최소 상한 속성

수학에서, 가장 위에 묶인 속성(때로는 완전성 또는 우월성 또는 L.u.b. 속성이라고도 함)^[1]은 실수의 근본적인 속성이다.보다 일반적으로 부분 순서가 지정된 집합 X는 상한 X의 모든 비빈 부분집합이 X의 최소 상한(중복)을 갖는 경우 최소 상한 속성을 갖는다.모든 주문 집합이 최소 상한 속성을 갖는 것은 아니다.예를 들어, 자연 순서가 있는 모든 합리적인 숫자의 $Q{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {Q} }$ 집합에는 최소 상한 속성이 없다.

최소 상한 속성은 실수에 대한 완전성 공리의 한 형태로서, 데데킨드 완전성이라고 부르기도 한다.^[2]중간값 정리, 볼자노–과 같은 실제 분석의 많은 근본적 결과를 입증하는 데 사용할 수 있다.위어스트라스 정리, 극값 정리, 하이네-보렐 정리.보통 실수의 합성구조에 공리로 받아들여지며, 데데킨드 컷을 이용한 실수의 구성과도 밀접하게 관련되어 있다.

순서 이론에서, 이 속성은 부분적으로 순서화된 집합에 대한 완전성의 개념으로 일반화될 수 있다.밀도가 높고 상한 특성이 가장 적은 선형 순서 집합을 선형 연속체라고 한다.

재산명세서

실수에 대한 문장

S를 실수의 비어 있지 않은 집합이 되게 하라.

• 실제 숫자 x는 모든 s for S에 대해 x ≥ s이면 S에 대한 상한이라고 불린다.
• x가 S에 대한 상한이고 s의 모든 상한 y에 대한 x ≤ y에 대한 상한이면 실제 숫자 x는 S에 대한 최소 상한(또는 우월)이다.

최소 상한 속성은 상한을 가지는 비빈 실수 집합은 최소 상한을 실제 숫자로 가져야 한다고 명시한다.

순서 세트로 일반화

보다 일반적으로는 부분적으로 순서가 정해진 X의 하위 집합에 대해 상한과 최소 상한을 정의할 수 있으며, "실수"는 "X의 요소"로 대체된다.이 경우 상한을 가진 X의 모든 비빈 부분집합이 상한을 갖는 경우 X는 상한을 가장 적게 갖는 속성을 가지고 있다고 우리는 말한다.

예를 들어, 합리적인 숫자의 집합 Q는 통상적인 순서에 따라 가장 적은 상한의 속성을 가지고 있지 않다.예를 들어, 세트

${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q}\cap \left(-{\sqrt{2}},{\sqrt{2}}\오른쪽)}}$

Q의 상한은 있지만 (2의 제곱근은 비이성적이기 때문에) Q의 상한은 최소하지 않는다.데데킨드 컷을 이용한 실수의 구축은 비합리적인 숫자를 이성들의 특정 하위 집합의 최소 상위로 정의함으로써 이 실패를 이용한다.

증명

논리적 상태

최소 상한 속성은 카우치 시퀀스의 수렴이나 내포된 구간 정리 등 완성도 공리의 다른 형태와 동등하다.재산의 논리적 상태는 사용된 실수의 구성에 따라 달라진다: 합성 접근법에서는 대개 실수의 공리로 간주된다(최소 상한 공리 참조). 건설적 접근법에서는 그 재산이 건설에서 직접 또는 일부 오트의 결과로서 정리로서 증명되어야 한다.그녀의 완전체

Cauchy 시퀀스를 사용한 증거

실수의 모든 카우치 순서가 수렴된다는 가정을 통해 최소 상한의 속성을 증명할 수 있다.S는 실수의 비어 있지 않은 집합이 되도록 하자.S가 정확히 하나의 요소를 가지고 있다면, 그것의 유일한 요소는 최소 상한이다.따라서 둘 이상의 원소를 가진 S를 고려하고, S가 상한 B를₁ 가지고 있다고 가정한다.S는 비어 있지 않고 둘 이상의 요소를 가지기 때문에 S에 대한 상한선이 아닌 실제 숫자 A가₁ 존재한다.다음과₁ 같이 순서₂ A, A₃, A, ...와₁ B₂, B, B, B를₃ 재귀적으로 정의한다.

