이항 옵션 가격 설정 모형
Binomial options pricing model금융에서 이항옵션가격결정모형(BOPM)은 옵션의 평가에 대해 일반화 가능한 수치적 방법을 제공한다.본질적으로 이 모형은 폐쇄형식의 Black-Scholes 공식이 부족한 경우를 다루면서 기초 금융상품의 시간에 따라 가격이 변동하는 "이산시간"(지분기준) 모형을 사용한다.
이항모형은 1978년판 투자(Investments)에서 윌리엄 샤프에 의해 처음 제안되었다. ISBN013504605X)[1] 및 1979년[2] Cox, Ross 및 Rubinstein에 의해 공식화되었고 같은 [3]해 Rendleman 및 Bartter에 의해 공식화되었습니다.
고정수익파생상품과 이자율파생상품에 적용되는 이항수리의 경우 격자모형(금융) interest 이자율파생상품을 참조한다.
모델의 사용
이항옵션가격결정모형접근법은 다른 모형을 쉽게 적용할 수 없는 다양한 조건을 처리할 수 있기 때문에 널리 사용되어 왔다.이는 주로 BOPM이 단일 포인트가 아닌 일정 기간 동안의 기초 금융상품에 대한 설명을 기반으로 하기 때문이다.그 결과, 특정 시간대에 실행 가능한 버뮤단 옵션뿐만 아니라 특정 시간대에 실행 가능한 미국 옵션도 가치 있게 평가하는 데 사용된다.이 모델은 비교적 단순하기 때문에 컴퓨터 소프트웨어(스프레드시트 포함)에서 쉽게 구현할 수 있습니다.
Black-Scholes 공식보다 계산 속도가 느리지만, 특히 배당금 지급이 있는 유가증권에 대한 장기 옵션의 경우 계산 속도가 더 정확하다.이러한 이유로 옵션 시장의 [citation needed]실무자들은 이항 모형의 다양한 버전을 널리 사용한다.
불확실성의 원천이 여러 개 있는 옵션(예: 실제 옵션)과 기능이 복잡한 옵션(예: 아시아 옵션)의 경우, 이항 방법은 여러 가지 어려움으로 인해 실용성이 떨어지며 대신 몬테카를로 옵션 모델이 일반적으로 사용된다.소수의 시간 단계를 시뮬레이션할 때 몬테카를로 시뮬레이션은 BOPM보다 계산적으로 더 많은 시간이 소요될 것이다(cf).몬테카를로 금융 방식).단, BOPM의 최악의 런타임은 O(2n)가 됩니다.여기서 n은 시뮬레이션의 시간 스텝 수입니다.몬테카를로 시뮬레이션은 일반적으로 다항식 시간 복잡성을 가지며 다수의 시뮬레이션 단계에서 더 빠를 것이다.몬테카를로 시뮬레이션은 또한 이항 기법이 이산 시간 단위를 사용하기 때문에 표본 오차에 덜 취약하다.이것은 이산 유닛이 작아질수록 더욱 정확해집니다.
방법
function americanPut(T, S, K, r, sigma, q, n) { ' T... 유효기간 S... 주가 K... 스트라이크 가격 q... 배당수익률 n...이항 나무의 높이. deltaT:)T/n;:)exp(시그마*sqrt(deltaT). p0:)(up*exp(-q*deltaT)-exp(-r*deltaT))/(up^2-1), p1:)exp(-r*deltaT)-p0 시간 T에서 나는 동안 초기 값:=0j에 이전 시기{p[나는]:)K-S*up^(2*i-n);만약 p[나는]<0다음 p[나는]:=0;}의 움직임 n에:=아래 0으로 n-1. {i : = 0 ~ j { ' 이항 값 p[i] : = p0 * p[i+1] + p1 * p[i]; ' 운동 값 action : = K - S * up^(2*i - j); p[i] < 운동하면 p[i] : = 운동, }}}의 경우 American Put : = p[0]를 반환한다. |
이항가격결정모형은 이산시간에 옵션의 주요 기초변수의 진화를 추적한다.이는 가치평가일과 만기일 사이의 여러 단계 동안 이항격자(나무)를 사용하여 수행된다.격자의 각 노드는 특정 시점에서 기초가 될 수 있는 가격을 나타냅니다.
