M 매트릭스

M-matrix

수학, 특히 선형대수학에서 M-매트릭스는 실제 부분이 음성이 아닌 고유값을 갖는 Z-매트릭스다.비음속 M-매트릭스 세트는 P-매트릭스 클래스의 하위 집합이며, 역-양성 매트릭스 클래스(양성 매트릭스 클래스에 속하는 역이 있는 매트릭스)의 하위 집합이다.[1]M-매트릭스라는 이름은 헤르만 민코프스키와 관련하여 알렉산더 오스트로스키가 원래 선택했던 것으로, 그는 Z-매트릭스가 모든 행의 합계를 양수로 가지고 있다면, 그 매트릭스의 결정인자는 양수라는 것을 증명했다.[2]

특성화

M 매트릭스는 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

정의:A를 n × n 진짜 Z 매트릭스가 되게 하라.즉, A = (aij) 모든 i ≠ j, 1 ≤ i,j ≤ n에 대해ij ≤ 0을 갖는 경우.그 다음 행렬 A는 또한 M-매트릭스로서, 여기서 B = (bij) bij ≥ 0으로 모든 1 ≤ i,j ≤ n에 대해, 여기서 s는 적어도 B의 고유값 모듈리의 최대치만큼 크며, I는 ID 매트릭스다.

A의 비성격의 경우, Perron-Frobenius 정리에 따르면, s > >(B)의 경우여야 한다.또한 비가수 M-매트릭스의 경우 A의ii 대각선 원소는 양수여야 한다.여기서 우리는 비음향 M-매트릭스의 클래스만을 더욱 특성화할 것이다.

이 비음향 M-매트릭스의 정의와 동등한 많은 문장이 알려져 있으며, 이러한 문항 중 하나라도 비음향 M-매트릭스의 시작 정의로 작용할 수 있다.[3]예를 들어, Plemmons는 40개의 그러한 동등성을 나열한다.[4]이러한 특성화는 (1)주요 미성년자의 긍정성, (2) 역 긍정성과 스플릿화, (3) 안정성, (4) 반 긍정성과 대각선 우위의 성질에 대한 관계 측면에서 플레몬스에 의해 분류되었다.매트릭스 A가 임의의 매트릭스일 때도 특정 그룹 내의 문장이 서로 연관되어 있고, 반드시 Z 매트릭스일 필요는 없기 때문에 이러한 방식으로 속성을 분류하는 것이 타당하다.여기서는 각 범주의 특성 몇 가지를 언급한다.

등가성

이하, ≥은 원소-현재의 순서(매트릭스의 일반적인 양의 세미데마인 순서가 아님)를 나타낸다.즉, 어떤 실제 행렬 A, B 크기 m × n의 경우, 우리는 모든 i, j에 대해 bij b(또는ij a > bij )일ij 경우 A ≥ B(또는 A > B)라고 쓴다.

A를 n × n 실제 Z-매트릭스로 하고, 다음 문장은 A를 비가수 M-매트릭스로 한다.

주요 미성년자 긍정성

  • A의 주요 미성년자는 모두 긍정적이다.즉, A의 해당 행과 열의 집합(비어 있을 수 있음)을 삭제하여 얻은 A의 각 하위집단의 결정요인은 양수적이다.
  • A + D는 음이 아닌 각 대각행렬 D에 대해 음이 아닌 음의 대각행렬 D에 대해 음이 아니다.
  • A의 모든 실제 고유값은 양수다.
  • A의 주요 미성년자는 모두 긍정적이다.
  • A = LU와 같은 양의 대각선을 가진 하위 삼각형 및 상위 삼각형 행렬 L과 U가 각각 존재한다.

역확률과 스플릿

  • A는 역양성이다.즉, A가−1 존재하고 A가−1 0이다.
  • A는 단조롭다.즉, Ax ≥ 0은 x ≥ 0을 의미한다.
  • A에는 수렴성 정기 분할이 있다.즉, A는 A = M - N을 나타내며, 여기서−1 M은 0, N은 MN−1 수렴이다.즉, ρ(MN−1) < 1이다.
  • M1 ≤ A ≤ M을2 가진 역양성 행렬 M과1 M이2 존재한다.
  • A의 규칙적인 분열은 모두 수렴된다.

