변동성스왑

금융에서 변동성스왑은 특정 기초자산의 미래 실현된 변동성에 대한 선도계약이다. 변동성 스왑은 투자자가 가격 지수를 거래하는 것과 마찬가지로 자산의 변동성을 직접 거래할 수 있게 해준다. 유효기간 만료시 지급액은 다음과 같다.

${\displaystyle(\sigma _{\text{realized}-K_{\text{vol})N_{\text{vol}}$

여기서:

• ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle {\text{realized}}_{}}$ ${\$은(는) 연간 실현된 현실화된 변동성이다.
• ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {\text{vol}}_{}}$ ${\$은(는) 변동성 타격이며,
• ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {\text{vol}}_{}}$ ${\$은(는) 사전 합의된 공칭량이다.

즉, 변동성 스왑 보유자는 $기초$의 연간 실현된 변동성 $volatility{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{실현}}_{}}$된 ${\$$\}\}\}$이(가) $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{파업}}_{}}$의 납품가격을$$초과한$$ 모든$$ 포인트에 $대해$ N vol {\displaystystyle $\sigma _{\text}$을 받고 반대로 지급한다. ${\displaystyle N_{}}$ ${\$ 지점마다$$ 실현된 변동성은 파업에 미치지 못한다.^[1]

기초는 일반적으로 외환, 주식 지수 또는 단일 주식과 같이 유동적이거나 유동적인 옵션 시장이 있는 금융상품이다. 가격 의존성으로 인해 변동성 노출이 오염된 옵션 투자와 달리, 이러한 스왑은 변동성에 대한 순수한 노출만을 제공한다. 이는 진실로 전진기동성스왑의 경우에만 해당된다. 그러나 스왑이 자산을 고정하게 되면 시장 대비 표시 가치도 현재의 자산가격에 따라 달라진다. 이러한 금융상품을 사용하여 미래 변동성 수준을 추정하거나, 실현된 변동성과 내재된 변동성 사이의 확산을 거래하거나, 다른 포지션이나 기업의 변동성 노출을 회피할 수 있다.

변동성 스왑은 매우 유사하지만 단순한 분산 스왑보다 더 일반적으로 인용되고 거래되며, 이는 옵션의 선형 결합과 미래에서의 동적 포지션으로 복제될 수 있다. 둘의 차이는 볼록함이다. 분산스왑의 이익은 분산이 선형이지만 변동성과 볼록하다.^[1] 이는 필연적으로 변동성 스왑의 정적 복제(매수 및 보유 전략)가 불가능하다는 것을 의미한다. 그러나 분산스왑(${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle T_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$을 위험회피수단으로 사용하고 변동성을 타겟팅(${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$하면 변동성은 다음과 같은 분산함수로 작성할 수 있다.$$

${\displaystyle \Sigma _{T}=a\Sigma _{T}^{2}+b}$

$그리고{\displaystyle }$ 양쪽의 기대 제곱 편차를 최소화하기 위해 선택된$$ $[\displaystyle a}$ $및$ b ${\displaystyle b}:$

${\displaystyle {\text{min}E[(\Sigma _{T}-a\Sigma _{T}^{2}-b)^{2}]}}$

그런 다음 음의 실현된 휘발성 확률을 무시할 수 없는 경우, 미래 휘발성은 평균 ${\$ 및 표준$$ 편차 σ ${\$}}로 정상으로 가정할 수 있다$.$

${\displaystyle \Sigma _{T}\심 N({\bar {\Sigma },\Sigma }})}$

위험회피계수는 다음과 같다.

${\displaystyle a={\frac {1}{2{\bar {\sigma }}+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}:{\bar {\Sigma }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle b={\frac {\bar {\sigma}}{2+{\frac {\sigma _{\sigma _}^{{\bar {\sigma }2}}:}}{\bar {\sigma }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

실현된 변동성의 정의

연간 실현된 변동성의 정의는 개별적일 수도 있고 지속적으로 발생할 수도 있는 기본 가격 관측에 대한 거래자의 관점에 따라 달라진다. 전 한, 그는 가변성 스왑의 유사한 건설과 함께, 들어 있다면 n+이 관찰된 내부 가격의 1{\displaystyle n+1}시료 채취 지점, 말한다, St 0, S에선 1..., St n{\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}제가 거기 − 0≤지 1<나는 T{\displ ≤는 과목은.아아!$style 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ for ${\displaystyle i=1}$ to ${\displaystyle n}$. Define ${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$ the natural log returns. 그 다음 이산 표본 추출 연간 실현된 변동성은 다음과 같이 정의된다.

