양확함수

수학에서 양확정 함수는 문맥에 따라 두 가지 유형의 함수 중 하나이다.

가장 일반적인 사용법

실제 변수 x의 양-확정 함수는 복잡하게${\displaystyle 계산}$된${\displaystyle }$함수 ${\displaystyle f\mathbb{}}$ :$$R → C {\$displaystyle f:\mathb {$R} $\to \mathb${C$$} \to \mathb {C$}($실수 x₁, …, x_n × n 행렬)이다.

${\displaystyle A=\왼쪽(a_{ij}\오른쪽)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j}})}$

양의 반확정(A가 에르미트인이어야 함, 따라서 f(-x)는 f(x)의 복잡한 결합이다.

특히 (충분히) 필요한 것은 (충분히)

${\displaystyle f(0)\geq 0~,\display f(x) \leq f(0)}$

(이러한 불평등은 n = 1, 2.에 대한 조건으로부터 따른다.)

함수는 부등식이 역전될 경우 부등식 반불확정식 함수는 부등식이다.약한 불평등을 강자(<, > 0)로 대체하면 기능이 확실하다.

예

If ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ is a real inner product space, then ${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$ is positive definite for every ${\displaystyle y\in X}$: for all${\displaystyle {}^{}\in }$ C ${\$ 및$$ 모든 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 있음$$

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left \sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right ^{2}\geq 0.}$

양성확정함수의 비음수 선형결합이 다시 양수확정이므로 코사인함수는 상기 함수의 비음수 선형결합으로서 양수확정이다.

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{1}{1}:{n2}}(e^{ix}+e^{-ix}}={\frac {1}{1}:{1}+g_{-1}).}$

One can create a positive definite function ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ easily from positive definite function ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ for any vector space ${\displaystyle X}$: choose a linear function ${\displaystyle \phi \colon X\to \math$$bb {R}$을$($를) 정의하고 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle :=f}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle$ f$^{*}==f\circle \phi$ 그러면

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde{A}^{(f)}u\geq 0,}$

where ${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$ where ${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:$$=\phi(x_{k})$는 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 선형이기 때문에 구별된다.^[1]

보슈너의 정리

포지티브 정의는 푸리에 변환 이론에서 자연적으로 발생한다; 포지티브-확정성이기 위해서는 f가 g(y) ≥ 0의 실제 라인에서 함수 g의 푸리에 변환으로 충분하다는 것을 직접 볼 수 있다.

역 결과는 보치너의 정리인데, 실제 라인에 있는 어떤 연속적인 양-확정 함수는 (양)척도의 푸리에 변환이라고 명시하고 있다.^[2]

적용들

통계, 특히 베이지안 통계에서는 정리가 실제 기능에 주로 적용된다.일반적으로 R ${\displaystyle d^{}}$ ${\$ R$^{d}$의 점에서 일부 스칼라 값에 대한 스칼라 측정을 n개 취하며$$ 상호 밀접한 포인트는 상관성이 높은 측정값이 필요하다.실제에서는 결과 공분산 행렬(n × n 행렬)이 항상 양-확정성을 갖도록 주의해야 한다.한 가지 전략은 공분산 행렬을 제공하기 위해 스칼라에 곱한 상관 행렬 A를 정의하는 것이다. 이것은 양-확정성 행렬이어야 한다.보치너의 정리에서는 두 점 사이의 상관관계가 함수 f를 통해 두 점 사이의 거리에만 의존하는 경우 함수 f는 양-확정성이어야 공분산 행렬 A가 양-확정성이라는 것을 보장한다.크리깅을 보라.

이러한 맥락에서 푸리에 용어는 일반적으로 사용되지 않으며 대신 f(x)가 대칭 확률밀도함수(PDF)의 특성 함수라고 명시되어 있다.

일반화

국소적으로 콤팩트한 아벨 위상학 집단에 대해 긍정적이고 확실한 함수를 정의할 수 있다; 보치너의 정리는 이러한 맥락으로 확장된다.집단에 대한 확실한 함수는 힐베르트 공간에서의 집단의 표현 이론(즉, 단일적 표현 이론)에서 자연적으로 발생한다.

대체 정의

다음 정의는 위의 정의와 상충된다.

만약 f=0{\displaystyle f(0)=0}와 f())을(0)∈ D{\displaystylex\in D}물리학에서 .[3][4], 요구 사항은 f(0)=동적 시스템에서, 한 real-valued, 연속 미분 가능 함수 fpositive-definite은 원산지를 동네 D에 모든 논제 로섬에 0{\displaystyle f())>0})이라고 할 수 있다.0{\displ$aystyle f(0)=0}$을(를) 삭제할 수 있다$$(예: Corney 및 Olsen^[5] 참조).

참고 항목

• 양확정 커널

참조

• 크리스티안 버그, 크리스텐슨, 폴 레셀Semigroups, GTM, Springer Verlag에 대한 조화 분석.
• Z. Sasvari, Akademie Verlag, 1994년, 긍정적이고 명확한 기능
• Wells, J. H.; Williams, L. R. 임베딩 및 확장 분석 중.Ergebnisse der Matheatik와 Ihrer Grenzgebiete, 밴드 84.스프링거-베를라크, 뉴욕-하이델베르크, 1975. 7+108 pp.

메모들

외부 링크

• "Positive-definite function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]