통합의 한계가 어떻게 변하는지 파악해야 한다. For example, as ${\displaystyle x}$ goes from ${\displaystyle 0}$ to ${\displaystyle a/2}$, then ${\displaystyle \sin \theta }$ goes from ${\displaystyle 0}$ to ${\displaystyle 1/2}$, so ${\displaystyle \theta }$ goes from ${\displaystyle 0}$ to ${\disp$$레이스타일 \pi /6$ 그러면

${\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}=\int _{0}^{0}{0}{\pi /6d\d\{\frac {\pi}{}}}}}}}}.}$

한계를 고를 때는 어느 정도 주의가 필요하다. 왜냐하면 위에 통합성은− π/2<θ<>π/2{\displaystyle -\pi /2<,\theta<>\pi /2},θ{\theta\displaystyle}0{0\displaystyle}에서 π/6{\displaystyle \pi /6}. 이 제한 무시 갈 수 있도록 하고 사람 θ{\theta\displaystyle}π에서 갈 수 있도록 뽑혔을 수도 있다. {\displays$tyle \pi }$ ~ $5$ ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 6\mathrm{}}$ ${\displaystyle 5\pi /6}.$이 경우 실제 값의 음수가 될 수 있었다.

또는 경계 조건을 적용하기 전에 무기한 통합을 완전히 평가하십시오. 그럴 때는 해독제가 준다.

${\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right){\Biggl }_{0}^{a/2}=\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)-\arcsin(0)={\frac {\pi }{6}}}$ as before.

예 2

적분

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}\,dx,}$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 죄}$ sin${\displaystyle \theta }$, d ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ d${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle \theta }$ = ${\displaystyle \arcsin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$a$,$ {\$displaystyle$ x$=a\sin \theta ,\dx=$a\$cos \theta \,\d\theta =\rcsin {\x}{a}}}}$로 평가할 수 있다.

arcsine의 범위에 의해 어디서 a>0{\displaystyle a>0}도록 2){\displaystyle{\sqrt{a^{2}}}=a}, − π 2≤ θ ≤ π 2{\displaystyle-{\frac{\pi}{2}}\leq\theta \leq{\frac{\pi}{2}}}, cos⁡ θ ≥ 0{\displaystyle\cos \theta \geq 0}과 오리온 2⁡ θ) 했을까⁡ θ{\disp.laysty$레 \sqrt {\cos ^{2}\theta }=\cos \theta$$}.$

그러면.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,dx&,=\int{\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta}}\,(a\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]&, =\int{\sqrt{a^{2}(1-\sin ^{2}\theta)}}\,(a\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]&, =\int{\sqrt{a^{2}(\cos ^{2}\theta)}}\,(a\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]&,=\int(a\cos \theta)(a\cos \theta)\,d\thet.한 \\[6pt]&, =a^{2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}:\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}:{\sqrt {a^{2}-x^{2}}+C.\end{정렬}}}$

분명한 통합 내용은 범위를 변화 한번 대체와 θ)arcsin ⁡){\displaystyle\theta =\arcsin{\frac{)}{를}}}, 범위는 값 − π 2≤ θ ≤ π 2{\displaystyle-{\frac{\pi}{2}}\leq\theta \leq{\frac{\pi}{2}}}. 또는, 이 마련한 방정식을 이용하여 결정되어야 한다.그antiderivative을 위한 공식에 직접 Ary는 용어이다.

예를 들어, 확실한 적분.

${\displaystyle \int_{)}^{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx,}$

로 의 범위를 θ을 사용하여 결정되=2cos⁡ θ dθ{\,d\theta \theta\displaystyle x=2\sin\theta ,\,dx=2\cos})=2세의 ⁡ θ, d)대체하여, 평가를 받을 수 있을까)arcsin x2{\displaystyle\theta =\arcsin{\frac{)}{2}}}⁡.

