보렐 부분군

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

대수군 이론에서 대수군 G의 보렐 하위군은 닫히고 연결된 최대 해결 가능한 대수군이다.예를 들어 일반 선형 그룹 GL_n(n x n 반전성 행렬)에서 반전성 상위 삼각 행렬의 하위 그룹은 보렐 하위 그룹이다.null

대수적으로 폐쇄된 분야를 통해 실현된 집단의 경우, 보렐 하위집단의 단일 결합 등급이 있다.null

보렐 하위 그룹은 자크 티츠의 (B,N) 쌍을 가진 집단 이론에서 단순(더 일반적으로, 환원되는) 대수 그룹의 구조를 이해하는 데 있어 두 가지 핵심 요소 중 하나이다.여기서 그룹 B는 보렐 하위그룹이고 N은 B에 포함된 최대토루스의 정규재다.null

이 개념은 대수군 이론의 발달에 주도적인 역할을 한 아르망 보렐에 의해 도입되었다.null

포물선 부분군

보렐 부분군 B와 주변 그룹 G 사이의 부분군을 포물선 부분군이라고 한다.포물선 부분군 P도 대수 부분군 중에서 G/P가 완전한 품종이라는 조건으로 특징지어진다.대수학적으로 폐쇄된 분야를 연구한 결과, 보렐 하위그룹은 이런 의미에서 최소한의 포물선 하위그룹으로 판명되었다.따라서 B는 균질 공간 G/B가 "가능한 한 큰" 완전한 품종인 경우 보렐 하위그룹이다.null

단순 대수 그룹 G의 경우, 포물선 하위 그룹의 결합 등급 집합은 해당 Dynkin 다이어그램의 모든 하위 집합 집합과 편향된다. 보렐 하위 집합은 빈 집합에 해당하며, G 자체는 모든 노드의 집합에 해당한다.(일반적으로 Dynkin 다이어그램의 각 노드는 단순한 음의 루트를 결정하고 따라서 G--의 1차원 '루트 그룹'은 노드의 부분집합이므로 B와 그에 상응하는 음의 루트 그룹에 의해 생성된 포물선 하위 그룹을 산출한다.또한 모든 포물선 부분군은 그러한 포물선 부분군과 결합된다.)null

예

Let $G{\displaystyle }$= G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 4\mathbb{}{}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle G=GL_{4}(\mathb {C}$ $)\}.$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 보렐 $부분군{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$는 상위 삼각 행렬의 집합이다.

$\displaystyle \왼쪽\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}}$

$그리고{\displaystyle }$ B$${\$displaystyle B$}을$$(를) $포함$하는 G$${\$displaystyle$G}의 최대 적절한 포물선 부분군은$$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&, a_{12}&, a_{13}&, a_{14}\\0&, a_{22}&, a_{23}&, a_{24}\\0&, a_{32}&, a_{33}&, a_{34}\\0&, a_{42}&, a_{43}&, a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{}}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&, a_{12}&, a_{13}&, a_{14}\\a_{21}&, a_{22}&, a_{23}&, a_{24}\\0&, 0&, a_{33}&, a_{34}\\0&, 0&, a_{43}&, a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{}}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&.a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{22}&a_{22}&a_{22}&a_{23}\{24}\\\{31}\a_{32}&a_{33}&a}&a_{34}\0&0&a_{44}\end{bmatrix\}\rig}\right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

또한 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 최대 토러스(maximal torus)는$$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}}$

This is isomorphic to the algebraic torus ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])}$.^[1]

리 대수

For the special case of a Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ with a Cartan subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, given an ordering of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, the Borel subalgebra is the direct sum of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ and the weight spaces of ${$$\displaystyle {\mathfrak{g}$ 양중량$$.보렐 하위골격을 포함하는$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 Lie 하위골격은 포물선형 Lie 대수학이라고 한다.null

참고 항목

• 쌍곡군
• 카르탄 부분군

참조

• Gary Seitz (1991). "Algebraic Groups". In B. Hartley; et al. (eds.). Finite and Locally Finite Groups. pp. 45–70.
• J. Humphreys (1972). Linear Algebraic Groups. New York: Springer. ISBN 0-387-90108-6.
• A. Borel (2001). Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. Providence RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.

특정

외부 링크

• Popov, V.L. (2001) [1994], "Parabolic subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Platonov, V.P. (2001) [1994], "Borel subgroup", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press