선 좌표

기하학에서 선 좌표는 점 좌표(또는 단순 좌표)를 사용하여 점의 위치를 지정하는 것과 마찬가지로 선의 위치를 지정하는 데 사용된다.

평면의 선

평면에서 선의 위치를 지정하는 방법에는 여러 가지가 있다. 간단한 방법은 쌍(m, b)에 의해 이루어진다. 여기서 선의 방정식은 y = mx + b이다. 여기서 m은 경사면이고 b는 y절단이다. 이 시스템은 수직이 아닌 모든 라인에 대한 좌표를 지정한다. 그러나 선의 방정식이 lx + my + 1 = 0인 좌표(l, m)를 대수적으로 사용하는 것이 더 일반적이고 단순하다. 이 시스템은 원점을 통과하는 라인을 제외한 모든 라인에 대한 좌표를 지정한다. l와 m의 기하학적 해석은 각각 x절과 y절의 마이너스 왕복이다.

원점을 통과하는 선의 배제는 3좌표(l, m, n)의 시스템을 사용하여 lx + my + n = 0 등식으로 선을 지정함으로써 해결할 수 있다. 여기서 l와 m은 둘 다 0이 아닐 수도 있다. 이 방정식에서는 l, m, n 사이의 비율만 유의하며, 다시 말해서 좌표에 0이 아닌 스칼라를 곱한 다음 표시된 선은 동일하게 유지된다. 그래서 (l, m, n)은 선에 대한 균일한 좌표의 체계다.

실제 투영 평면의 점들이 균일한 좌표(x, y, z)로 표현되는 경우 선의 방정식은 lx + my + nz = 0이며, 단, (l, m, n) ≠(0, 0, 1)은 투영 평면에서 무한대의 선인 z = 0을 나타낸다. 선 좌표(0, 1, 0)와 (1, 0, 0)는 각각 x축과 y축을 나타낸다.

접선 방정식

f(x, y) = 0이 평면에 있는 점들의 부분 집합으로서 곡선을 나타낼 수 있듯이, 방정식 l(l, m) = 0은 평면에 있는 선의 부분 집합을 나타낸다. 평면 위의 선 집합은 추상적인 의미에서 원래 평면의 이중인 투영 평면의 점 집합으로 생각할 수 있다. 방정식 φ(l, m) = 0은 이중 평면에서 곡선을 나타낸다.

평면에서 원곡선 f(x, y) = 0의 경우, 원곡선에 대한 접선은 이중 원곡선이라는 이중 공간에서 원곡선을 형성한다. φ(l, m) = 0이 이중 곡선의 방정식이라면, 원래의 곡선에 대해 접선 방정식이라고 한다. 주어진 방정식 φ(l, m) = 0은 이 방정식을 만족하는 선의 봉투로 결정된 원래 평면의 곡선을 나타낸다. 마찬가지로 φ(l, m, n)이 동종 함수인 경우 ((l, m, n) = 0은 동종 좌표로 주어진 이중 공간의 곡선을 나타내며, 감싼 곡선의 동종 접선 방정식이라고 할 수 있다.

접선 방정식은 봉투로 정의된 곡선의 연구에 유용하듯이, 봉투로 정의된 곡선의 연구에 유용하다.

점의 접선 방정식

선 좌표의 선형 방정식은 al + bm + c = 0 형식을 가지며, 여기서 a, b, c는 상수다. (l, m)이 이 방정식을 만족하는 선이라고 가정한다. c가 0이 아니면 lx + my + 1 = 0, 여기서 x = a/c 및 y = b/c를 통과하므로 원래 방정식을 만족하는 모든 선은 점(x, y)을 통과한다. 반대로 (x, y)를 통과하는 어떤 선은 원래의 방정식을 만족하므로, al + bm + c = 0은 (x, y)를 통과하는 선들의 집합 방정식이다. 주어진 점(x, y)의 경우 lx + my + 1 = 0이지만 선 집합의 방정식이므로 이를 점의 접선 방정식으로 정의할 수 있다. 마찬가지로 동종 좌표로 주어진 점(x, y, z)에 대해 동종 접선 좌표에서 점의 방정식은 lx + my + nz = 0이다.

공식

선(l₁, m₁)과 (l₂, m₂)의 교차점은 선형 방정식의 해법이다.

${\displaystyle l_{1}x+m_{1}y+1=0}$

${\displaystyle l_{2}x+m_{2}y+1=0.}$

크레이머의 규칙에 따르면 해결책은

${\displaystyle x={\frac {m_{1}-m_{2}}:{l_{1}m_{2}-l_{1}{1}m_{1},\,y={\frac {l_{1}-l_{2}}:{l_{1}m_{2}-{1}-{1}m_{1}m_{1}:{1}.}$

선(l₁, m₁), (l₂, m₂), (l₃, m₃)은 결정인자일 때 동시에 나타난다.

