파스칼의 정리

Pascal's theorem
타원에 새겨진 자기 교차 육각형 ABCDEF의 파스칼 라인 GHK. 육각형의 반대쪽 면은 같은 색을 가지고 있습니다.
원 안에 새겨진 자기 교차 육각형 ABCDEF입니다. 그 면들은 파스칼의 선 위에서 서로 반대되는 면의 쌍이 교차하도록 확장되어 있습니다. 확장된 반대쪽 면의 각 쌍은 고유의 색상을 가지고 있습니다: 하나의 빨간색, 하나의 노란색, 하나의 파란색. 파스칼의 선은 흰색으로 표시됩니다.

사영기하학에서 파스칼의 정리(라틴어로 신비스러운 육각형을 의미함)는 만약 6개의 임의의 점이 원뿔 위에서 선택되고 (적절한 아핀 평면에서 타원, 포물선 또는 쌍곡선일 수 있음) 어떤 순서로든 선분으로 연결되어 육각형을 형성한다면, 그러면 육각형의 서로 반대쪽 면의 세 쌍은 육각형의 파스칼 선이라고 불리는 직선 위에 있는 세 점에서 만납니다. 그것은 블레즈 파스칼의 이름을 따서 지어졌습니다.

이 정리는 유클리드 평면에서도 유효하지만, 반대쪽이 평행할 때 특수한 경우를 다루기 위해 문장을 조정할 필요가 있습니다.

이 정리는 파푸스의 (육각형) 정리를 일반화한 것으로, 각 선에 세 개의 점이 있는 두 개의 선으로 이루어진 퇴화된 원뿔의 특별한 경우입니다.

유클리드 변종

파스칼 정리의 가장 자연스러운 설정은 사영 평면에 있는 것인데, 왜냐하면 어떤 두 선이 만나도 평행선에 대해서는 예외를 둘 필요가 없기 때문입니다. 그러나 이 정리는 육각형의 반대쪽 면이 평행할 때 일어나는 일에 대한 올바른 해석과 함께 유클리드 평면에서 여전히 유효합니다.

육각형의 반대쪽 면이 정확히 한 쌍만 평행하다면, 그 정리의 결론은 두 교점에 의해 결정되는 "파스칼 선"이 육각형의 평행한 면과 평행하다는 것입니다. 만약 두 쌍의 반대쪽 면이 평행하다면, 반대쪽 면의 세 쌍 모두 평행선 쌍을 형성하고 유클리드 평면에는 파스칼 선이 없습니다(이 경우 확장된 유클리드 평면의 무한대에 있는 선은 육각형의 파스칼 선입니다).

관련결과

파스칼의 정리는 브리앙숑 정리의 극소 역수와 사영 이중입니다. 그것은 블레즈 파스칼이 16세 때인 1639년에 쓴 노트에서 공식화되었고, 그 다음 해에 "에세이 푸를레 코니크"라는 제목의 넓은 면으로 출판되었습니다. 파 B. P."[1]

파스칼의 정리는 케일리-바흐라흐 정리의 특별한 경우입니다.

파스칼 정리의 퇴화된 경우(네 개의 점)는 흥미롭습니다. 원뿔형 γ의 점 ABCD, 서로 다른 변의 교점, AB ∩ CD, BC ∩ DA, 그리고 서로 반대되는 꼭짓점 (A, C)와 (B, D)의 접선의 교점은 네 개의 점에서 공선입니다. 접선은 퇴화된 '변'이고, 축퇴 교점을 공유하는 '헥사곤'과 대응하는 파스칼 선의 두 가지 가능한 위치에서 취합니다. 이는 극-극의 속성을 사용하여 독립적으로 증명될 수 있습니다. 원뿔이 원이라면, 다른 축퇴적인 경우는 삼각형의 경우, 한 변의 교점으로 나타나는 세 점과 게곤 삼각형의 대응하는 변의 교점이 공선임을 말합니다.

6은 5점이 원뿔을 결정하기 때문에 특별한 진술을 할 수 있는 원뿔의 최소 점 수입니다.

그 반대는 18세기 영국 수학자 윌리엄 브레이켄리지와 콜린 매클로린(밀스 1984)의 이름을 딴 브레이켄리지-매클로린 정리로, 육각형의 반대쪽을 지나는 세 쌍의 선의 교점이 한 선 위에 놓이면, 그러면 육각형의 6개의 꼭짓점은 원뿔 위에 놓여집니다. 원뿔은 파푸스의 정리처럼 퇴화될 수 있습니다.[2] 브레이켄리지-매클로린 정리는 다섯 점으로 정의된 원뿔의 합성 구성인 브레이켄리지-매클로린 구성에서 여섯 번째 점을 달리하여 적용될 수 있습니다.