1. (A_nn + B) ½이 S의 상한인지 확인한다.
2. 그렇다면 A_n+1 = A로_n 하고 B_n+1 = (A_nn + B) ½로 한다.
3. 그렇지 않으면 S에 원소 s가 있어야 s >(A_n + B_n) ½. A_n+1 = s로 하고_n+1 B = B로_n 한다.

그러면 A₁ ≤ A₂ ≤ A₃ ≤ B₃ ≤ B and A as as and₂₁ B and A - B_n n_n as as as as as as as as as as as as as as as as as as as as as as.따라서 두 시퀀스 모두 Cauchy이며 S에 대한 최소 상한이어야 하는 동일한 한계 L을 가지고 있다.

적용들

R의 최소 경계 속성은 실제 분석에서 많은 주요 기초 이론들을 입증하는 데 사용될 수 있다.

중간값 정리

f : [a, b] → R을 연속함수로 하고, f (a) < 0과 f (b) > 0이라고 가정한다. 이 경우 중간값 정리는 f가 [a, b] 구간에 뿌리를 가져야 한다고 기술한다.이 정리는 세트를 고려해서 증명할 수 있다.

S = {s ∈ [a, b] : f (x) 모든 x ≤ s}에 대해 < 0. .

즉, S는 f에서 음의 값을 취하는 [a, b]의 초기 부분이다.그러면 b는 S의 상한이며, 최소 상한은 f의 근원이어야 한다.

볼자노-위어스트라스 정리

더 볼자노-R에 대한 Weierstrass 정리에서는 닫힌 간격 [a, b]에 있는 실수의 모든 시퀀스 x는_n 수렴 부속을 가져야 한다고 명시하고 있다.이 정리는 세트를 고려해서 증명할 수 있다.

S = {s ∈ [a, b] : s ≤ x 무한대_n n}

$분명히{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in$ S$}$와 S는 비어 있지 않다.또한 b는 S의 상한이므로 S는 최소 상한 c를 가진다.그런 다음 c는 시퀀스 x의_n 한계점이어야 하며, x는_n c로 수렴되는 부분(sequence)을 갖는 것을 따른다.

극값정리

f : [a, b] → R을 연속함수로 하고 M = supp f([a, b]), 여기서 m = f([a, b])가 상한선이 없는 경우 ∞.극값 정리는 일부 c ∈ [a, b]에 대해 M은 유한하고 f (c) = M이라고 기술하고 있다.이것은 세트를 고려해서 증명할 수 있다.

S = {s ∈ [a, b] : supp f([s, b]) = M} .

M, ∈ S의 정의에 의해 그리고 그 자체의 정의에 의해 S는 b로 경계된다.c가 S의 최소 상한인 경우, f (c) = M인 연속성에서 따른다.

하이네-보렐 정리

[a, b]를 R에서 닫힌 간격으로 하고, {U_α}을(를) [a, b]을(를) 포함하는 열린 집합의 집합으로 한다.그런 다음 하이네-보렐 정리에서는 {U_α}의 일부 유한 하위 집합이 [a, b]도 포함한다고 명시하고 있다.이 진술은 세트를 고려해서 증명할 수 있다.

S = {s ∈ [a, b] : [a, s]는 미세하게 많은 U}이(가_α) 커버할 수 있다.

세트 S는 분명히 a를 포함하고 있으며, b는 시공에 의해 경계를 이루고 있다.최소 상한 속성에 의해 S는 최소 상한 c ∈ [a, b]를 갖는다.따라서 c는 그 자체로 일부 개방형 집합_α U의 요소로서, c < b에 대해서는 충분히 작은 Δ > 0에 대해 [a, c + Δ]를 정밀하게 많은 U에_α 의해 커버할 수 있다.이는 c + Δ S와 c가 S에 대한 상한선이 아님을 증명한다.결과적으로, c = b.

역사

가장 덜 상한 속성의 중요성은 Bernard Bolzano에 의해 1817년 논문 Rain 분석가 Beweis des Lehrsates dass zwischen je Zwey Werten, die ein engengengesettes Resultat Geawahren, wenigstens eine reellele Wurzel der Der Der Gle der Gle.^[3]

참고 항목

• 실제 분석 주제 목록

메모들

참조

• Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (Third ed.). Academic. ISBN 0-12-050257-7.

• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis (4 ed.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3 ed.). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 9780486434797.