옵션 가격을 위한 유한 차이 방법

Finite difference methods for option pricing

옵션가격의 유한차이방법은 옵션의 가치평가를 위해 수학금융에서 사용되는 수치적 방법이다.[1] 한정된 차이방법은 1977년 에두아르도 슈워츠에 의해 옵션가격 결정에 처음 적용되었다.[2][3]: 180

일반적으로 옵션 가격이 시간에 따라 어떻게 진화하는지를 설명하는 (연속 시간) 미분 방정식을 (구체 시간) 차분 방정식의 집합으로 근사하게 하여 옵션 가격을 책정하기 위해 유한 차이 방법을 사용한다. 이산형 차이 방정식은 옵션의 가격을 계산하기 위해 반복적으로 해결될 수 있다.[4] 이 접근법은 옵션 값의 진화가 (적어도) 기초의 시간과 가격의 함수로 (적어도) 부분 미분 방정식(PDE)을 통해 모델링될 수 있기 때문에 발생한다(예: 블랙-숄즈 PDE 참조). 이 형태에서 일단 유한차이모델을 도출할 수 있고, 평가도 얻을 수 있다.[2]

이 접근법은 일반적으로 나무 접근법에 의해 해결되는 문제와 동일한 수준의 복잡성을 갖는 파생상품 가격 문제를 해결하기 위해 사용될 수 있다.[1]

방법

위에서와 같이, PDE는 한정된 차이를 사용하여 변증된 형태로 표현되며, 그 다음 옵션가격의 진화는 해당 차원을 가진 격자를 사용하여 모델링된다: 시간은 0에서 만기까지, 가격은 0에서 "높은" 값까지, 즉 옵션이 돈 안 또는 밖으로 깊이 들어가도록 한다. 그 다음 옵션의 가치는 다음과 같다.[5]

  1. 만기가치는 단순히 옵션의 행사가격과 각 포인트의 기초가치의 차이다.
  2. 경계에서의 가치(즉, 현물이 최고 또는 0인 각 초기 시점)는 옵션가격에 대한 금전성 또는 차익거래 한도에 기초하여 설정된다.
  3. 다른 격자점의 값은 성숙 이전의 시간 단계에서 시작하여 시간 = 0으로 끝나는 재귀적으로(반복적으로) 계산된다. 여기서 크랭크-니콜슨 또는 명시적 방법과 같은 기법을 사용한다.
  • the PDE is discretized per the technique chosen, such that the value at each lattice point is specified as a function of the value at later and adjacent points; see Stencil (numerical analysis);
  • the value at each point is then found using the technique in question.
4. The value of the option today, where the underlying is at its spot price, (or at any time/price combination,) is then found by interpolation.

Application

As above, these methods can solve derivative pricing problems that have, in general, the same level of complexity as those problems solved by tree approaches,[1] but, given their relative complexity, are usually employed only when other approaches are inappropriate; an example here, being changing interest rates and / or time linked dividend policy. At the same time, like tree-based methods, this approach is limited in terms of the number of underlying variables, and for problems with multiple dimensions, Monte Carlo methods for option pricing are usually preferred. [3]: 182 Note that, when standard assumptions are applied, the explicit technique encompasses the binomial- and trinomial tree methods.[6] Tree based methods, then, suitably parameterized, are a special case of the explicit finite difference method.[7]

References

  1. ^ a b c Hull, John C. (2002). Options, Futures and Other Derivatives (5th ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-009056-0.
  2. ^ a b Schwartz, E. (January 1977). "The Valuation of Warrants: Implementing a New Approach". Journal of Financial Economics. 4: 79–94. doi:10.1016/0304-405X(77)90037-X.
  3. ^ a b Boyle, Phelim; Feidhlim Boyle (2001). Derivatives: The Tools That Changed Finance. Risk Publications. ISBN 978-1899332885.
  4. ^ Phil Goddard (N.D.). Option Pricing – Finite Difference Methods
  5. ^ Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. (1995). The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49789-3.
  6. ^ Brennan, M.; Schwartz, E. (September 1978). "Finite Difference Methods and Jump Processes Arising in the Pricing of Contingent Claims: A Synthesis". Journal of Financial and Quantitative Analysis. 13 (3): 461–474. doi:10.2307/2330152. JSTOR 2330152.
  7. ^ Rubinstein, M. (2000). "On the Relation Between Binomial and Trinomial Option Pricing Models". Journal of Derivatives. 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394. doi:10.3905/jod.2000.319149. Archived from the original on June 22, 2007.

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