반나-볼가 가격

Vanna-Volga 방법은 재정에서 사용되는 수학 도구다. 외환시장(FX) 파생상품의 1세대 이국적인 옵션 가격을 책정하는 기법이다.

설명

옵션의 변동성과 관련된 세 가지 주요 위험을 회피하는 포트폴리오 비용(VSTV), 즉 $Vega{\displaystyle \mathcal{}}$ V ${\$ Vanna 및 Volga)에 따라 블랙-숄즈 이론적 가치(BSTV)를 조정하는 것으로 구성된다. Vanna는 현물 FX 비율의 변화에 대한 Vega의 민감도:

${\displaystyle \text{반나}}$ = ${\displaystyle =}$ V${\displaystyle \frac{}{\mathrm{}v}}$ S ${\$

마찬가지로 볼가는 묵시적 변동성의 변화에 대한 베가의 민감도$\sigma {\displaystyle }${\$displaystyle \sigma }$:

${\displaystyle \text{볼가}}$= ${\$ {$V}}{\partial \sigma$ $\}\}\}\}\}.$

If we consider a smile volatility term structure ${\displaystyle \sigma (K)}$ with ATM strike ${\displaystyle K_{0}}$, ATM volatility ${\displaystyle \sigma _{0}}$, 25-Delta call/put volatilities ${\displaystyle \sigma (K_{c/p})}$, and where ${\displaystyle K_{c/$$p}}$ are the 25-Delta call/put strikes (obtained by solving the equations ${\displaystyle \Delta _{call}(K_{c},\sigma (K_{c}))=1/4}$ and ${\displaystyle \Delta _{put}(K_{p},\sigma (K_{p}))=-1/4}$ where ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{call/put}(K}$${\displaystyle }$,${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle \Delta _{call/put}(K,\sigma )}$은(는) 블랙-숄즈 델타 민감도를 나타내며$$, 그러면 위험회피 포트폴리오는 현금화(ATM), 위험회복이(RR) 및 나비(BF) 전략으로 구성될 것이다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\textrm {ATM}}(K_{0})&={\frac {1}{1}{1}{1}{1}{0}}({0},\textma _{0})+{Put}(K_{0},\sigma _{0})\오른쪽)\\{{{c}}(K_{p})}&={\textrm {Call}}(K_{c},\sigma(K_{c})-{\textrm {Put}(K_{p},\sigma(K_{p})-}\\{\textrm {BF}}(K_{c},K_{p})&={\frac {1}{2}}\left({\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right)-{\textrm {ATM}}(K_{0})\end{aligned}}}$

${\displaystyle \text{통화}(K}$, ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle {\textrm$ {$Call}(K,\sigma )}$ 콜 옵션의 블랙-숄즈 가격(퍼트와$$ 유사함)

Vanna-Volga 방법의 가장 간단한 공식은 이국적인 $악기{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 Vna-Volga 가격 X ${\displaystyle V^{}}$ ${\$) 제공됨을$$ 시사한다.

${\displaystyle X^{\rm {VV}=X^{BS}+\underbrace{\frac {{\textrm{X}}_{vanna}{{\textrm{RR}_{vanna}} _{w_{w_{w_}}}}RR}}{RR}_{cost}+\underbrace {\frac {{\textrm{X}_{volga}}{{\textrm{BF}}_{volga}}}} _{w_{w_{{w_}}}BF}}{BF}_{비용}}}}$

$여기$서 X ${\displaystyle B^{}}$ ${\displaystyle S^{}}$ ${\$는 이국인과 그리스인의 블랙-숄 가격이 ATM 변동성과 함께 계산됨을 나타낸다$$.

${\displaystyle {\reasoned}RR_{cost}&=\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))-{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right]-\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma _{0})-{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma _{0})\right]\\BF_{cost}&={\frac {1}{2}}\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma _{0})+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma _{0})\right]\end{aligned}}}$

이러한 수량은 미소 비용, 즉 미소 효과를 포함하지 않고 계산한 가격 간의 차이를 나타낸다.

위의 Vanna-Volga 가격 제정의 근거는 Vanna와 Volga 위험을 회피하기 위해 설계된 포트폴리오의 미소 비용을 측정함으로써 이국적인 옵션의 미소 비용을 추출할 수 있다는 것이다. 이를 위해 전략 BF와 RR를 선택하는 이유는 액상형 FX 기기로 볼가(Volga)와 반나(Vanna) 리스크를 주로 안고 있기 때문이다. ${\displaystyle R_{}}$ ${\$를 $포함$하는 가중 인자$RR}$ 및 W$$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$$BF}$은(는) 옵션의 Vanna를 복제하는 데 필요한 RR의 양과 옵션의 Volga를 복제하는 데 필요한 BF의 양을 각각 나타낸다$$. 위의 접근방식은 RR가 운반하는 볼가의 작은 부분(그러나 0이 아닌 부분)과 BF가 운반하는 Vanna의 작은 부분을 무시한다. 그것은 베가 리스크를 회피하는 데 드는 비용을 더욱 소홀히 한다. 이로 인해 블랙-숄즈 내에서 이국적인 옵션의 베가, 반나, 볼가를 세 가지 계측기의 가중 합계에 의해 복제할 수 있다고 간주하는 바나-볼가 방법이 보다 일반화되었다.

