아시아 옵션

아시아 옵션(또는 평균 가치 옵션)은 옵션 계약의 특별한 유형이다. 아시아 옵션의 경우, 보상은 사전 설정된 기간 동안의 평균 기초 가격에 의해 결정된다. 이는 옵션 계약의 보수가 행사시 기초 금융상품의 가격에 따라 달라지는 일반적인 유럽옵션과 미국옵션의 경우와는 다르다. 따라서 아시아옵션은 이국옵션의 기본적인 형태 중 하나이다. 아시아 옵션에는 두 가지 유형이 있는데, 그것은 평균 가격을 기본 가격 대신 사용하는 고정 가격과 파업 대신 평균 가격을 사용하는 고정 가격이다.

아시아 옵션의 한 가지 장점은 이러한 옵션들이 만기에 기초 금융상품의 시장조작 위험을 줄인다는 것이다.^[1] 아시아 옵션의 또 다른 장점은 유럽이나 미국 옵션과 비교했을 때 아시아 옵션의 상대적인 비용을 포함한다. 평균화 기능 때문에 아시아 옵션은 옵션 고유의 변동성을 줄인다. 따라서 아시아 옵션은 일반적으로 유럽이나 미국 옵션보다 저렴하다. 이는 재무제표 123호를 개정하여 종업원주식선택권에 드는 비용을 부담하도록 한 금융회계기준위원회(Financial Accounting Standards Board)의 적용을 받는 기업에게 장점이 될 수 있다.^[2]

어원

1980년대에 마크 스탠디쉬는 고정수입 파생상품과 독점적 차익거래를 위해 런던에 본사를 둔 은행가 신탁과 함께 있었다. 데이비드 스포튼은 1984년 영국은행이 처음으로 런던 시장에서 은행들에게 외환 옵션을 할 수 있는 라이선스를 부여한 이후 은행가 트러스트와 함께 금융시장에서 시스템 분석가로 일했다. 1987년 스탠디쉬와 스포튼은 "원유의 평균가격과 연계된 옵션에 대해 상업적으로 사용되는 최초의 가격결정 공식을 개발했다"고 도쿄에 출장했다. 그들은 이 이국적인 옵션을 아시아에 있었기 때문에 아시아 옵션이라고 불렀다.^[3]^[4]^[5]^[6]

아시아 옵션 순열

아시아 옵션에는 수많은 순열이 있다. 가장 기본적인 것은 다음과 같다.

고정파업(평균금리라고도 함) 아시아 콜아웃 지급

C(T)={\text{max}\왼쪽(A(0,T)-K,0\오른쪽),

여기서 A는 해당 기간의 평균가격[0, T]을 나타내며 K는 파업가격이다. 등가 풋 옵션은 다음과 같다.

P(T)={\text{max}\왼쪽(K-A(0,T),0\오른쪽).

유동 스트라이크(또는 변동금리) 아시아 콜옵션은 보상이 있다.

C(T)={\text{max}\왼쪽(S(T)-kA(0,T),0\오른쪽),

여기서 S(T)는 만기시 가격이고 k는 가중치인데, 대개 1은 설명에서 누락되는 경우가 많다. 다음과 같은 풋옵션의 보상은 다음과 같다.

P(T)={\text{max}\왼쪽(kA(0,T)-S(T),0\오른쪽).

평균화 유형

평균 $A$ $A$ 은(는) 여러 가지 방법으로 얻을 수 있다 $A$ . 일반적으로 이것은 산술 평균을 의미한다. 연속적인 경우, 이것은 다음을 통해 얻는다.

A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.

For the case of discrete monitoring (with monitoring at the times $0=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=T$ and $t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}$ ) we have the average given by

A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{nS(t_{i}).

기하학적 평균을 가진 아시아 옵션도 존재한다. 연속적인 경우, 이것은 다음과 같이 주어진다.

A(0,T)=\exp \left({\frac {1}){T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t)dt\right)).

아시아 옵션 가격 책정

몬테카를로 방식으로 아시아 옵션 가격을 결정하는 문제에 대한 논의는 켐나와 보스트가 작성한 논문으로 제공된다.^[7]

옵션 가격에 대한 경로 일체형 접근법에서 기하학적 평균에 대한 문제는 파인만과 클라인어트의 유효 클래식 잠재력을 통해 해결될 수 있다.^[8]^[10]

로저스와 시이는 가격 문제를 PDE 접근법으로 해결한다.^[11]

분산 감마 모델은 아시아 스타일 옵션의 가격을 결정할 때 효율적으로 구현될 수 있다. 그런 다음 분산 감마 프로세스를 생성하기 위해 Bondesson 시리즈 표현을 사용하면 아시아 옵션 프리저의 계산 성능을 향상시킬 수 있다.^[12]

레비 모델 내에서 기하학적 아시아 옵션의 가격 문제는 여전히 해결될 수 있다.^[13] 레비 모형의 산술적 아시아 옵션의 경우 수치적^[13] 방법이나 분석적 한계치에 의존할 수 있다.^[14]

기하학적 평균이 있는 유럽 아시아 통화 및 풋 옵션

우리는 기하학적 아시아 옵션에 대한 폐쇄형 솔루션을 도출할 수 있다; 몬테카를로 시뮬레이션에서 제어 변수와 함께 사용할 경우, 이 공식은 산술 아시아 옵션의 공정가치를 도출하는 데 유용하다.