${\displaystyle {\displaystyle{vmatrix}l_{1}&m_{1}{1}&m_{1\\\l_{2}&m_{3}&m_{3}&1\end{vmatrix}=0.}$

균일한 좌표의 경우 선(l₁, m₁, n₁)과 (l₂₂, m, n₂)의 교차점은 다음과 같다.

${\displaystyle (m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1},\,l_{2}n_{1}l_{1}-l_{1}n_{2}n_{2},\,l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}.}$

선(l₁, m₁, n₁), (l₂₂, m, n₂) 및 (l₃₃, m, n₃)은 결정인자가 동시에 발생하는 경우

${\displaystyle {\reason{vmatrix}l_{1}&m_{1}&m_{1}{1}\{1}\\l_{2}&n_{2}\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}=0.}$

단, (x₁, y, z₁) 및 (x₂₂, y, z₁₂)를 포함하는 선의 좌표는

${\displaystyle (y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{1}y_{2}y_{1}.}$

3차원 공간에서의 선

실제 투영 평면에서 주어진 두 점(x₁, y, z₁₁) 및 (x₂, y₂, z)에₂ 대해 세 가지 결정 요인

${\displaystyle y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{2}z_{1}x_{1}z_{2},\,x_{1}y_{2}-x_{1}y_{1},{1}-x_{1}-x_{1}y_{1}:{1}, {1}, {1}, {1},}$

그것들을 포함하는 투영 선을 결정한다.

마찬가지로 RP의³ 두₁ 점(x₁, y₁, z₁, w)과₂ (x₂, y₂, z₂, w)에 대해 이 점을 포함하는 선은 6개의 결정요인에 의해 결정된다.

${\displaystyle x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\,x_{1}z_{2}-x_{1}z_{2},\,y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\,x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\,y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1},\,z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.}$

이것이 플뤼커 좌표라 불리는 3차원 공간에서 동종 선 좌표계의 기초가 된다. 좌표 집합에서 6개의 숫자는 추가 방정식을 만족시킬 때만 선을 나타낸다. 이 시스템은 3차원 공간에 있는 선의 공간을 투영 공간 RP에⁵ 매핑하지만, 추가 요건으로 선의 공간은 차원 4의 다지관인 클라인 사분면에 해당한다.

보다 일반적으로 n차원 투사 공간의 선은 (n - 2)(n - 3)/2 조건 집합을 만족하는 n(n - 1)/2 동종 좌표계통에 의해 결정되어 치수 2n-2의 다지관이 발생한다.

복잡한 숫자로

이사크 야글롬은 유클리드 평면의 방향 선에 대한 좌표를 제공하는 이중 숫자와 쌍곡면에 대한 분할 복합 숫자가 선 좌표를 형성하는 방법을 보여^[1] 주었다. 좌표는 원점 및 그 위에 있는 기준선의 유무에 따라 달라진다. 그런 다음 임의의 선을 지정하면 해당 좌표가 기준선과 교차점에서 발견된다. 원점에서 교차로까지의 거리 s와 두 선 사이의 경사각 θ을 사용한다.

${\displaystyle z}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 탄}$ tan ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle +}$ s ${\displaystyle ϵ}$) ${\displaystyle$ z$=(\tan {\frac {\theta }{2$}})($1+s\엡실론 )})$는 유클리드 선의 이중 번호로^{[1]: 81} ,

${\displaystyle z}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{tann}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$ s${\displaystyle }$+ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle }$ s${\displaystyle }$) ${\displaystyle z=(\tan {\frac$ {\$theta }{2}})(\cosh s+j\s)})$는 로바체프스키 평면의 라인에 대한 분할 복합 번호다^{[1]: 118} .

Lobachevsky 평면에 기준선과 초경직선이 있으므로 좌표도 필요하다. s는 원점에서 이 직각까지의 거리, d는 기준선과 주어진 선 사이의 세그먼트의 길이라고 하는 독특한 공통 수직이 있다.

${\displaystyle z}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle d\frac{2}{}}$) (${\displaystyle \sinh h}$ s${\displaystyle }$+ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ )${\displaystyle$ z$=(\tanh$ {$d}{2}})(\sinh s+j\cosh$ s$)}}$는 초경사선을 나타낸다.^{[1]: 118}

선 지오메트리의 움직임은 적절한 복잡한 평면에서 선형 부분 변환으로 설명된다.^{[1]: 87, 123}

참고 항목

• 로보틱스 규약관

참조

• Baker, Henry Frederick (1923), Principles of geometry. Volume 3. Solid geometry. Quadrics, cubic curves in space, cubic surfaces., Cambridge Library Collection, Cambridge University Press, p. 56, ISBN 978-1-108-01779-4, MR 2857520. 2010년 재인쇄.
• Jones, Alfred Clement (1912). An Introduction to Algebraical Geometry. Clarendon. p. 390.