${\displaystyle X_{i}=w_{{ATM}\,{ATM_{i}+w_{{}RR}\,{RR_{i}+w_{BF}\,{BF_{i}\,\,\,\,\,\,i{\text{=베가, vanna, volga}}}}$

$여기$서 x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= ${\displaystyle A\mathbb{}}$ ${\displaystyle w\stackrel{}{}}$→ ${\$mathb ${A}{\vec{w}}}$

와 함께

${\displaystyle \mathbb {A} ={\begin{pmatrix}$$ATM_{vega}&$$RR_{vega}&$$BF_{vega}\\$$ATM_{vanna}&$$RR_{vanna}&$$BF_{vanna}\\$$ATM_{volga}&$$RR_{volga}&$$BF_{volga}\end{pmatrix$ $w{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \begin{array}{c}{W}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{T}_{}\end{array}}$ M ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{R}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{w}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{B}_{}\end{array}}$ $){\$pmatrix}}}}{{pmatrix}}}}}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ATM}\\w_{$$RR}\\w_{$$BF}\end{pmatrix$ $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \begin{array}{c}X{}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{v}_{}\end{array}}$ e ${\displaystyle \begin{array}{c}{a}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}}$ v ${\displaystyle \begin{array}{c}{a}_{}\end{array}}$ n ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{x}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{v}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{o}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{l}_{}\end{array}}$ a )${\$pmatrix}}}}}}}}}:{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

이러한 복제에 따라, Vanna-Volga 방법은 위의 가중 총액의 미소 비용에 의해 이국적인 옵션의 BS 가격을 조정한다(참고: ATM 미소 비용은 건설에 의해 0이다).

${\displaystyle {\begin}X^{\rm {VV}&=X^{BS}+w_{RR}({RR}^{mkt}-{RR}^{BS}}+w_{{RRR}}BF}({BF}^{mkt}-{BF}^{BS})\&=X^{BS}+{\vec{x}^{T}(\mathb {A}^{T})^{-1}{\vec {I}\&=X^{BS}+X_{vega}\,\오메가 _{vega}+X_{vanna}\,\오메가 _{vanna}+X_{volga}\,\오메가 _{volga}\\ended}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle {\vec{I}={\begin{pmatrix}0\\\{RR}^{mkt}-{RR}^{BS}\{BF}^{mkt}-{BF}^{BS}\end{pmatrix}}}}}$

, 그리고

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Oomega _{vanna}\\\\Oomega_{volga}\end{pmatrix}}=(\mathb {A}^{T})^{-1}{\vec{I}}}}}}}}}}}}}}$

$\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 수량은 각각 베가, 반나, 볼가 단위에 붙어 있는 시가로 해석할$$ 수 있다. 그러나 결과적인 수정은 일반적으로 너무 큰 것으로 밝혀졌다. 따라서 시장 실무자는 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V^{}}$ ${\$을(를) 다음으로$$ 수정

${\displaystyle {\begin}X^{\rm {VV}&=X^{BS}+p_{vanna}X_{vanna}\오메가 _{vanna}+p_{volga}X_{volga}\오메가 _{volga}\ended}}}}}}}$

베가 기여도는 모든 실제 상황에서 반나나 볼가 용어보다 몇 배나 작은 것으로 밝혀져 이를 소홀히 한다.

p $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ n ${\displaystyle a_{}}$ ${\$ 및$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{vo}}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$$displaystyle$ $p_$${$$volga$$}}$라는 용어는 직접 입력되며$$, 옵션의$$ Kock-out b $레벨$이 현물 레벨로 점차 이동함에 따라 장벽 근처에서 외래 옵션 가격의 올바른 동작을 보장하는 요인을 나타낸다. ${\displaystyle S_{0}}$, the BSTV price of a knock-out option must be a monotonically decreasing function, converging to zero exactly at ${\displaystyle B=S_{0}}$. Since the Vanna-Volga method is a simple rule-of-thumb and not a rigorous model, there is no guarantee that this will be a priori the case. 감쇠 계수는 기기의 Vanna 또는 Volga와 다르다. 왜냐하면 그 자리에 가까운 장벽 값은 다르게 행동하기 때문이다: 반나는 커지는데 반해 볼가는 작아진다. 따라서 감쇠 계수는 다음과 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle {\required}p_{\rm {vanna}&=a\,\p_{\rm {volga}&=b+c\c\c\ft \ended}}}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \gamma \in [0,1]}$은(는) 해당 지점 근처에 있는 장벽의 일부 측도를 나타내며$$, 특성은 다음과 같다.