이 정리는 1847년 아우구스트 페르디난트 뫼비우스에 의해 다음과 같이 일반화되었습니다: 4n+2개의 변을 가진 다각형이 원뿔형 단면에 새겨져 있고, 반대쪽 변 쌍이 2n+1개의 점에서 만날 때까지 확장되었다고 가정합니다. 그러면 그 점들 중 2n개가 공통의 선 위에 놓여 있으면 그 선 위에 마지막 점도 있게 됩니다.

헥사그램 미스틱움

원뿔형 단면에 순서가 없는 6개의 점이 주어지면 60가지 다른 방법으로 육각형으로 연결될 수 있고, 그 결과 60가지 다른 파스칼의 정리 사례와 60가지 다른 파스칼 선이 생성됩니다. 60개의 선으로 구성된 이러한 구성을 헥사그램 미스틱움(Hexagramum Mysticum)이라고 합니다.[3][4]

토마스 커크먼이 1849년에 증명했듯이, 이 60개의 선들은 60개의 점과 연관될 수 있습니다. 각 점은 세 개의 선 위에 있고 각 선은 세 개의 점을 포함하는 방식으로 말입니다. 이렇게 형성된 60개의 점은 현재 커크만 점으로 알려져 있습니다.[5] 파스칼 선들도 한 번에 3개씩 20개의 슈타이너 점들을 통과합니다. 20개의 케일리 선이 있는데, 이 선은 슈타이너 점과 3개의 커크먼 점으로 구성되어 있습니다. 슈타이너 점도 15개의 플루커 선에 한 번에 4개씩 놓여 있습니다. 또한 20개의 케일리 선은 연어점으로 알려진 15개의 점을 한 번에 4개씩 지나갑니다.[6]

증명

파스칼의 원음에는[1] 증명이 없지만, 그 정리의 현대적인 증명은 다양합니다.

원뿔이 원일 때 그 정리를 증명하는 것으로 충분합니다. 왜냐하면 사영 변환에 의해 어떤 (퇴화되지 않은) 원뿔도 원으로 줄어들 수 있기 때문입니다. 이것은 파스칼에 의해 실현되었습니다. 파스칼의 첫 번째 보조정리는 원에 대한 정리를 말합니다. 그의 두 번째 보조정리는 한 평면에서 참인 것은 다른 평면에 투영될 때에도 참인 것으로 남아 있다고 말합니다.[1] 축퇴 원뿔은 연속성(비 축퇴 원뿔에 대해서는 정리가 참이므로 축퇴 원뿔의 극한에서 성립함)을 따릅니다.

원의 경우 파스칼의 정리에 대한 짧은 기초적인 증명은 (Guggenheimer 1967)의 증명에 기초하여 van Yzeren(1993)에 의해 발견되었습니다. 이 증명은 원에 대한 정리를 증명한 다음 원뿔에 일반화합니다.

실제 사영 평면의 경우 짧은 기본 계산 증거가 Stefanovic(2010)에 의해 발견되었습니다.

우리는 등각 켤레의 존재로부터 증명을 추론할 수도 있습니다. 만약 X = AB ∩ DE, Y = BC ∩ EF, Z = CD ∩ FA가 원환 ABCDEF에 대해 공선임을 보여준다면, △EYB와 △CYF는 유사하며, 우리가 유사한 삼각형을 겹치면 X와 Z는 등각 켤레에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 이는 ∠CYX = ∠CYZ를 의미하며, 따라서 XYZ가 공선을 이루게 됩니다.

교차 비율 보존을 사용하여 짧은 증명을 구성할 수 있습니다. D에서 라인 AB로 테트라드 ABCE를 투사하고, 우리는 테트라드 ABPX를 얻고, F에서 라인 BC로 테트라드 ABCE를 투사하고, 우리는 테트라드 QBCY를 얻습니다. 따라서 R(AB; PX) = R(QB; CY)는 두 테트라드의 점 중 하나가 겹치는 경우이므로 다른 세 쌍을 연결하는 다른 선이 교차비를 보존하려면 일치해야 합니다. 따라서 XYZ는 공선입니다.

원에 대한 파스칼의 정리의 또 다른 증명은 메넬라오스의 정리를 반복해서 사용합니다.

유명한 단델린 구를 발견한 기하학자 단델린은 데사르게스 정리의 3D 증명과 유사한 "3D 리프팅" 기법을 사용하여 아름다운 증명을 고안했습니다. 이 증명은 모든 원뿔 단면에 대해 원뿔을 통과하는 한 장의 쌍곡선을 찾을 수 있다는 성질을 이용합니다.

또한 파스칼의 정리가 사인과 유사성의 법칙을 이용하여 원에 대한 간단한 증명도 있습니다.