안정성

  • AD + DA가T 양의 명확한 대각 행렬 D가 존재한다.
  • A는 양적으로 안정되어 있다.즉, A의 각 고유값의 실제 부분은 양성이라는 것이다.
  • AW + WA가T 양의 확정 행렬인 대칭 양의 확정 행렬 W가 존재한다.
  • A + I는 비송음이고, G = (A + I)(A - I)−1는 수렴음이다.
  • A + I는 비노래적이며, G = (A + I)(−1A - I)의 경우 W - GWG가T 양의 한정된 것과 같은 양의 한정 대칭 행렬 W가 존재한다.

반정성과 대각선 우위

  • A는 반양성이다.즉, 도끼가 0인 x > 0이 존재한다.
  • X ≥ 0과 Ax > 0이 있다.
  • AD가 모든 양의 행 합을 갖는 양의 대각 행렬 D가 존재한다.
  • A에는 모든 양의 대각선 원소가 있으며, AD가 엄격히 대각선 우위인 양의 대각선 행렬 D가 존재한다.
  • A에는 모든 양의 대각선 원소가 있으며, DAD가−1 엄격히 대각선 우위인 양의 대각선 행렬 D가 존재한다.

적용들

M-매트릭스 이론에 대한 일차적인 기여는 주로 수학자와 경제학자들로부터 왔다.M-수치는 수학에서 고유값에 대한 경계를 설정하고 선형 방정식의 큰 희소성 시스템의 해법에 대한 반복적 방법에 대한 수렴 기준을 설정하기 위해 사용된다.M-매트릭스는 Laplacian과 같은 차등 연산자의 일부 분화에서 자연적으로 발생하며, 따라서 과학 컴퓨팅에서 잘 연구된다.M-매트릭스는 선형 보완성 문제에 대한 해결책 연구에서도 발생한다.선형 보완성 문제는 선형 및 2차 프로그래밍, 계산역학, 바이마트릭스 게임의 평형점을 찾는 문제에서 발생한다.마지막으로, M-매트릭스는 대기열 이론과 같은 확률 이론과 운영 연구 분야에서 유한 마코프 체인의 연구에서 발생한다.한편, 경제학자들은 총대체 가능성, 일반 평형의 안정성 및 경제 시스템에서 Leontief의 입출력 분석과 관련하여 M-매트릭스를 연구했다.모든 주요 미성년자의 긍정의 조건은 경제 문헌에서 호킨스-시몬 조건이라고도 한다.[5]공학에서 M-매트릭스는 랴푸노프 안정성과 제어 이론에서의 피드백 제어의 문제에서도 발생하며, 허위츠 매트릭스와 관련이 있다.계산 생물학에서 M-매트릭스는 인구 역학 연구에서 발생한다.

참고 항목

참조

  1. ^ Fujimoto, Takao & Ranade, Ravindra (2004), "Two Characterizations of Inverse-Positive Matrices: The Hawkins-Simon Condition and the Le Chatelier-Braun Principle" (PDF), Electronic Journal of Linear Algebra, 11: 59–65.
  2. ^ Bermon, Abraham; Plemmons, Robert J. (1994), Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, p. 134,161 (Thm. 2.3 and Note 6.1 of chapter 6), ISBN 0-89871-321-8.
  3. ^ Fiedler, M; Ptak, V. (1962), "On matrices with non-positive off-diagonal elements and positive principal minors", Czechoslovak Mathematical Journal, 12 (3): 382–400.
  4. ^ Plemmons, R.J. (1977), "M-Matrix Characterizations. I -- Nonsingular M-Matrices", Linear Algebra and its Applications, 18 (2): 175–188, doi:10.1016/0024-3795(77)90073-8.
  5. ^ Nikaido, H. (1970). Introduction to Sets and Mappings in Modern Economics. New York: Elsevier. pp. 13–19. ISBN 0-444-10038-5.