${\displaystyle {\beggin}\gamma =0\\\&{for}\\S_{0}\\\\\\{for}\\\S_{0}-B \ggg 0\end{igned}}}}}}$

계수 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a,b,c}$는 모델의 교정을 통해 확인되어$$ 바닐라 미소를 재현한다. 장벽에 가까운 적절한 행동을 보장하는$$ ${\displaystyle \gamma }$의 좋은 후보는 생존 확률과 예상되는 첫 번째 출구 시간이다. 이 두 수량 모두 장벽 가까이에서 사라지는 바람직한 특성을 제공한다.

생존 확률

$[0,1]$에서 생존 확률 p $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ r${\displaystyle {}_{}[}$ [ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$]$${\$displaystyle p_{surven}\$in [0,1]은 점들이 하나 이상의 장애물${\displaystyle }$레벨에 닿지 않을 확률을 가리킨다$$. {$}$ {\$displaysty$\{$B_{$i$\}\backslash \}\backslash \}\}\}\}.$ 예를 들어, 단일 장애물 옵션의 경우

${\displaystyle p_{surv}=\mathb {E}[1_{S_{t}}<B,t_{\textrm {mat}}}=\mathrm {NT}(B)/\mathrm {DF}(t_{tod},t_{textrmatermat}})}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

여기서 $N{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{T}(B}$) ${\displaystyle \mathrm {NT}(B)}$은(는) 노터치 옵션의 값이고 ${\displaystyle \mathrm{D}}$ $F{\displaystyle \mathrm{}({\text{ttod}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\text{matt}}_{}}$) ${\daystyle \matrmatr {DF}(t_{textrum},t_{\textrm})은(으$) 사이의 할인$$ 요인이다. 마찬가지로, 두 개의 장벽이 있는 옵션의 경우, 더블 노 터치 옵션의 할인되지 않은 값을 통해 생존 확률을 제공한다.

첫출발시간

첫 번째 출구 시간(FET)은 (i) 성숙 전에 장애물 구역에서 벗어날 것으로 예상되는 미래의 시간과 (ii) 성숙도까지 장애물 레벨 중 어느 한 곳에도 도달하지 않은 경우, (i) 성숙도 사이의 최소 시간이다. 만약 우리가 너(S, t){\displaystyle u(S_{t},t)}으로 너(S, t))FET{\displaystyle u(S_{t},t)=}분{ϕ, T}{\displaystyle\와 같이{\phi ,T\}를 의미한다 즉,}이ϕ = 떨어지는 급작스러{ℓ ∈[0, T=}{\displaystyle \phi){\textrm{inf}}\{\ell \in는 경우에는 0,T))}}가 St+ℓ>H{\displaystyle S_{t+ 있다.\e$ll }>H}$ 또는 + < L ${\displaystyle S_{t+\ell }<L}}$$여기$서 L${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle H}${\$displaystyle$ L$,H}$은(는) '낮음' 대 '높음' 장벽 $수준$이며 ${\displaystyle S_{}}$ t$${\$displaystyty S_{t}}}$이 오늘에 해당한다$$.

첫 번째 출항 시간은 다음 PDE의 해결책이다.

${\displaystyle {\frac {\partial u(S,t)}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}u(S,t)}{\partial S^{2}}}+\mu S{\frac {\partial u(S,t)}{\partial S}}=0}$

${\displaystyle 이}$ 방정식은 단자 조건 $u{\displaystyle (S,}$ T${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= T ${\디스플레이$ 스타일 $u(S,T)=$에서 시작하여 역방향으로 해결된다.$T}$ 여기서$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은 성숙도 및 경계 조건 $u{\displaystyle ({}^{},}$ t ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u(H,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 입니다$.$ 단일 장애물 옵션의 경우 $우리$는 H ${\displaystyle \gg }$ S ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$H\$gg S_{0}$ $또는$ L ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 동일한 PDE를 사용한다$.$ 매개 변수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 기본 확률 프로세스의 위험 중립 표류를 나타낸다$$.

참조

• Frédéric Bossens; Grégory Rayée; Nikos S. Skantzos; Griselda Deelstra (2009). "Vanna-Volga methods applied to FX derivatives : from theory to market practice". arXiv:0904.1074 [q-fin.PR].
• Castagna, Antonio; Mercurio, Fabio (1 March 2007). "Vanna-Volga methods applied to FX derivatives : from theory to market practice". Risk Magazine. PDF.

• Shkolnikov, Yuriy (2009). "Generalized Vanna-Volga Method and its Applications". SSRN 1186383. Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

• Wystup, Uwe (2006), FX Options and Structured Products, Wiley