입방 곡선을 이용한 증명

단순 순환 육각형 ABCDEF(오른쪽)의 확장된 반대쪽 면의 교차점은 파스칼 선 MNP(왼쪽)에 있습니다.

파스칼의 정리는 케일리-바흐라흐 정리를 이용한 짧은 증명을 가지고 있는데, 일반적인 위치에서 임의의 8개의 점이 주어지면, 첫 8개까지의 모든 입방체도 9번째 점을 통과하는 고유한 9번째 점이 있습니다. 특히 두 개의 일반 입방체가 8개의 점에서 교차하는 경우 동일한 8개의 점을 통과하는 다른 입방체는 처음 두 입방체의 9번째 교차점을 충족합니다. 파스칼의 정리는 8점을 육각형의 6점으로 하고, 두 점(그림의 M과 N)을 파스칼이 되려는 선에서 9점을 세 번째 점(그림의 P)으로 하는 것으로 이어집니다. 처음 두 입방체는 육각형의 6개의 점을 통과하는 3개의 선으로 이루어진 두 집합이고(예를 들어, 집합 AB, CD, EF, 집합 BC, DE, FA), 세 번째 입방체는 원뿔과 선 MN의 결합입니다. 여기서 "9번째 교차점" P는 일반적으로 원뿔 위에 놓일 수 없으므로 MN 위에 놓입니다.

케일리-바흐라흐 정리는 입방 타원 곡선에 대한 그룹 연산이 연관되어 있음을 증명하는 데에도 사용됩니다. 원뿔 위의 점 E와 평면 위의 선 MP를 선택하면 원뿔 위에 동일한 그룹 연산을 적용할 수 있습니다. A와 B의 합은 먼저 선 AB와 M인 MP의 교점을 구함으로써 얻어집니다. 다음 A와 B는 선 EM이 있는 원뿔의 두 번째 교점인 D까지 더해집니다. 따라서 Q가 선 EN을 갖는 원뿔의 두 번째 교점이라면,

따라서 그룹 작업은 연관성이 있습니다. 다른 한편으로 파스칼의 정리는 위의 연관성 공식을 따르며, 따라서 연속성에 의한 타원 곡선의 그룹 작동의 연관성을 따릅니다.

Bézout의 정리를 이용한 증명

f를 AB, CD, EF를 거쳐 세 선에서 사라지는 3차 다항식이고 g를 나머지 세 선 BC, DE, FA에서 사라지는 3차 다항식이라고 가정해 보겠습니다. 원뿔 위의 일반적인 점 P를 선택하고 입방 h = f + λg가 P 위에서 사라지도록 λ를 선택합니다. 그렇다면 h = 0은 원뿔에 공통적으로 7개의 점 A, B, C, D, E, F, P를 갖는 입방체입니다. 그러나 베주트의 정리에 따르면 큐빅과 원뿔은 공통 성분을 갖지 않는 한 최대 3 × 2 = 6 점의 공통점을 가집니다. 따라서 입방체 h = 0은 원뿔 자체여야 하는 원뿔과 공통된 성분을 가지므로 h = 0은 원뿔과 선의 결합입니다. 이제 이 선이 파스칼 선인지 쉽게 확인할 수 있습니다.

파스칼 육각형의 성질

파스칼 정리의 원뿔 위의 육각형이 점에 대한 위의 표기와 함께 주어졌을 때 (첫 번째 그림에서), 우리는[7]

파스칼 정리의 퇴화

파스칼의 정리: 퇴화

파스칼의 정리에는 5점, 4점, 3점 축퇴 사례가 존재합니다. 퇴화된 경우, 그림에서 이전에 연결된 두 점은 공식적으로 일치하고 연결선은 결합된 점에서 접선이 됩니다. 추가된 스킴에 주어진 축퇴 사례와 원 기하학에 대한 외부 링크를 참조하십시오. 파스칼 도형의 적절한 선을 무한대의 선으로 선택하면 포물선과 쌍곡선에 많은 흥미로운 도형을 얻을 수 있습니다.

참고 항목

메모들

  1. ^ a b c 파스칼 1640, 번역 스미스 1959, 326쪽
  2. ^ H. S. M. 콕서터와 새뮤얼 L. 그라이처 (1967)
  3. ^ 영 1930, 67쪽, 베블렌과 영, 투영기하학, vol. I, p, 138, 전 19.
  4. ^ 콘웨이 & 라이바 2012
  5. ^ 빅스 1981
  6. ^ Wells 1991, p. 172
  7. ^ "A Property of Pascal's Hexagon Pascal May Have Overlooked". 2014-02-03.

참고문헌

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 파스칼의 헥사그램과 관련된 미디어가 있습니다.