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}:={\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}},}$

which basically is the square root of annualized realized variance. Here, ${\displaystyle A}$ denotes an annualized factor which commonly selected to be the number of the observed price in a year i.e. ${\displaystyle A=252}$ if the price is monitored daily or ${\displaystyle A=52}$ if it is done weekly. ${\displaystyle T}$ is the expiry date of the volatility swap defined by ${\displaystyle n/A}$.

The continuous version of the annualized realized volatility is defined by means of the square root of quadratic variation of the underlying price log-return:

• ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}:={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

where ${\displaystyle \sigma (s)}$ is the instantaneous volatility of the underlying asset. Once the number of price's observation increase to infinity, one can find that ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$ converges in probability to ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$^[2] i.e.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

representing the interconnection and consistency between the two approaches.

가격 및 평가

일반적으로 특정 기초자산에 대해 가격스왑의 주된 목적은 계약체결 비용이 없기 때문에 공정한 파업가격을 찾는 것이다. 그러한 공정성에 대한 가장 일반적인 접근법 중 하나는 어떤 위험 중립적 확률 측정(또는 마팅게일 측정)과 관련하여 주어진 파생상품 보안의 기대 현재가치를 찾는 방법인 마팅게일 가격결정 방법을 이용하는 것이다. 그리고 그러한 조치가 어떻게 선택되는가는 가격 진화를 설명하는 데 사용되는 모델에 따라 달라진다.

수학적으로 말하면, 가격 $프로세스{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$= ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$$\$$leq$ t$\leq T}}}$가 마팅게일 $측정{\displaystyle \mathbb{}}$ Q {\$displaystyle$ \$mathb {Q$에 따른 블랙-숄즈 모델을 따른다고$$ 가정하면 다음과 같은 SDE를 해결한다.

${\displaystyle {\frac {dS_{t}{S_{t}}=r(t)dt+\sigma(t)dW_{t},\;\;;;;S_{0}>0}$

여기서:

• ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$은(는) 스왑 계약 만료일을 나타낸다$$.
• ${\displaystyle r}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$은(시간 의존적) 무위험 금리,
• ( )> 0 ${\displaystyle \sigma (t)>0}$은(시간 변동성)이며,
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$ is a Brownian motion under the filtered probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$ where ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T$$}}}}{\displaystyle W$의 자연 여과 입니다.

Since we know that ${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})\times N_{\text{vol}}}$ is the volatility swap payoff at expiry in the discretely sampled case (which is switched to ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$ for the continuous case), 그러면 V ${\displaystyle {t{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$$displaystyle t_{0$으로 표시된 시간 $t{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$$displaystyle V_{t_{0}$의 예상 값은

${\displaystyle V_{t_{0}=e^{\int _{t_{0}^{{0}^{T}r(s)ds}\mathb {E}^{\mathb {Q}}[\sigma _{\text{realized}-K_{\text}{vol}}} {\mathcal {F}_{0}}}}}}\time N_{\text{\vol},},},}$

어떤 것을 주는지

${\displaystyle K_{\text}{vol}=\mathb {E}^{\mathb {Q}[\sigma _{\textrealized}}{\mathcal {F}_{t_{0}}}}}}}}}$

스왑의 제로 가격 때문에, 공정한 변동성 타격의 가치를 정의한다. 그 해결책은 다양한 방법으로 발견될 수 있다. 예를 들어, $\sigma$의 확률분포함수가 ${\displaystyle \sigma$}$_$${\text{realized}$ 또는$$ $\sigma {\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~이 ${\$이(가) 알려진 후에 폐쇄형 가격결정식을 얻거나 몬테카를로 수치로 계산한다. 또는 특정 제한에 따라 유럽 옵션의 가치를 활용하여 해결책에 근사치를 구할 수 있다.^[3]

지속적인 샘플링을 통한 가격 변동성 스왑

만약 그 계약 당시 t 0=0{\displaystyle t_{0}=0 시작한다}, r(t){\displaystyle r(t)}과σ 결정론적(t){\displaystyle \sigma(t)}입맛(결정론적 또는 확률 프로로 가정에 대해 Carr와 리(2009년)[3]의 continuous- 표본 추출의 경우 논쟁 변동성을 깨달았다.cess) but independent of the price's movement i.e. there is no correlation between ${\displaystyle \sigma (t)}$ and ${\displaystyle S_{t}}$, and denotes by ${\displaystyle C_{t}(K,T)}$ the Black-Scholes formula for European call option written on ${\displaystyle S_{t}}$ with the strike 시간 $t$에서의 $가격{\displaystyle }$$$K [\$displaystyle K$${\displaystyle \},}$ 만료 $날짜{\displaystyle }$ T ${\$$displaystyle$ $t}$이(가) ${\displaystyle 있는\mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle \le }$ t ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle T}$ ${\\$$explaystyle$ $t},$$$$그$ 다음 통화 옵션의 보조성에 의해 현금으로 선택된다. ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 변동성 타격 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{vol}}_{}}$ ${\$은(는) 함수에 의해 근사치가 가능하다$$.