이후arcsin ⁡(1/2))π/6{\displaystyle \arcsin(1/2)=\pi /6}과arcsin ⁡(− 1/2))− π/6{\displaystyle \arcsin(-1/2)=-\pi /6},.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int _{)}^{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx&, =\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt{4-4\sin ^{2}\theta}}\,(2\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]&, =\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt{4(1-\sin ^{2}\theta)}}\,(2\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]&, =\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt{4(\cos ^{2}\theta)}}\,(2\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]&am.p/&=\int_{-\pi/6}^ᆱ(2\cos \theta)(2\cos \theta)\,d\theta \\[6pt]&,=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos\,d\theta \\[6pt]& ^{2}\theta,=4\int _ᆵ^ᆶ\left({\frac{1+\cos 2\theta}{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&, =2\left[\theta+{\frac{1}{2}}\sin 2\theta \right]_ᆷ^ᆸ=[2\theta +\sin 2\theta]{\Biggl}[6pt]&.;=\left({\frac{\pi }{3}}}\신{3}}\frac {}{3}\오른쪽)-\frac{{3}\pi }\pin \pin }{3}\pi \right)={\frac {}}{3}}}{3}}}}}}.\end{정렬}}}$

한편, 이전에 얻은 항변수율에 대한 공식에 경계 용어를 직접 적용한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[{\frac {2^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\right]_{-1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\arcsin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)-\left(2\arcsin \left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {-1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)\\[6pt]&=\좌측(2\cdot {\frac {\pi }{6}}{6}}{3}\우측)-\좌측(2\cdot \좌측 \frac{}}{6}\우측)-{\frac {\sqrt{3}}}:{3}}\우측)\우측)\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}+{\sqrt{3}}\end{aigned}}}}$

종전과 같이

사례 II: + x를²² 포함하는 통합형

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle x=a\tan \theta }$ $,$ ${\displaystyle {\mathrm{그리고}}^{}}$ $ID{\displaystyle \mathrm{}}$1 + ${\displaystyle {황갈색\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}=}$ = 초 ${\displaystyle 2{}^{}}$⁡ ${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\$2}\$sec ^{2}\thea$$}$ .

사례 II의 예

예 1

적분에서

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}}}$

우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle x=a\tan \tan \theta,\d\theta \d\theta,\d\theta =\fractan {x}{a},}$

적분이 될 수 있도록

${\displaystyle {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}}&=\int{\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta \}{a^{a^{2}+a^{2}}\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\[6pt]&={\frac {\theta }{a}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ne }$ $[\displaystyle a\neq 0}$을(를) 제공했다$.$

분명한 적분, 범위 변화 한번은 대체와 θ 범위에서 π 2<− 값)arctan ⁡){\displaystyle\theta =\arctan{\frac{)}{를}}},, θ<>이 방정식을 이용해서 결정된다;π 2{\displaystyle-{\frac{\pi}{2}}<>\theta<>{\frac{\pi}{2}}}. 대신에, b. 적용되어 공연한다oundary 용어s 바로 해독제의 공식에 도달한다.

예를 들어, 확실한 적분.

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2}}}}\,dx}$

$x{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{황갈색}}$${\displaystyle \theta }$ ,$$${\displaystyle d}$ x${\displaystyle }$= 초 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$ d θ d ${\displaystyle \theta }$ {${$ { $\tan$ \$theta,\\dx=\sec$^{2$}\d\$${\displaystyle \mathrm{theta}}$ $\\d\tea }$을(를$)$ 대체하여 평가할 수 있다$.$

아크탄$$${\displaystyle \mathrm{an}}$ ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \arctan 0=0}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{아크탄}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle \arctan$ 1$=\pi /4$이므로,

${\displaystyle {\regated}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}}&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]&=(4\theta ){\Bigg }_{0}^{\pi /4}=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi .\end{정렬}}}$

한편, 항변수율에 대한 공식에 경계 용어를 직접 적용한다.

${\displaystyle {\displaysty}\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2}}}}\,dx&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\&=4\왼쪽[{\frac {1}{1}:{1}\Arctan {\\frac {1}{1}\right]_{0}^{1}\&=4(\arctan x){\\\\\\\\\\\}Bigg }_{0}^{1}\\&=4(\arctan 1-\arctan 0)\\&=4\좌({\fractan {}{4}-0\우)=\pi ,\ended{aigned}}}}}}}}$

전과 같은

예 2

적분

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,{dx}}$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{황갈색}d}$,${\displaystyle d}$ x = 초 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ d ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle \theta }$ =${\displaystyle \mathrm{아크탄}}$ ${\displaystyle }$ x ${\displaystyle \frac{a}{}}$,${\displaystyle$ x$=a\tan \$tan \$theta$ ,\,$dx=a\2}\teta \\\ta =\fractan$ {x$}{a},}}}}$로 평가할 수 있다.