밸류에이션은 각 최종 노드(만료 시에 도달 가능한 노드)에서 시작하여 트리를 통해 제1 노드(밸류에이션 날짜)를 향해 역방향으로 작업하는 것을 반복한다.각 단계에서 계산된 값은 해당 시점의 옵션 값입니다.
이 방법을 사용한 옵션평가는 기술한 바와 같이 3단계 과정이다.
- 가격 트리 생성,
- 각 최종 노드의 옵션 값 계산
- 앞의 각 노드에서 옵션 값을 순차적으로 계산합니다.
1단계: 이항 가격 트리를 만듭니다.
가격 트리는 평가일로부터 만료일까지 전진하여 생산된다.
각 단계에서 기본 계측기가 트리의 단계별로 특정 (u\u d\ d만큼 위 또는 아래로 이동하는 것으로 가정합니다( 1 0 < 1 { 0 < 1}).따라서 SS})가 현재 가격인 , 다음 에는 S S } \u d d d d d d d d d d w S_{ down} d가 .
업 및 다운 계수는 기본 {\ 및 스텝 지속 시간 {\t기본 계측기의 데이 카운트 규칙 사용)를 사용하여 계산됩니다.가격 로그의 편차가 t\ \ ^ {}2 that that { that that that that:::::::::::::::::::::::
위는 원래의 Cox, Ross, & Rubinstein(CRR) 방법이며, 격자를 생성하기 위한 "균등 확률" 트리와 같은 다양한 기술이 있습니다.[4][5]
CRR 방법은 트리가 재조합됨을 보증합니다. 즉, 기초자산이 위아래로 이동한 후(u,d), 가격은 아래쪽으로 이동한 후(d,u)와 동일합니다.여기서 두 경로는 병합 또는 재결합합니다.이 속성은 트리 노드의 수를 줄여 옵션 가격의 계산을 가속화합니다.
또한 이 속성을 통해 각 노드의 기본 자산 값을 수식을 통해 직접 계산할 수 있으며 트리를 먼저 빌드할 필요가 없습니다.노드 값은 다음과 같습니다.
서 Nu는 업틱 수, 는 다운틱 수입니다.
순서 2: 각 최종 노드에서 옵션 값 검색
트리의 각 최종 노드(즉, 옵션 만료 시)에서 옵션 값은 단순히 그 본질 또는 행사 값이다.
여기서 K는 스트라이크 가격, 은 N 기간의th 기본 자산의 현물 가격입니다.
스텝 3: 이전 노드에서 옵션 값 검색
위의 절차가 완료되면 마지막 시간 스텝부터 시작하여 트리의 첫 번째 노드(평가일)로 돌아가면서 각 노드에 대한 옵션 값이 검색됩니다.여기서 계산된 결과는 옵션 값입니다.
개요: 위험 중립성 가정을 사용하여 각 노드에서 "이항 값"을 찾을 수 있습니다. 위험 중립 평가를 참조하십시오.노드에서 연습이 허용된 경우 모델은 이항 및 노드에서 연습 값 중 더 큰 값을 취한다.
순서는 다음과 같습니다.
- 위험중립성 가정 하에서 파생상품의 오늘의 공정가치는 미래보상의 기대가치에 무위험률을 할인한 것과 같다.따라서 기대치는 각각의 확률에 따라 가중치가 부여되는 이후의 2개 노드(옵션 업 및 옵션다운)로부터의 옵션값(기본 이동의 '확률' p와 다운 이동의 '확률' p)을 사용하여 계산됩니다.그런 다음 기대치는 옵션의 수명에 해당하는 무위험 비율인 r로 할인된다.
- 기대값을 계산하기 위한 다음 공식이 각 노드에 적용됩니다.
- [ × up ( -) × down] × ( - × t ) { { { } [ p \ \ { } + ( 1 - p ) \ \ { down} } } } } \ \ \ times \ times \ \ times \ \ times \ times times \ deltimesbinomial 。
- 어디에
- t ,i { \ C { t ,i is 、 시각 t at 의 옵션 값입니다.
- p ( - ) - d - d \ p - delta t } - t} - is is p 、 σ σ 、 σ σ paramet σ 、 σ σ σ σ σ with with with with with with with with with with with with with with 、 distrib with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with
- q는 옵션의 존속기간에 대응하는 기초의 배당수익률이다.따라서 리스크 중립적인 세계 선물가격은 예상 상승률이 0이어야 하므로 선물가격은qr을 할 수 있습니다.