연속 시간 기하 평균 $G_{T}$ $G_{T}$ ${\$ 를 다음과 $G_{T}$ 같이 정의하십시오.

G_{T}=\exp \left[{1 \over{T}\int_{0}^{T}\log S(t)dt\right]

여기서 기본

S(t)

( t

S(t)

)

S(t)

은 표준 기하학적 브라운 운동을 따른다

S(t)

. 여기서부터 다음을 계산하는 것은 간단하다.

G_{T}=S_{0}e^{1 \{2}}\왼쪽(r-{1 \{1}{2}}\sigma ^{2}\오른쪽)T}e^{{\sigma \over{T}\int_{0}^{T}(T-t)dW_{t}}

원래

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

T

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

{\textstyle {\sigma \over{T}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

이었던 확률적 적분을 도출하려면 다음을 참고하십시오

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}

[\displaystyle d[(T-t)W_{t}]=(T-t)dW_{t}-W_{t}dt}

이것은 Itô의 보조정리기로 확인할 수 있다. 이 식을 통합하고 W

W_{0}=0

=

W_{0}=0

W_{0}=0

을

W_{0}=0

를) 사용하여 통합이 동등하다는 것을 알게 된다. 이는 나중에 파생에서 유용할 것이다. 마팅게일 가격을 사용하여 기하학적

C_{G}

C_{G}

G

{\

을(를) 가진 유럽 아시아 통화의 가치는 다음과

C_{G}

같다.

C_{G}=e^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\ell }^{\infty }\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx

\ell

\ell

을

\ell

를) 찾으려면

x

과 같은

x

x

x

을(를) 찾아야 한다.

G_{T}\geq K\implies S_{0}e^{1 \{1}{2}}{1 \over{2}}\좌측(r-{1 \1 \over{2}}\sigma ^{2}\우측)T}e^{{\sigma \over{T}\int_{0}^{T}(T-t)dW_{{t}}\geq K

일부 대수학 후에 다음과 같은 사실을 알게 된다.

{\sigma \over{T}\int_{0}^{T}(T-t)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}-{1 \over{2}}\좌측(r-{1 \{2}}\sigma ^{2}\우측)T

이 시점에서 확률적 적분은 이 문제에 대한 해결책을 찾기 위한 고착점이다. 단, 적분이 다음과 같이 정상적으로 분포되어 있는지 쉽게 확인할 수 있다.

{\sigma \over{T}\int_{0}^{T}(T-t)dW_{t}\sim {\mathcal {N}\왼쪽(0,\sigma ^{2}{T \over {3}\오른쪽)

이는

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

(

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

-

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

)

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

=

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

{\textstyle {\sigma \{T}\int _{0}^{T}(T-t)d

라고 말하는 것과 같다.

W_{t}=\sigma {\sqrt {3}

{\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}

}

x(

{\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}

~

{\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}

1

{\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}

)

{\textstyle x\sim {\mathcal {N}(0,1)

을 사용하는

{\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}

경우

{\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}

따라서 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

x\geq {\k \over {S_{0}-{1 \over{2}}\좌측(r-{1 \over{2}}\sigma ^{2}\우측)T \over {\sigma {\sqrt{T/3}}\equiv \ell}

이제 기하 평균으로 유럽 아시아 통화의 가치를 계산할 수 있다! 이때 다음을 정의하는 것이 유용하다.

b={1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right),\;\sigma _{G}={\sigma  \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{{G}{\sqrt{T}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{\sqrt{T}}}}

블랙-숄즈 모델과 동일한 과정을 거치면서 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.

{\displaystyle C_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}\Phi(d_{1}-Ke^{-rT}\Phi(d_{2})

실제로 기하 평균

{\textstyle P_{G}}

{\textstyle P_{G}}

{\

와 함께 유럽 아시아에 대해 동일한 주장을 거치면서 우리는 다음과 같은 사실을 알게 되었다

{\textstyle P_{G}}

{\dplaystyle P_{G}=Ke^{-rT}\Phi(-d_{2}-{0}-S_{0}e^{(b-r)T}\Phi(-d_{1})}

이는 기하학적 평균을 가진 유럽 아시아 옵션의 풋콜 패리티 버전이 존재함을 의미한다.

C_{G}-P_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}-Ke^{-rT}

아시아 옵션의 변동

장외시장에서 팔리는 변종도 있다. 예를 들어, BNP 파리바스는 변동 조건부 아시아 옵션을 도입하였는데, 여기서 평균 기초 가격은 사전 지정된 기준치 이상의 가격 관측에 기초한다. 조건부 아시아 풋옵션은 보상이 있다.

$\max \left(K-{\frac {\int_{0}^{T}S(t))I_{\{S(t)}b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{{S(t)>b\}}}dt},0\오른쪽),$

$b>0$ 서 $b>0$ > 0 $b>0$ 이(가) 임계값이고 $b>0$ $I_{A}$ $I_{A}$ ${\$ 는 $I_{A}$ A {\ $displaystyle A}$ 이 $1$ $A$ (가 $)$ 참이면 $1$ $1$ 과 같고, 그렇지 않으면 0인 표시 함수다. 이러한 옵션은 관찰범위의 제한이 평균가격의 변동성을 감소시키기 때문에 전통적인 아시아 풋옵션보다 더 저렴한 대안을 제공한다. 그것은 일반적으로 그 돈으로 팔리고 최대 5년까지 지속된다. 조건부 아시아 옵션의 가격은 펑과 볼커머가 논의한다.^[15]

참조

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