어디서 a>0{\displaystyle a>0}도록 2){\displaystyle{\sqrt{a^{2}}}=a}, − π 2<θ<>π 2{\displaystyle-{\frac{\pi}{2}}<>\theta<>{\frac{\pi}{2}}}에 의해 범위의 아크 탄젠트, 섹 ⁡θ>0{\displaystyle\sec \theta>0}과초 2⁡ θ)초 ⁡ θ.{\displaystyle{\sqrt${\sec ^{2}\theta }}=\sec \theta$

그러면.

${\displaystyle {\displaysty}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}+a^{2}}\tan ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\sec \theta )(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \sec ^{3}\theta \,d\theta .\\[6pt]\end{aigned}}}$

이차 입방체의 적분은 부품별 통합을 사용하여 평가할 수 있다. 결과적으로.

${\displaystyle {\displaysty}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln \sec \theta +\tan \theta )+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\cdot {\frac {x}{a}}+\ln \left {\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}+{\frac {x}{a}}\right \right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽(x{\sqrt{a^{2}+x^{2})}}}+a^{2}\ln \왼쪽 {\frac {x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{a}\오른쪽 \오른쪽)+C\end{정렬}}}$

사례² III: x - a를² 포함하는 통합업체

$x{\displaystyle }$= 초${\displaystyle \sec }${ {\$displaystyle x=a\sec \theta$ $\},$ ID ${\displaystyle {\sec }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{\theta }}$ - 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{황갈색}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}\theta .}$ ${\displaystyle \sec ^{2}\ta -1=\tan ^{$2}\$2}\tan ^.}$

사례 III의 예

다음과 같은 통합

${\displaystyle \int{\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}:$

삼각 대체보다 부분 분수로도 평가할 수 있다. 단, 적분

${\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}\,dx}$

할 수 없다. 이 경우에 적절한 대체는 다음과 같다.

${\displaystyle x=a\sec \theta ,\dx=a\sec \tan \tan \tan \theta \d\theta \,\theta=\desec} {\frac}{a},},}$

;는 어디에 사용하여<>)을 가정하여 0{\displaystyle a>0}도록 2){\displaystyle{\sqrt{a^{2}}}=a}고, 0≤θ<>π 2{\displaystyle 0\leq \theta<>{\frac{\pi}{2}}};0{\displaystyle x>0}, 황갈색 ⁡ θ ≥ 0{\displaystyle\tan \theta \geq 0}및 tan2⁡ θ){⁡ θ.\displaystyle{\sq$rt {\tan ^{2}\theta }}=\tan$\tan \$theta$ $\}.$

그러면.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx&,=\int{\sqrt{a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdota\sec\theta\tan\theta \,d\theta \\&, =\int{\sqrt{a^{2}(\sec ^{2}\theta))}}\cdota\sec\theta\tan\theta \,d\theta \\&,=\int{\sqrt{a^{2}\tan ^{2}\theta}}\cdota\sec\theta\tan\theta \,d\theta \\&,=\int a^{2}\sec \th.에타\tan ^{2}\theta \\d\theta \&=a^{2}\int (\sec \theta )(\sec \sec \{2}\d\theta \&=a^{2}int(\sec ^{3}\thea -\sec \data.\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}inta aligned}$

