보렐 아발지브라

수학에서, 특히 표현 이론에서, ${\mathfrak {g}}$ 대수 g ${\mathfrak {g}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak{$ g}}의 보렐 하위 대수(Borel subalgebra)는 ${\mathfrak {g}}$ 최대 해결 가능한 하위 대수(subalgebra)^[1]이다.그 개념은 Armand Borel의 이름을 따서 명명되었다.

리 대수 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 이 ${\mathfrak {g}}$ 복합 리 그룹의 리 대수라면 보렐 하위 그룹의 리 대수(Borel subalgebra)는 보렐 하위 그룹의 리 대수(Lie 대수)이다.

깃발과 연결된 보렐 하위 게이지

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ g ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ = ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ ( $){\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak{gl}(V)}}$ 는 복합수위에 걸쳐 유한차원 벡터 공간 V의 내형성에 대한 Lie 대수학이다 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ .Then to specify a Borel subalgebra of ${\mathfrak {g}}$ amounts to specify a flag of V; given a flag $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ , the subspace ${\displaystyle {\mathfrak$ ${b}=\{x\in {\mathfrak {g}\mid$ x $(V_{i})\subset V_{i},1\leq$ i $\leq n\}}}}$ 는 ${\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid x(V_{i})\subset V_{i},1\leq i\leq n\}$ 보렐 하위 골격이며,^[2] 반대로 각각의 보렐 하위 골격은 리의 정리에 의해 그런 형태의 것이다.따라서, 보렐 하위골격은 V기종으로 분류된다.

루트 시스템의 베이스에 상대적인 보렐 하위 골격

${\mathfrak {g}}$ ${\$ 을(를) 복잡한 반실행 Lie 대수, ${\mathfrak {h}}$ ${\$ 카르탄 하위골격 및 ${\mathfrak {h}}$ R과 연관된 루트 시스템이 되도록 ${\mathfrak {g}}$ 한다.R의 기초를 선택하는 것은 양의 뿌리에 대한 개념을 준다.그리고 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}분해하는 g)n−⊕ h⊕ n+{\displaystyle{\mathfrak{g}}={\mathfrak{n}}^{-}\oplus{\mathfrak{h}}\oplus{\mathfrak{n}}^{+}}이 n±)∑α>0g±α{\displaystyle{\mathfrak{n}}^{\pm}=\sum _{\alpha>0}{\mathfrak{g}다.}_{\p $m \alpha }}$ . Then ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ is the Borel subalgebra relative to the above setup.^[3] (It is solvable since the derived algebra $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]$ is nilpotent.그것은 해결 가능한 아발레브라의 결합에 대한 보렐-모로조프의 정리에 의해 최대의 해결이 가능하다.)^[4]

g ${\$ -module ${\mathfrak {g}}$ V의 원시 요소는 (비제로) 벡터로서 (1)은 h ${\$ 의 ${\mathfrak {h}}$ 중량 벡터이고, (2)는 ${\mathfrak {n}}^{+}$ n + ${\$ {n $}}{n}^+}$ 에 의해 소멸된다 ${\mathfrak {n}}^{+}$ It is the same thing as a ${\mathfrak {b}}$ -weight vector (Proof: if $h\in {\mathfrak {h}}$ and $e\in {\mathfrak {n}}^{+}$ with $[h,e]=2e$ and if ${\mathfrak {b}}\cdot v$ is a line, $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ = $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ [ $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ , $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ v $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ = $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ ${\displaystyle 0=[h,e]\cdot v=2e\cdot$ v $}.)$