- p가 간격1)에 포함되려면 t {\\ t}의 다음 조건이 충족되어야 합니다. t < 2 r -) 2 ( \ t < \ \ ^ { \ } { r -} }} } } 。
- 이 결과가 "이항 값"입니다.이는 특정 시점(즉, 각 노드)에서 파생상품의 공정한 가격을 나타내며, 기초상품 가격의 진화를 고려한다.이는 옵션의 보유시점의 행사와 달리 보유시점의 가치이다.
- 옵션의 스타일에 따라, 각 노드에서 조기 연습 가능성을 평가한다. (1) 옵션을 행사할 수 있고 (2) 연습 값이 이항 값을 초과하면 (3) 노드의 값이 연습 값이다.
- 유럽 옵션의 경우 조기 연습 옵션은 없으며 이항 값이 모든 노드에 적용된다.
- American 옵션의 경우 이 옵션은 만료 전에 유지 또는 행사할 수 있으므로 각 노드의 값은 Max(이항 값, 연습 값)입니다.
- Bermudan 옵션의 경우, 조기 연습이 허용되는 노드의 값은 Max(이항 값, 운동 값), 조기 연습이 허용되지 않는 노드에서는 이항 값만 적용된다.
계산된 다음 단계의 값을 계산할 때(즉, 평가에 한 걸음 더 가까이) 모델은 노드의 공식에서 "옵션 상향"/"옵션 하향"에 대해 여기서 선택한 값을 적절하게 사용해야 합니다.부가 알고리즘은 미국 풋 옵션의 가격을 계산하는 접근방식을 보여주지만, 통화 및 유럽 및 버뮤단 옵션에 대해서는 쉽게 일반화할 수 있습니다.
블랙-숄즈와의 관계
유사한 가정이 이항 모델과 블랙-숄즈 모델을 모두 뒷받침하며, 따라서 이항 모델은 블랙-숄즈 모델의 기초가 되는 연속 프로세스에 이산 시간 근사치를 제공한다.이항 모형은 가격 변동이 이항 분포를 따른다고 가정합니다. 많은 시행에서 이항 분포는 Black-Scholes가 가정한 로그 정규 분포에 접근합니다.이 경우 배당이 없는 유럽 옵션의 경우 이항 모델 값은 시간 단계 수가 [4][5]증가함에 따라 Black-Scholes 공식 값에 수렴된다.
또한 수치 절차로 분석될 때 CRR 이항법은 Black-Scholes PDE에 대한 명시적 유한 차분 방법의 특별한 경우로 볼 수 있다. 옵션 [citation needed]가격 결정에 대한 유한 차분 방법을 참조한다.
「 」를 참조해 주세요.
- 3항 트리, 노드당 경로가 3개 있는 유사한 모델입니다.
- 트리(데이터 구조)
- 격자 모델(재무), 보다 일반적인 논의와 다른 기초에 대한 적용
- 검정-스콜: 이항 격자는 검정-스콜을 적용할 수 없는 다양한 조건을 처리할 수 있다.
- 몬테카를로 옵션 모델. 다른 방법을 통해 가치를 매기기 어려운 복잡한 특징을 가진 옵션의 평가에 사용된다.
- BOPM이 널리 사용되는 실제 옵션 분석.
- 양자 금융, 양자 이항 가격 설정 모델.
- 수리 금융, 관련 기사 목록이 있습니다.
- 종업원 스톡옵션 ② BOPM이 널리 사용되는 밸류에이션.
- 암묵적 이항 트리
- Edgeworth 이항 트리
레퍼런스
- ^ 윌리엄 F. 샤프, 전기, nobelprize.org
- ^ Cox, J. C.; Ross, S. A.; Rubinstein, M. (1979). "Option pricing: A simplified approach". Journal of Financial Economics. 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582. doi:10.1016/0304-405X(79)90015-1.
- ^ 리처드 J. 렌들먼 주니어와 브릿 J. 바터.1979. "2개 주 옵션 가격"재무저널 24: 1093-1110.doi: 10.2307/2327237
- ^ a b Mark s. Joshi (2008).미국 풋의 가격 책정을 위한 이항나무의 수렴
- ^ a b Chance, Don M. 2008년 3월 Wayback Machine에서 2016-03-04년에 보관된 Loggular Distributed Assets에 대한 이항 옵션 가격 모델 통합.응용금융 저널 제18권