분자와 분모를${\displaystyle }$(${\displaystyle 초\theta }$θ + $){\displaystyle (\sec \theta$+\$tan \ta )}$에 곱하여 제2차 함수의 적분과 부품별로 체화된 제2차 함수의 적분을 평가할 수 있다.^[3] 결과적으로.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx&, ={\frac{{2a^}}{2}}(\sec\theta\tan \theta \sec+\tan \theta\theta +\ln)-a^{2}\ln\sec\theta+\tan \theta +C\\[6pt]&, ={\frac{{2a^}}{2}}(\sec\theta\tan \theta \sec+\tan \theta\theta -\ln)[6pt]&, ={\frac{{2a^}}{2}}\left({\frac{)}{를}}\cdot{\sqrt{{\frac{{2x^.}}{a^{2}}})}}-\ln \왼쪽 {\frac {x}{a}+{\sqrt {{\frac{x^{2}}:{a^{2}}-1}\오른쪽 \오른쪽)+C\\[6pt]&={\frac {1}{1}{2}}:\좌(x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}-a^{2}}-ln \좌) {\frac {x+{xqrt{2}-a^{2}}:{a}}{a\우측 \오른쪽)+C+C.\end{정렬}}}$

때 x의<>을 사용할 때 π 2<θ≤ π{\displaystyle{\frac{\pi}{2}}<>\theta \leq \pi},;0{\displaystyle x<0}, 그을리다⁡ θ ≤{\displaystyle\tan \theta \leq 0}, 그 대신에)− tan⁡ θ{\displaystyle{\sqrt{\tan ^{2}\theta}}=-\tan \theta}황갈색 2⁡ θ을 의미하는 아크 시컨트의 범위는 0에서 주어진 일이 일어난다.사건.

삼각함수를 제거하는 대체물

치환법을 사용하여 삼각함수를 제거할 수 있다.

예를 들어.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du&&u=\sin(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\mp {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(\pm {\sqrt {1-u^{2}}},u\right)\,du&&u=\cos(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x)\,dx&=\int {2}{1+u^{2]}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}},{\frac {1-u^{2}}:{1+u^{2}}}}\\\du&u=\tan \leftleft\tfrac {x}{2}}\오른쪽)\\[6pt]\end{aigned}}}$

마지막 대체는 접선 반각 공식을 사용하는 Weierstrass 대체로 알려져 있다.

예를 들어,

${\displaystyle {\pregated}\int {\frac {4\cos x}{3}}\,dx&=\int {2}{1+u^{2}}}}{\frac {4\좌편향\frac {1-u^{2}}:{1+u^{2}}}}}{\왼쪽(1+{\frac{1-u^{2}}:{1+u^{2}}}}\right)^{3}}}\,du=\int (1-u^{2})(1+u^{2})\,du\\&=\int (1-u^{4})\,du=u-{\frac {u^{5}}{5}}+C=\tan {\frac {x}{2}}-{\frac {1}{5}}\tan ^{5}{\frac {x}{2}}+C.\end{정렬}}}$

쌍곡선 대체

쌍곡선 기능의 대체는 통합을 단순화하는 데도 사용될 수 있다.^[4]

적분 $\int {\displaystyle \frac{\sqrt{a{}^{}}}{}}$ 1 a ${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}{}}$+ x ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x\frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2$}$}}}}\,dx$ $치환{\displaystyle }$x = ${\$x=$a\sinh{u$ ${\displaystyle d}$x = ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle u}$ d${\displaystyle u.}$ ${\displaystyle dx=a\$$cosh u\,du$.$}$

Then, using the identities ${\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1}$ and ${\displaystyle \sinh ^{-1}{x}=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),}$

${\displaystyle {\pregated}\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}\,dx&=\int {\frac {a\cosh u}{\sqrt {a^{2}+a^{2}\sinh ^{2}u}}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a{\sqrt {1+\sinh ^{2}{u}}}}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a\cosh u}}\,du\\[6pt]&=u+C\\[6pt]&=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+C\\[6pt]&=\ln \left({\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}+{\frac {x}{a}}\right)+C\\[6pt]&=\ln \left({\frac {{\sqrt{x^{2}+a^{2)}}}+x}{a}\오른쪽)+C\end{aigned}}$

참고 항목

위키다양성은 삼각계 대체에 대한 학습 자원을 가지고 있다.

Wikibooks는 다음과 같은 주제에 관한 책을 가지고 있다: 미적분/통합 기술/트리거계 대체

• 대체에 의한 통합
• 바이어스트라스 대체
• 오일러 대체

참조