${\displaystyle K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[{\tilde {\sigma }}_{\text{realised}} {\mathcal {F}}_{t_{0}}]\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{T}}}{\frac {C_{0}(S_{0},T)}{S_{0}}}-2r(T)}$

블랙-숄즈 공식의 정규 분포 부분에 테일러의 시리즈를 적용한 결과 입니다.

시간 의존적 무위험 이자율과 지속적인 변동성 하에서 이산 샘플링을 통한 분석적 가격 변동성 스왑

실현된 변동성은 시간적으로만 이산적으로 관찰되므로, 실무적으로 좋은 척도가 아닌 연속적인 가정을 발견할 수 있으므로 이산형 표본추출을 통해 가치를 직접 평가하는 것이 좋다.

이를 감안하여, 루지반과 락원관(2021)^[4]은 시간 의존적 $금리{\displaystyle }$r (${\displaystyle }$) ${\displaystyle r(s)}$과 일정$$constant > ${\displaystyle \sigma >0}$을(를) 가진 이산샘플링의 경우 우리가 정의한 경우, 이를 보여준다.

${\displaystyle$$=\int _{t_{i}^{t_{i+1}r-{\frac {1}{1$}:{2$}}\sigma ^{2}\Delta$ t$$$,}$ 및

${\displaystyle \lambda :={\frac {\sqrt {\sum_{i=0}^{n}\mu_{i}^{2}}:{\sigma {\sqrt{\\delta t}},},},},}$

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$i=$0,1,\dots ,n$ 여기서 ${\displaystyle \Delta }$t = ${\displaystyle t_{}}$i +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ - ${\displaystyle t_{}}${\$displaystyle \Delta$ t$=t_{i+1}-t_{i$의 경우, 다음과 같은 함수를 통해 공정한 변동성 타격을 위한 폐쇄 가격 공식을 도출할 수 있다.

2L12(n2− 1)(− λ 22)한 n×만약 ∑ 나는 0n원 μ 나는 2<K체적 탄성 계수)EQ[σ 것을 깨달았다 Ft 0]){σ π Δ t;만약 ∑ 나는 나는 2 돌아선 0{\displaystyle K_{\t μ 0n원 0σ 2Δ t한 n×Γ(n2)(n+12)Γ.Ext{체적 탄성 계수}}}{\sqrt{\frac{A}{n}}}및 ^{({\frac{n}{2}}))}{\Big(}-{\frac{\lambda ^{2}}{2}}{\Big)}\times,{\text{만약}}년^;\sum _{i=0}^{n}\mu _{나는}^{2}>, 0\\\sigma{\sqrt{2\Delta지}}{\frac{{E}^{\mathbb{Q}}[\sigma_{\text{}를 깨달았다}{\mathcal{F}}_{t_{0}}]={\begin{경우}\sigma{\sqrt{\frac{\pi\Delta지}{2}}}{L\textbf{}}_{\frac{1}{2}=\mathbb.\Gamma$({\frac{n+1}{2}})}{\Gamma({\frac$ {$n}{2}}:}}}}\\\sqrt{A}}{n}}}\\\\\sum _{i=0}^{n}\mu _{i}=0$

어디에

• ${\displaystyle {\textbf {L}}_{\nu }^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\alpha +\nu )!x^{k}}{(\nu -k)!$$(\cHB +k)!k!$$}}}$은(는) 매개 변수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$}과$$(와) 부분 순서 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$을(를) 가진 Laguerre 함수를 나타내며$$,
• ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$- ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{}}$ - ${\displaystyle t^{}}$ $displaystyle \Gamma$ ($x)=\int _${0$}^{\t^{x-1}e^{-t}dt}$는 감마함수다.

이 공식의 압축성과 단순성 외에도 시간변동성이 있는 모델의 솔루션을 근사하게 하는 도구로서도 사용할 수 있는데, 이는 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{vol}}_{}}${\$displaystyle K_{\textvol}$의 함수에 대한 가중치 해결의 형태로$,$ 이와 연관되도록 선택된 가중계수와 함께 얻는다.지정된 변동성 프로세스의 결정론적 ^[4]근사치 그러나 이 확장된 사례에 대한 해결책에 접근하기 위한 최선의 시도는 일부 수치 체계 또는 다른 형태의 근사 함수 채택을 통해서만 이루어진다. 현재 이 사례에 대해 이용 가능한 폐쇄형 가격 결정 공식은 없기 때문에 이 연구 분야에 관심이 있는 사람들에게는 여전히 발견되어야 하기 때문이다.

참고 항목

• 분산스왑
• 변동성(금융)
• 선도변동성

참조

외부 링크

• 사전 패키지된 변동성 재생